☉湖南省常德市芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部 陳金紅 羅先文☉湖南省常德市安鄉(xiāng)縣蘆林鋪中學(xué) 郭作華

別讓“小智慧”從指間溜走*

☉湖南省常德市芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部 陳金紅 羅先文
☉湖南省常德市安鄉(xiāng)縣蘆林鋪中學(xué) 郭作華

借用“勿以善小而不為”、“不掃小屋何以掃天下”、“不積小溪何以成江河”等名言，取其中的“小”，在數(shù)學(xué)中即小題目、小方法、小念頭、小歸納等均是基本經(jīng)驗(yàn)“小智慧”量的積累，雖算不上“高大上”，但卻是解決大問(wèn)題必須夯實(shí)的基本之策！看幾個(gè)例子

例1有如圖1和圖2所示的兩種廣告牌，其中圖1是由兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成的，圖2是一個(gè)矩形，從圖形上確定這兩個(gè)廣告牌面積的大小關(guān)系，并將這種大小關(guān)系用含字母a、b的不等式表示為_(kāi)________．b2）、S2=ab，再比較大?。凰悸芬唬罕炔罘?，

圖1

圖2

圖3

若把此題簡(jiǎn)單地作為一個(gè)面積比較知識(shí)題，則其內(nèi)在的教學(xué)價(jià)值黯然失色；不妨延伸設(shè)計(jì)：當(dāng)邊長(zhǎng)a或b如何變化時(shí)，一般代數(shù)結(jié)論？此乃均值不等式的基本雛形的“亮相”！再可出示應(yīng)用拓展作為向高中數(shù)學(xué)靠攏的壓軸題型！

（1）猜想并寫出第n個(gè)等式；

（2）證明你寫出的等式的正確性

沿用從左證到右，但又要改進(jìn)之亦可如何？觀察不可少！從要證的等式發(fā)現(xiàn)，右邊保留了左邊第二個(gè)因式于是可以把左邊第一個(gè)因式n改寫為［（n+1）-1］，即左邊=［（n+1）-1］n（運(yùn)用乘法對(duì)加法的分配律）=右邊，顯然所用的基本知識(shí)，少之又少，可謂一個(gè)“小動(dòng)作”帶來(lái)何等興奮的“智慧”之舉！有想法即有“靈感”，再平常也不放過(guò)！

例3（七年級(jí)下冊(cè)教材第157頁(yè)第六章習(xí)題8）已知x1、x2、x3、x4、x5的平均數(shù)是x，方差是s2，a是任一常數(shù).

（1）求x1+a、x2+a、x3+a、x4+a、x5+a的平均數(shù)與方差；

（2）求ax1、ax2、ax3、ax4、ax5的平均數(shù)與方差.

教學(xué)點(diǎn)評(píng)：關(guān)于數(shù)據(jù)組同加、同乘一個(gè)數(shù)后與原數(shù)據(jù)組的平均數(shù)、方差間的關(guān)系，運(yùn)用定義不難推出：（1）平均數(shù)是x+a、方差仍是s2；（2）平均數(shù)是ax、方差變?yōu)閍2s2！接著老師們一定會(huì)舉出具體例子來(lái)鞏固強(qiáng)化或一般推廣！但常常是常規(guī)的變形，如“已知x1、x2、x3、x4、x5的平均數(shù)是5，方差是1，求x1+3、x2+3、x3+3、x4+3、x5+3的平均數(shù)與方差”.亦可不規(guī)則變形，比如“已知x1、x2、x3、x4、x5的平均數(shù)是5，求x1+1、x2+2、x3+3、x4+4、x5+5的平均數(shù)”.一般思維品質(zhì)的做法：運(yùn)用平均數(shù)公式去算的，以為不能運(yùn)用上面的公式！優(yōu)秀思維品質(zhì)的做法：數(shù)據(jù)組可以規(guī)則化，具體即原數(shù)據(jù)組后面加的數(shù)1、2、3、4、5的平均數(shù)是3，故可看作求x1+3、x2+3、x3+3、x4+3、x5+3的平均數(shù)，于是利用上面的規(guī)律結(jié)論，它的平均數(shù)是5+3=8，于是x1+1、x2+2、x3+3、x4+4、x5+5的平均數(shù)為8.但是求方差卻不可以如上使用！從而從根本上認(rèn)識(shí)此方法的通性與局限性！

總之，如果不這樣處理，那本習(xí)題的教學(xué)價(jià)值就沒(méi)有從根本上挖掘與充分利用！學(xué)生可能的失誤就會(huì)就此埋下了種子！對(duì)比，由“規(guī)則→不規(guī)則→規(guī)則”小技巧的習(xí)題變式使用，不可小視，也是一個(gè)“小智慧”呢！

例4（2012年泰安中考題）如圖4，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB、BE⊥AC，垂足分別為D、E，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，BE與DF、DC分別交于點(diǎn)G、H，∠ABE=∠CBE.

（1）線段BH與AC相等嗎？若相等，請(qǐng)給予證明；若不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）求證BG2-GE2=EA2.

教學(xué)點(diǎn)評(píng)：有位老師直接就用原題，貌似講得有力，聽(tīng)得有味，學(xué)得充實(shí)，但是其后讓學(xué)生單獨(dú)再練習(xí)，結(jié)果令人大失所望！學(xué)生的真實(shí)想法：條件是依據(jù)但是誰(shuí)的依據(jù)，又如何有效利用，不知如何下手？我的做法順序呈現(xiàn)為：①如圖5，在△ABC中，H為垂心，BH=AC，求∠ABC的度數(shù)（設(shè)計(jì)意圖：考查垂心的定義、圖示及輔助線、三角形全等的判定、等腰直角三角形的性質(zhì)等）；②如圖5，在△ABC中，H為垂心，∠ABC=45°，求證BH= AC（設(shè)計(jì)意圖：知識(shí)點(diǎn)同上，方法點(diǎn)即認(rèn)識(shí)逆命題造題法）；③在②的基礎(chǔ)上，再添加條件F是BC的中點(diǎn)，連接DF交BE于點(diǎn)G，如圖6，求證BG2-GE2=CE2（設(shè)計(jì)意圖：除以上知識(shí)點(diǎn)外還考查了等腰三角形“三線合一”定理、勾股定理等）；④在③的基礎(chǔ)上，再添加條件∠ABE=∠CBE，求證BG2-GE2=EA2.（設(shè)計(jì)意圖：除以上考點(diǎn)外，繼續(xù)分散目標(biāo)對(duì)象，加大難度，考查轉(zhuǎn)化思想方法；還考查：可運(yùn)用平方差公式改證（BG+GE）（BG-GE）=AE2，也即證BE×（BG-GE）=AE2，呈現(xiàn)射影定理模型，于是可通過(guò)延長(zhǎng)BE到點(diǎn)O，使BG=GO，于是即證BE×OE=AE2，顯然由FG為△BCO的中位線、DF⊥BC，可得∠BCO=90°，即有Rt△BCO中CE是斜邊BO上的高，運(yùn)用射影定理立馬可得要證的結(jié)論！讓代數(shù)、幾何的融合，知識(shí)的拓展、模型的挖掘、輔助線的合理運(yùn)用有了現(xiàn)實(shí)平臺(tái)）

圖4

圖5

圖6

先改編為一系列的小題目，讓學(xué)生作為鋪墊題自我練習(xí)，再交流討論條件在問(wèn)題中的地位和作用，課堂表現(xiàn)，興趣濃、積極性高、各個(gè)層次的學(xué)生都學(xué)有所獲；接下來(lái)的環(huán)節(jié)：綜合這些小題目，即出示原題即2012年泰安中考題，由于有上面對(duì)條件的一些基本認(rèn)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)積累，很快大部分的同學(xué)得出了完整解法，并感嘆綜合題實(shí)質(zhì)是一系列小題目的“混合體”，其他同學(xué)也或多或少的有些思路和步驟，只要時(shí)間再寬裕點(diǎn)，也能寫出個(gè)一二三！效果大不一樣！關(guān)于幾何推理能力的培養(yǎng)是一個(gè)常談常新的教學(xué)課題，看來(lái)“給點(diǎn)時(shí)間，常下位（試驗(yàn)、合作、取樣）看看”，不難得到都知曉但不一定常用的舉措：先分解為“基本典型的小題目系列”，再綜合這些小題目，讓條件混雜在一起，不再有針對(duì)性，從而使條件被集中、被選擇的空間增大，自然加大了坡度，其實(shí)施源于對(duì)小題目細(xì)致分析布局所致，讓學(xué)生深深體會(huì)出“由小變大、由大變小，拆與拼”，實(shí)乃組合與分解的有機(jī)融合過(guò)程而已，有效解題的關(guān)鍵是弄明白條件在目標(biāo)中的作用、地位和價(jià)值！

無(wú)需再例，靜下來(lái)的習(xí)慣、突破常規(guī)的意識(shí)、挑戰(zhàn)已有經(jīng)驗(yàn)和定勢(shì)、不斷創(chuàng)新與時(shí)俱進(jìn)的信念、有機(jī)整合串聯(lián)的方法鞏固行動(dòng)，對(duì)平常不放過(guò)、小處著眼等，這些好的方式方法是來(lái)自于平時(shí)“小智慧”的不斷積累與創(chuàng)造使用后升華的結(jié)晶，由此我們呼吁：別讓“小智慧”從我們指間溜走！

1.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（初中）［M］.長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，2014.

2.陳金紅.“典例導(dǎo)題·問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”案例片段［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（1）.

3．陳金紅.在“自然拓展”中拔高案例解讀［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（4）.

4.陳金紅.你真的看過(guò)教材嗎？［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中），2015（1-2）.

5．陳金紅，郭作華.常見(jiàn)，但有時(shí)不可視而不見(jiàn)［J］.教育科學(xué)論壇，2015（8）.H

全國(guó)教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度教育部規(guī)劃課題FHB130512《生命課堂視野下的教學(xué)案例研究》階段性成果之一.