李峰泉

(西安外事學(xué)院 工學(xué)院，陜西 西安 710077)

基于映射的圖像多角度復(fù)小波變換*

李峰泉

(西安外事學(xué)院 工學(xué)院，陜西 西安 710077)

摘要：圖像處理已經(jīng)廣泛應(yīng)用于諸多領(lǐng)域。信號和圖像處理領(lǐng)域中非常有用的工具——離散小波變換(DWT)只能從水平、垂直和對角3個方向分解圖像，分解的相位信息也相對較少。針對這種情況，提出了基于映射的復(fù)小波變換，其展現(xiàn)出了良好的方向性和平移敏感性，相位信息也易于獲取且清晰。試驗分析結(jié)果表明，基于映射的復(fù)小波變換能夠很好地實現(xiàn)圖像的多角度分解和圖像完全重構(gòu)，并且設(shè)計容易，其應(yīng)用前景廣泛。

關(guān)鍵詞：離散小波變換；映射；復(fù)小波變換；多角度

近年來，圖像處理技術(shù)在許多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。圖像變換是圖像處理研究的主要內(nèi)容之一。1974年，法國工程師J. Morlet首先提出小波變換的概念后，小波變換的研究和應(yīng)用就在信號處理和圖像變換等領(lǐng)域普及開來。小波變換解決了傅里葉變換存在的時域和頻域不能局部化等諸多問題，被譽為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，它是調(diào)和分析發(fā)展史上的里程碑，在信號處理、圖像編碼和紋理識別等領(lǐng)域都有深入的研究和應(yīng)用。離散小波變換是對小波變換的時域和頻域離散化得到的變換技術(shù)，是小波變換理論的一個重要發(fā)展，但它的每一個尺度空間只能從水平、垂直和對角3個方向進行分解，且得到的相位信息相對有限，從而限制了它在很多領(lǐng)域中的應(yīng)用。

隨著小波技術(shù)應(yīng)用范圍的不斷擴大，Kingsbury提出了二元樹復(fù)小波變換(DT CWT)，克服了離散小波變換的方向性局限的缺陷。二元樹復(fù)小波變換具有良好的平移敏感性和方向性，并能獲得清晰的相位信息。然而設(shè)計Kingsbury二元樹復(fù)小波變換濾波器需要進行反復(fù)的迭代運算，非常復(fù)雜，并且冗余較大(對于m維信號，它有2m的冗余)[1]。

綜合上述因素，F(xiàn)elix等人提出了基于映射的復(fù)小波變換，將映射理論與復(fù)小波變換技術(shù)相結(jié)合，把信號用復(fù)值濾波器映射到一個新的復(fù)函數(shù)空間——Softy空間，使其實部和虛部構(gòu)成一個Hilbert變換對，再進行小波運算，既可以獲得準(zhǔn)確清晰的相位信息，又克服了平移敏感性和弱方向性，且濾波器設(shè)計相對簡單?；谟成涞膹?fù)小波變換可以對地震資料進行屬性計算和紋理分析等，具有計算效率高和處理效果好等優(yōu)點[2]。

1二元樹復(fù)小波變換與Softy空間的映射轉(zhuǎn)換

1.1二元樹復(fù)小波變換

復(fù)小波變換和普通小波變換的濾波系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上基本相同，不同的是復(fù)小波變換的濾波器的系數(shù)和輸出結(jié)果都是復(fù)數(shù)。對于單純的復(fù)小波變換來說，完全重構(gòu)的設(shè)計十分困難。

二元樹復(fù)小波變換(DT CWT)是一種常用的復(fù)小波變換。它保留了復(fù)小波變換的諸多優(yōu)良特性：近似的平移不變性、良好的方向選擇性、清楚的相位信息、有限的冗余和高效的計算等，同時還具有完全重構(gòu)特性。圖1所示為二元樹復(fù)小波變換示意圖，它包含2個平行的小波樹，即樹a和樹b。如果濾波器g0和g1的延遲與濾波器h0和h1的延遲之間恰好是一個采樣間隔，那么就可以確保樹b中第1層的向下采樣值取到樹a中因隔點采樣而舍棄的、未保留的采樣值。

圖1　四層二元樹復(fù)小波變換示意圖

為了實現(xiàn)二元樹復(fù)小波變換的反變換，對圖1中每一棵樹分別使用雙正交濾波器(設(shè)計成與對應(yīng)的分析濾波器具有完全重構(gòu)特性)進行反變換，最后對2棵樹的輸出結(jié)果進行平均，以保證整個系統(tǒng)近似的平移不變[3-4]，這個系統(tǒng)是冗余度為2的小波框架。因為它可以對頻率空間的各個部分進行劃分，將產(chǎn)生6個方向的復(fù)系數(shù)帶通子圖。

但是，二元樹復(fù)小波變換采用奇/偶濾波器會帶來一些問題，例如：采樣的結(jié)構(gòu)不對稱；兩棵樹有輕微不同的頻率響應(yīng)；線性相位的濾波器只可能是雙正交的，在信號和變換域之間不保能量[5-9]。因此，本文引入Hardy空間。

1.2Hardy空間

Hardy空間的定義：若一個復(fù)數(shù)域的向量空間，當(dāng)頻率<0時，其能量為0，則稱這個空間為Hardy空間，即：

(1)

Hardy空間是復(fù)數(shù)域C中的向量空間，在實際的信號處理和圖像處理等應(yīng)用中,信號一般都是L2(R)中的函數(shù)，為了建立L2(R)與H2(C)的聯(lián)系，將Hardy空間定義在實數(shù)域中。在實空間中可以證明L2(R)與H2(C)是同構(gòu)的，可以建立一一映射關(guān)系。從而可以將L2(R)內(nèi)的信號映射到內(nèi)，然后進行DWT變換，從而可以增強方向性，減少平移敏感性，并可提供清楚的相位信息。這里以FH表示L2(R)內(nèi)的序列到H2(R)內(nèi)的映像，則FH可定義為：

(2)

其逆映射定義為：

(3)

圖2　Hardy空間的DWT變換流程

然而不能用數(shù)字濾波器實現(xiàn)從L2(R)空間到Hardy空間的一一映射，為此引入了Softy空間的概念。Softy空間可以用數(shù)字濾波器來實現(xiàn)L2(R)到Softy空間的一一映射，并且與Hardy空間的特征十分相似。

1.3Softy空間及映射轉(zhuǎn)換

Softy空間的內(nèi)積定義為：

?f+,g+∈S+

(4)

(5)

Hardy空間、Softy空間和空間L2(R)之間的關(guān)系如圖3所示。

圖3　L2(R)空間、Hardy空間和Softy空間的關(guān)系

2基于映射的復(fù)小波變換

如果將映射濾波器設(shè)計成復(fù)系數(shù)，則可以得到一種復(fù)小波變換。由于這種復(fù)小波變換是在實小波變換前加了1個前置濾波器，可以用最大平滑濾波器和極小極大濾波器設(shè)置濾波器，將L2(R)空間的函數(shù)映射到Softy空間，再做DWT變換，當(dāng)然也可以先將信號進行DWT變換，把得到的分量再映射到Softy空間，以這種方式實現(xiàn)的復(fù)小波變換可稱為基于映射的復(fù)小波變換。

基于映射的復(fù)小波變換(Projection CWT)中，CWT的構(gòu)成有2種方法：一種采用前置濾波器的(Pre-Projection CWT)，就是在DWT變換前先通過映射濾波器，圖4所示即是前置濾波器的無冗余復(fù)小波變換；另一種是后置濾波器的CWT(Post-Projection CWT)，就是先進行DWT變換，然后通過映射波濾器，圖5所示即為后置濾波器的無冗余復(fù)小波變換。試驗證明采用前置濾波器的效果更好一些。

圖4　前置映射濾波器的CWT

圖5　后置映射濾波器的CWT

圖6所示為基于映射的復(fù)小波變換的頻率響應(yīng)圖，與Softy空間的DWT流程相似，其首先將待分析信號從時間域映射到Softy空間，然后做DWT變換，在時間尺度域中做必要的處理后，再做IDWT變換，處理完成后再把信號逆映射回時間域。

圖6　映射濾波器的頻率響應(yīng)

3應(yīng)用映射的復(fù)小波變換進行圖像多角度分解

應(yīng)用映射濾波器對圖7a所示的Lena圖像進行復(fù)小波變換，可以得到如圖7b～圖7g所示的輸出結(jié)果，分別為從+75°、+45°、+15°、-15°、-45°和-75°6個方向分解后的圖像。圖8所示為得到的對應(yīng)6個方向的分量相位。

圖7　對Lena圖像做映射復(fù)小波變換的結(jié)果

圖8　對Lena圖像做映射復(fù)小波變換得到的各分量的相位

試驗證明，可以用6個分量完全重構(gòu)出Lena圖像。

4結(jié)語

本文通過分析描述了離散小波變換、二元樹復(fù)小波變換以及基于映射的復(fù)小波變換理論發(fā)展和各自特點，并應(yīng)用基于映射的復(fù)小波變換設(shè)計試驗，證實了其能夠把正垂直、負垂直和正水平、負水平的4個分量分開，增強了圖像分解的方向性，得到6個方向圖像分量和6個方向上的相位?；谟成涞膹?fù)小波變換應(yīng)用于圖像的多角度分解，可以完全重構(gòu)原圖像，誤差極小，并且濾波器設(shè)計比較容易，是一種很實用、很有效的圖像處理方法，其將會廣泛應(yīng)用于圖像多角度分析和圖像重構(gòu)中。

參考文獻

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*西安市社科基金資助項目(13IN32)

責(zé)任編輯鄭練

Projection-based Multi-angle Complex Wavelet Transform for Image Processing

LI Fengquan

(College of Technolog, Xi′an International University, Xi′an 710077, China)

Abstract:Image processing is widely used in many fields. Discrete wavelet transform is an useful tool in signal and image processing, but because of it’s limit of coefficients reveal only three spatial orientations: horizontal, vertical, and diagonal, phase information cannot be collected fully. In view of this, proposed projection-based complex wavelet transform, it showed good characteristics in directional enhance with shift-insensitive and explicit phase information. It employed projection-based complex wavelet transform to do experiments for image dissection in every direction. The result showed that the method works better in image dissection and image reconstruction completely, which has good application prospect.

Key words:discrete wavelet transform, projection, complex wavelet transform, multi-angle

收稿日期：2015-01-05

作者簡介：李峰泉(1977-)，男，講師，碩士，主要從事圖像處理和計算機網(wǎng)絡(luò)技術(shù)等方面的研究。

中圖分類號：TP 391

文獻標(biāo)志碼：A