陳小亮，黃開志，王小榮

（重慶科技學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，重慶 401331）

三種非線性彈性地基梁的變形和內(nèi)力研究

陳小亮，黃開志，王小榮

（重慶科技學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，重慶 401331）

研究地基反力與地基梁撓度成非線性關(guān)系對長、中、短3種類型地基梁的變形和內(nèi)力的影響。基于實驗數(shù)據(jù)，分別將地基反力與梁的撓度擬合成線性關(guān)系和三次多項式關(guān)系；然后采用有限差分法和牛頓迭代法編程，解出非線性彈性地基梁和經(jīng)典線彈性地基梁的撓度、轉(zhuǎn)角、剪力和彎矩隨地基梁長度變化的曲線。算例計算表明：對于短梁，非線性彈性地基梁和經(jīng)典線彈性Winkler地基梁的變形和內(nèi)力一致；對于中、長梁，二者的相對誤差可達(dá)到10%～20%，因此在實際工程中應(yīng)盡量考慮地基反力與沉降的非線性關(guān)系；中等長度非線性彈性地基梁和線彈性地基梁變形和內(nèi)力的相對誤差隨梁長度變化而變化，而對于長的地基梁二者的相對誤差不隨梁長度改變而變化。

非線性彈性地基梁；有限差分法；撓度；轉(zhuǎn)角；剪力；彎矩

0 引言

地基梁在土建、水力、橋梁、生物力學(xué)等工程領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，地基梁的力學(xué)分析多采用Winkler地基梁模型，即假定地基和地基梁之間的作用力與梁的撓度成正比例關(guān)系。李曉雙等［1］采用最小勢能原理推導(dǎo)了Winkler彈性地基梁的無網(wǎng)格伽遼金離散系統(tǒng)方程。PENG等［2］探討了黏彈性地基上有限長Euler-Bernoulli梁橫向振動的固有頻率和簡諧均布荷載作用下的動力響應(yīng)；蔣秀根等［3］采用Winkler彈性地基梁理論確定了彈性地基梁的撓度方程解析通解，得到了解析型彈性地基歐拉梁單元及鐵摩辛柯梁單元剛度矩陣；趙偉東等［4］采用打靶法研究了熱、機(jī)械載荷聯(lián)合作用對端部夾緊彈性地基梁的中心撓度的影響；馮又全等［5］采用加權(quán)余量法推導(dǎo)了計算線性分布基床系數(shù)彈性地基梁時的2節(jié)點五次位移函數(shù)和相應(yīng)的單剛矩陣，從而實現(xiàn)只需劃分很少的單元數(shù)，節(jié)點位移即可達(dá)到較高的計算精度；孫炳書等［6］系統(tǒng)總結(jié)介紹了幾種彈性地基梁的模型及其優(yōu)缺點。筆者從實測的P-S曲線（基地壓力與沉降的關(guān)系）出發(fā)，將P-S曲線擬合成三次多項式函數(shù)，研究了短、中、長3種類型的非線性彈性地基梁變形和內(nèi)力的特征。

1 非線性地基梁模型

非線性地基梁微元模型如圖1所示，根據(jù)微元體平衡方程有：

根據(jù)梁的小變形彎曲理論有：

圖1 地基梁微元Fig.1 Differential element of beams

式（1）中R為地基對梁的分布反力，式（3）中w為梁的撓度（向下為正）。若梁段內(nèi)沒有分布外力（即式（1）中q=0），則由式（1）～（3）可得：

2 非線性地基反力的實驗數(shù)據(jù)擬合

利用文獻(xiàn)［7］的實驗數(shù)據(jù)，如圖2所示，利用Origin軟件可作出非線性地基反力R隨梁撓度w變化的三次多項式擬合關(guān)系：

其中k1=6.513 53×106N/m2，k2=6.573 91×109N/m3，k3=2.073 43×1012N/m4。根據(jù)Origin軟件，三次多項式擬合和經(jīng)典Winkler地基梁正比例關(guān)系擬合的相關(guān)系數(shù)分別為0.999 18和0.899 18，可見三次多項式的擬合效果較好。

3 有限差分法和算例

如圖3所示，考慮一端固定的地基梁在自由端受集中力F=105N作用，梁抗彎剛度EI=2×109N·m2,地基梁的特征長度［8］（其中k取圖2中線性擬合的比例系數(shù)，即k=2.358 67×107N m2），梁的長度L分別取1/10～10倍的特征長度L*（數(shù)值計算的步長取1/10L*），分別對應(yīng)考慮短、中、長3種不同類型的地基梁。

圖2 地基反力-撓度擬合Fig.2 Fitting of reaction force and deflection of foundation

圖3 一端固定的地基梁Fig.3 One side fixed beam

將梁分成n等份，將非線性地基反力R隨梁撓度w變化的三次多項式擬合關(guān)系式（5）代入式（4）中可得微分方程（4）的中心差分格式為

利用牛頓迭代法［9］和MATLAB編程［10］數(shù)值求解上面的非線性代數(shù)方程組，可以得到非線性和線性彈性地基梁的撓度、轉(zhuǎn)角、剪力和彎矩，分別如圖4、圖5、圖6、圖7所示。其中對線性彈性地基梁，上面的非線性代數(shù)方程組系數(shù)a1、a2、a3中k1取圖2中線性擬合的比例系數(shù)，k2、k3均為0。

從圖4可以看出：對于短梁（地基梁相對長度L/L*＜0.5），經(jīng)典線彈性Winkler地基梁和非線性地基梁最大撓度基本一致，最大相對誤差為1%；對于中長地基梁（L/L*＞0.5），非線性地基梁最大撓度均比線彈性地基梁的大；中等長度（0.5＜L/L*＜5）非線性地基梁與線彈性地基梁最大撓度的相對誤差隨梁長度增大呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢，最大相對誤差為11%；長的（L/L*＞5）非線性地基梁與線彈性地基梁最大撓度的相對誤差基本不隨梁長度變化而變化，相對誤差為7%。

從圖5可以看出：對于短梁（L/L*＜0.5）和長梁（L/L*＞5），線彈性Winkler地基梁和非線性地基梁最大轉(zhuǎn)角基本一致，最大相對誤差為1.2%；對于中等長度（0.5＜L/L*＜5）非線性地基梁與線彈性地基梁，轉(zhuǎn)角的相對誤差隨梁長度變化而呈現(xiàn)先增大后減小、又再增大然后減小的波動，最大相對誤差為9.6%。

如圖6所示，本算例中：短、中、長線彈性Winkler地基梁和非線性地基梁的最大剪力都在梁的右端部，大小都等于梁右端部的集中力，故線彈性Winkler地基梁和非線性地基梁的最大剪力都不隨梁的長度改變而變化。

從圖7可以看出：對于短梁（L/L*＜0.5），經(jīng)典線彈性Winkler地基梁和非線性地基梁最大彎矩基本一致，最大相對誤差為1.6%；對于中等長度（0.5＜L/L*＜5）非線性地基梁與線彈性地基梁，最大彎矩的相對誤差隨梁長度增大呈現(xiàn)出先增大后減小、然后又增大的趨勢，最大相對誤差為18.3%；長的（L/L*＞5）非線性地基梁與線彈性地基梁最大彎矩的相對誤差基本不隨梁長度變化而變化，相對誤差為17.7%。

圖4 地基梁的最大撓度與其相對長度的關(guān)系Fig.4 Relationship of maximal deflection and relative length of beams

圖5 地基梁的最大轉(zhuǎn)角與其相對長度的關(guān)系Fig.5 Relationship of Maximal slope and relative length of beams

圖6 地基梁內(nèi)的最大剪力與其相對長度的關(guān)系Fig.6 Relationship of maximal shearing force and relative length of beams

圖7 地基梁內(nèi)的最大彎矩與其相對長度的關(guān)系Fig.7 Relationship of maximal bending moment and relative length of beams

4 結(jié)論

（1）對于長度小于1/2特征長度的短地基梁，經(jīng)典線彈性Winkler地基梁和非線性地基梁的變形和內(nèi)力都基本一致，二者最大相對誤差在1%左右，此時可以將實際地基梁按Winkler地基梁來處理。

（2）對于長度在1/2～5倍特征長度的中等長度地基梁，經(jīng)典線彈性Winkler地基梁和非線性地基梁的變形和內(nèi)力不一致，且二者的相對誤差隨梁的長度變化而變化。

（3）對于長度大于5倍特征長度的長地基梁，經(jīng)典線彈性Winkler地基梁和非線性地基梁的變形和內(nèi)力不一致，且二者的相對誤差不隨梁的長度變化而改變。

（4）對于中長地基梁，經(jīng)典線彈性Winkler地基梁和非線性地基梁的變形和內(nèi)力最大相對誤差可達(dá)10%～20%，因此在實際工程中應(yīng)盡量考慮地基反力與沉降的非線性關(guān)系。

（References）

［1］李曉雙，趙慧明，楊敏.彈性地基梁問題的無網(wǎng)格伽遼金分析［J］.河南科技大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，33（3）：36-38.

［2］PENG L，WANG Y.Differential quadrature method for vibration analysis of beams on viscoelastic foundations［J］.Journal of Shanghai Normal University：Natural Sciences Edition，2015，44（2）：132-137.

［3］李瀟，王宏志，蔣秀根，等.解析型Winkler彈性地基梁單元構(gòu)造［J］.工程力學(xué)，2015，32（3）：66-72.

［4］趙偉東，楊亞平，王雪，等.彈性地基梁在熱—機(jī)械載荷作用下的非線性響應(yīng)［J］.青海大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，32（2）：41-44.

［5］馮又全，楊敏，陳俊嶺.線性分布基床系數(shù)彈性地基梁有限單元法改進(jìn)［J］.巖土力學(xué)，2014，35（10）：3027-3034.

［6］孫炳書，劉明文.關(guān)于彈性地基梁模型與計算方法［J］.工業(yè)建筑，2014，44（增刊）：818-820.

［7］FRYDRYSEK K，MICHENKOVA S，NIKODYM M.Straight beams rested on nonlinear elastic foundations-Part 1（theory，ex?periments，numerical approach［J］.Applied Mechanics and Materials，2014，684：11-20.

［8］龍馭球.彈性地基梁的計算［M］.北京：高等教育出版社，1981.

［9］李慶揚，王能超，易大義.數(shù)值分析［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2008.

［10］MICHENKOVA S，F(xiàn)RYDRYSEK K，NIKODYM M.Straight beams rested on nonlinear elastic foundations-Part 2（numerical solutions，results and evaluation［J］.Applied Mechanics and Materials，2014，684：21-29.

（責(zé)任編輯：陳 曠）

Deformation and Internal Force Analysis of Three Kinds of Beams on Non-Linear Elastic Foundation

CHEN Xiaoliang，HUANG Kaizhi，WANG Xiaorong
（School of Mathematics and Physics，Chongqing University of Science and Technology，Chongqing 401331，China）

To study the influence of non-linear relationship of foundation reaction force and beam deflection on deformation and internal force of long，medium and short these three kinds of foundation beam.Based on experimental data，the reaction force of foundation and the beam deflection were fitted as linear relationship and cubic polynomial，and then did program with finite difference method and Newton iteration method，to solve the curve of beams′length and deflection，slope，shearing force，bending moment of non-linear elastic foundation beams and classical linear elastic foundation beams.The numerical case showed the deformation and internal force of short non-linear and linear elastic Winkler beams are the same；the relative errors could reach 10%-20%for medium and long beams，so the nonlinear relationship of foundation reaction force and settlement should be considered in real engineering；the relative error of the deformation and internal force of medium non-linear and linear elastic beams changed with the length of beams，but to long beams，the relative error did not changed with the length.

non-linear elastic foundation beams；finite difference method；deflection；slope；shearing force；bending moment

TU471

：A

：1673-0143（2015）06-0571-06

10.16389/j.cnki.cn42-1737/n.2015.06.016

2015-09-30

重慶科技學(xué)院研究生教育教學(xué)改革研究項目（YJG2014Y008）

陳小亮（1980—），男，副教授，博士，研究方向：計算固體力學(xué)。