魏永庚,袁 明,石 勇,盛遵冰,王中鮮

(1.黑龍江大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150080；2.哈爾濱工程大學(xué) 動(dòng)力與能源學(xué)院，哈爾濱 150001)

基于雅克比矩陣的并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)

魏永庚1,袁 明1,石 勇2,盛遵冰1,王中鮮1

(1.黑龍江大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150080；2.哈爾濱工程大學(xué) 動(dòng)力與能源學(xué)院，哈爾濱 150001)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為一種空間機(jī)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)參數(shù)多，機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)復(fù)雜，而且結(jié)構(gòu)參數(shù)的改變會(huì)直接影響機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度，因此設(shè)計(jì)出合理的結(jié)構(gòu)參數(shù)，成為并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問(wèn)題。以三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，提出一種基于雅克比矩陣的并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法。首先根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)形式推導(dǎo)出動(dòng)平臺(tái)的數(shù)學(xué)模型并建立雅克比矩陣，然后根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)雅克比矩陣中的條件數(shù)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，利用MATLAB軟件對(duì)已知工作空間的并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化仿真分析，最后優(yōu)化出合理的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)；結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化；雅克比矩陣

0 引 言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)一種普遍構(gòu)型是由可變長(zhǎng)度的驅(qū)動(dòng)桿通過(guò)運(yùn)動(dòng)副將定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)連接起來(lái)的，改變驅(qū)動(dòng)桿的長(zhǎng)度，則引起動(dòng)平臺(tái)位姿的改變，可以進(jìn)行各種運(yùn)動(dòng)模擬和仿真，三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維模型見(jiàn)圖1。并聯(lián)機(jī)構(gòu)由于其無(wú)累積誤差、自身負(fù)荷小、動(dòng)態(tài)響應(yīng)好和承載能力大等優(yōu)點(diǎn)，而被廣泛應(yīng)用于高精度或者高速度場(chǎng)合中[1-3]。在對(duì)機(jī)構(gòu)性能的分析中，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣是評(píng)價(jià)并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能的基礎(chǔ)，也是衡量并聯(lián)機(jī)床工作性能優(yōu)劣的重要指標(biāo)[4-6]。由圖1可見(jiàn)，要計(jì)算動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，需要知道定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)上運(yùn)動(dòng)副的鉸鏈點(diǎn)在空間位置，定平臺(tái)上3個(gè)鉸鏈，每個(gè)鉸鏈3個(gè)參數(shù)，動(dòng)平臺(tái)上3個(gè)鉸鏈，每個(gè)鉸鏈3個(gè)參數(shù)，總計(jì)6個(gè)鉸鏈點(diǎn)18個(gè)參數(shù)，因此要測(cè)量出18個(gè)參數(shù)的準(zhǔn)確坐標(biāo)。由于實(shí)際加工、制造和裝配的誤差，18個(gè)參數(shù)的實(shí)際測(cè)量值不可能和理論值完全吻合，導(dǎo)致動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)軌跡出現(xiàn)誤差，無(wú)法保證機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度。

圖1 三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維模型Fig.1 Three translation parallel mechanisms 3D model

目前，通常用雅克比矩陣的條件數(shù)[7-9]即雅克比矩陣的最大和最小奇異性的比值，作為并聯(lián)機(jī)構(gòu)精度的評(píng)價(jià)指標(biāo)。本文以一種三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，利用Euler變換求解運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆解，進(jìn)而求出雅克比矩陣及其逆矩陣，利用雅克比矩陣的條件數(shù)指標(biāo)和MATLAB軟件對(duì)該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行仿真分析，最終優(yōu)化出合理的結(jié)構(gòu)參數(shù)[10]。

1 三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖見(jiàn)圖2，其中△A1A2A3和△B1B2B3是相似三角形，固定坐標(biāo)系為Ob-XbYbZb，運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系為Op-XaYaZa，Ob點(diǎn)為△B1B2B3的外接圓中心坐標(biāo)，Xb坐標(biāo)軸的正方向與B1B2同方向，Zb坐標(biāo)軸垂直于XbOYb面且方向向上?？紤]到初始狀態(tài)，△A1A2A3的中心點(diǎn)Op映射到底面與△B1B2B3的中心點(diǎn)Ob重合，且各坐標(biāo)軸指向均一致。

圖2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.2 Schematic diagram of parallel mechanism

通過(guò)齊次坐標(biāo)變換推出運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解公式(1)：

(1)

式中Op(px,py,pz)為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)中心坐標(biāo);R為固定平臺(tái)半徑;r為動(dòng)平臺(tái)半徑;c=R-r為定動(dòng)平臺(tái)的半徑之差;L1、L2、L3為3根驅(qū)動(dòng)桿A1B1、A2B2、A3B3的長(zhǎng)度。

式(1)描述了已知機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)中心的位置和姿態(tài)，求解驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)度變化的過(guò)程。通過(guò)式(1)又可推導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)學(xué)正解如式(2)：

(2)

2 三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣

(3)

(4)

由以上可知雅克比逆陣J-1為式(5):

(5)

式(5)可進(jìn)行并聯(lián)機(jī)構(gòu)的速度控制、奇異位形的判定、誤差分析、軌跡規(guī)劃以及靈巧性分析等。奇異性是當(dāng)機(jī)構(gòu)處于特殊位形時(shí)，機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)將獲得多余的不可控自由度或者失去部分自由度，并導(dǎo)致機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)失控，這時(shí)的雅克比矩陣變成奇異陣，其行列式的值為零。

3 基于雅克比矩陣的并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能分析

并聯(lián)機(jī)構(gòu)雅克比矩陣中的條件數(shù)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，它不僅反映了機(jī)構(gòu)離奇異位形的遠(yuǎn)近，速度方程的可解性，而且反映運(yùn)動(dòng)學(xué)性能和機(jī)構(gòu)的靜剛度特性。

3.1 條件數(shù)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

機(jī)器人學(xué)常利用雅克比矩陣的奇異值構(gòu)造3種評(píng)價(jià)指標(biāo)：條件數(shù)指標(biāo)、最小奇異值指標(biāo)和可操作性指標(biāo)。

3.2 基于雅克比矩陣的條件數(shù)性能評(píng)價(jià)分析

(6)

(7)

(8)

由式(7)和式(8)聯(lián)立得出：

(9)

利用其條件數(shù)反映到并聯(lián)機(jī)構(gòu)上來(lái)，已知雅克比矩陣表示機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)桿輸入速度L′到動(dòng)平臺(tái)輸出速度p′的映射關(guān)系，即L′=J-1p′。也就是假設(shè)平臺(tái)輸出速度是精確的，當(dāng)系數(shù)矩陣即雅克比矩陣求解發(fā)生微小偏差時(shí)，相應(yīng)地導(dǎo)致桿長(zhǎng)求解發(fā)生變化，進(jìn)而導(dǎo)致機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)不準(zhǔn)確。

優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本原理：在給定的工作空間范圍內(nèi)，期望機(jī)構(gòu)處在相對(duì)較小的E值范圍內(nèi)，需要對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，給出結(jié)構(gòu)參數(shù)一定的取值范圍，然后利用目標(biāo)函數(shù)對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化分析，通過(guò)在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間內(nèi)進(jìn)行搜索，得到相對(duì)于此關(guān)鍵參數(shù)在整個(gè)工作空間內(nèi)E的取值范圍，得到各參數(shù)與E在此工作空間的變化圖，查看其趨勢(shì)，得到合理的參數(shù)值。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)要求，已知運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的工作空間是直徑150mm和高200mm的圓柱型區(qū)域，初步給出尺寸約束范圍見(jiàn)式(10)，并對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化分析。

(10)

利用MATLAB軟件對(duì)條件數(shù)E在不同關(guān)鍵參數(shù)影響下的變化情況進(jìn)行分析。仿真結(jié)果見(jiàn)圖3。圖3主要分析了定平臺(tái)半徑、動(dòng)平臺(tái)半徑以及二者之差及動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)和條件數(shù)之間的關(guān)系。由圖3 (a)可見(jiàn)，條件數(shù)E隨動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)X和Y的變化圖像是一樣的。在已知的工作空間[-150,150]的范圍內(nèi)，條件數(shù)E隨動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)X、Y坐標(biāo)值的增加，先降低后增大且存在最小值。可見(jiàn)每種不同的的半徑差對(duì)應(yīng)的圖像都是關(guān)于橫坐標(biāo)為0的軸線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且在x=0,y=0這個(gè)時(shí)刻條件數(shù)取最小?？紤]到機(jī)構(gòu)的合理性，這里選取c=600 mm，此時(shí)對(duì)應(yīng)的條件數(shù)范圍為1.58≤E≤1.72。由圖3 (b)圖可見(jiàn)隨著半徑差值的不斷增大，條件數(shù)E關(guān)于動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)Z坐標(biāo)的圖像逐漸向右平移，且都存在最小條件數(shù)值。通過(guò)得出的半徑差和條件數(shù)范圍讀出對(duì)應(yīng)的動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)Z坐標(biāo)值為670.8～870.8 mm。在條件為各桿長(zhǎng)L=900 mm和已知?jiǎng)悠脚_(tái)中心點(diǎn)Z坐標(biāo)范圍值時(shí)得出圖3(c)圖像。由圖3(c)中可見(jiàn)，當(dāng)動(dòng)平臺(tái)半徑r和定平臺(tái)半徑R不斷變大，其各自對(duì)應(yīng)的條件數(shù)成相反趨勢(shì)變化，但對(duì)應(yīng)的半徑差的條件數(shù)卻不斷地減小，最后趨近于穩(wěn)定。因?yàn)榈谝粋€(gè)圖已經(jīng)知道最小條件數(shù)Emin=1.58，由圖可見(jiàn)r=300 mm和R=900 mm，此時(shí)對(duì)應(yīng)的半徑差也為c=600 mm符合圖3(a)結(jié)論。

(a)動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)X、Y的坐標(biāo)與條件數(shù)E的關(guān)系

(b)動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的Z坐標(biāo)與條件數(shù)E的關(guān)系

(c) 動(dòng)平臺(tái)半徑、定平臺(tái)半徑及平臺(tái)半徑差與條件數(shù)E的關(guān)系圖3 條件數(shù)分析Fig.3 Condition number analysis

已知機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)△A1A2A3和定平臺(tái)△B1B2B3為相似三角形，且初始狀態(tài)△A1A2A3的中心Op映射到底面與△B1B2B3的中心Ob重

合,且各軸的指向均一致，令此時(shí)的中心點(diǎn)Op的垂直方向值為pz=670.8～870.8 mm，那么桿長(zhǎng)可以表示為，經(jīng)計(jì)算得出的結(jié)果與圖像得出的完全一致。此時(shí)優(yōu)化后的相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)參數(shù)

4 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能分析可知，通過(guò)歐拉變換建立機(jī)構(gòu)的矩陣模型可以清楚看出參數(shù)之間的關(guān)系，利用雅克比矩陣的重要性質(zhì)，來(lái)討論動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)和結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系。利用Matlab和矩陣條件數(shù)性質(zhì)，對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，從中選取合適的條件數(shù)E的取值范圍，使誤差放大倍數(shù)在操作范圍內(nèi)值盡量小，最終確定并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

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Structure parameters optimization design of parallel mechanism based on Jacobian matrix

WEI Yong-Geng1, YUAN Ming1, SHI Yong2, SHENG Zun-Bing1, WANG Zhong-Xian1

(1.School of Mechanical & Electrical Engineering, Heilongjiang University, Harbin 150080, China；2.School of Power & Energy, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

The parallel mechanism’s feature are: a spatial mechanism, many structure parameters, mechanism design complex, and the change of structure parameters will directly affect the motion precision of mechanism. So the reasonable design of the structure parameters becomes a key problem of the parallel mechanism structure design. The structure parameters optimization design method of three translation parallel mechanisms is proposed based on Jacobian matrix. According to the structure style of the parallel mechanism, the mathematics model of the moving platform and the Jacobian matrix are deduced. And then, by the the condition number performance indices of the parallel mechanism Jacobian matrix, using the MATLAB software, optimization simulation analysis of the parallel mechanism structure parameters is conducted as known mechanism space. And finally, reasonable structure parameters are obtained.

three translation parallel mechanism; the structure parameters optimization; Jacobian matrix

10.13524/j.2095-008x.2015.01.017

2014-08-29

http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1566.T.20150119.1617.003.html

黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目 (12531520)

魏永庚(1972-)，男，吉林洮南人，副教授，研究方向：并聯(lián)機(jī)構(gòu)數(shù)控編程和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),E-mail:wyg_1972@163.com。

TH122

A

2095-008X(2015)01-0087-05