劉　潔

(西安工業(yè)大學(xué) 體育學(xué)院，陜西 西安 710032)

基于運(yùn)動(dòng)約束與最小能耗的平面腿型跳躍機(jī)器人穩(wěn)定跳躍步態(tài)生成算法

劉潔

(西安工業(yè)大學(xué) 體育學(xué)院，陜西 西安 710032)

摘要：針對(duì)在規(guī)則平面運(yùn)動(dòng)的腿型跳躍機(jī)器人跳躍運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃問題，在考慮腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，引入運(yùn)動(dòng)約束條件，以機(jī)器人完整跳躍周期最小能耗作為最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)，以此生成穩(wěn)定步態(tài)生成算法，從而求解出機(jī)器人各個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)的最佳運(yùn)動(dòng)軌跡。

關(guān)鍵詞：腿型跳躍；運(yùn)動(dòng)約束；目標(biāo)函數(shù)；算法

1平面三桿二驅(qū)動(dòng)腿型跳躍機(jī)器人模型構(gòu)建

腿型跳躍機(jī)器人的起跳過程可看做從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，再到靜態(tài)的過程，因此，為更方便地對(duì)該過程中機(jī)器人各個(gè)部分的位置進(jìn)行描述，需要對(duì)機(jī)器人的本體進(jìn)行抽象和構(gòu)建。對(duì)跳躍機(jī)器人的研究通常集中在矢狀面上，即只考慮機(jī)器人的前進(jìn)運(yùn)動(dòng)，而不考慮機(jī)器人的側(cè)向運(yùn)動(dòng)，且各個(gè)旋轉(zhuǎn)軸線相互平行，同時(shí)不考慮振動(dòng)和環(huán)境對(duì)機(jī)器人產(chǎn)生的影響；因此，稱腿型跳躍機(jī)器人為平面跳躍機(jī)器人。

圖1　腿型跳躍機(jī)器人模型及坐標(biāo)構(gòu)建

當(dāng)前針對(duì)機(jī)器人分析模型和參數(shù)的構(gòu)建通常采用將全部的質(zhì)量集中在固結(jié)于上肢體的某一個(gè)位置當(dāng)中，且忽略腿部自身的質(zhì)量。就目前的機(jī)器人制造技術(shù)分析，很難忽略機(jī)器人各個(gè)肢體的質(zhì)量，因此，針對(duì)上述情況，本文在考慮各個(gè)肢體實(shí)際的質(zhì)量參數(shù)的同時(shí)，將雙關(guān)節(jié)腿型跳躍機(jī)器人簡(jiǎn)化為如圖1所示的模型。

2基于腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

通過對(duì)腿型跳躍生物分析，將腿型機(jī)器人從起跳到最后的靜止分為起跳階段、騰空階段和落地階段3個(gè)部分。本文在考慮腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)的條件下，將完整的連續(xù)周期分為起跳相、騰空相和碰撞相3個(gè)階段(見圖2)，同時(shí)滿足動(dòng)力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)和穩(wěn)定約束3個(gè)條件。

圖2　連續(xù)周期運(yùn)動(dòng)相圖

(1)

圖1c中，{W}、{C}和{O}分別表示世界坐標(biāo)系、腳尖坐標(biāo)系和質(zhì)心坐標(biāo)系。

式1中的(cxcmi，cycmi)則為機(jī)器人各個(gè)桿件在{C}當(dāng)中的質(zhì)心坐標(biāo)，且有：

(2)

結(jié)合雅克比矩陣Ja和世界坐標(biāo)系{W}可得到桿件質(zhì)心位移和系統(tǒng)質(zhì)心位移：

wXcmi=wX0+cXcmi

wXCM=wX0+f(θa)

(3)

通過位移可求得相對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)質(zhì)心速度：

(4)

CM、cmi和0分別表示系統(tǒng)質(zhì)心、桿件質(zhì)心和腳掌趾關(guān)節(jié)。

3腿型機(jī)器人連續(xù)動(dòng)力學(xué)模型構(gòu)建

在完整周期內(nèi)，起跳相、騰空相和落地相的動(dòng)力學(xué)分析最為關(guān)鍵，因此需要構(gòu)建連續(xù)動(dòng)力學(xué)模型。

結(jié)合廣義坐標(biāo)系向量和拉格朗日方程可得到腿型機(jī)器人的連續(xù)動(dòng)力學(xué)模型：

(5)

4被動(dòng)關(guān)節(jié)解模型及運(yùn)動(dòng)約束

通過圖1b可以看出機(jī)器人具備2個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)，定義為qa=[θ1θ2]T，由此如果根據(jù)該主動(dòng)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軌跡在某約束條件下具有可行解，則通過MATLAB軟件可在給定的主動(dòng)關(guān)節(jié)中得到其被動(dòng)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軌跡，并可得到主動(dòng)關(guān)節(jié)qa(t)、qp(t)解模型，以此求解出機(jī)器人完成穩(wěn)態(tài)步法的系統(tǒng)動(dòng)能最優(yōu)軌跡[1]。

4.1被動(dòng)關(guān)節(jié)解模型

4.1.1起跳相

在該階段假設(shè)足尖沒有發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，因此，在給定可行的qa(t)時(shí)，通過對(duì)式5進(jìn)行積分求解，從而在Fq12(·)為欠驅(qū)動(dòng)相時(shí)，可以得出：

qp(t)=Fq12(qa(t)),t∈[t1,t2]

(6)

4.1.2 騰空相

騰空時(shí)重力全部作用在腿型跳躍機(jī)器人的系統(tǒng)質(zhì)心上，因此，根據(jù)線速度和角動(dòng)量守恒，通過變化可得到Fq24(·)時(shí)qa(t)和qp(t)的關(guān)系算子為：

qp(t)=Fq24(qa(t)),t∈[t2,t4]

(7)

4.1.3落地相

落地相則有qp(t)=[lh0]T。

通過上述分析，給定的一組qp(t)要么為常數(shù)，要么為函數(shù)，因此，對(duì)機(jī)器人動(dòng)力特定的決定因素取決于qp(t)，從而通過對(duì)式5的求解得到驅(qū)動(dòng)力矩向量和qp(t)的關(guān)系：

τa(t)=Fτa(qa(t))

(8)

4.2運(yùn)動(dòng)約束

機(jī)器人跳躍在不同的相其受力情況不同，因此，不同階段的運(yùn)動(dòng)約束也不同，因此通過編程保證其嚴(yán)格按照程序設(shè)定軌跡運(yùn)動(dòng)。在實(shí)際中，通常包括下述幾種運(yùn)動(dòng)約束。

4.2.1直流伺服電動(dòng)機(jī)運(yùn)動(dòng)約束

機(jī)器人在跳躍時(shí)直流伺服電動(dòng)機(jī)的齒輪角位移不能連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，而是保持在一定的角度之內(nèi)，因此有：

θi,min≤θi≤θi,max,(i=1,2)

(9)

考慮供給電動(dòng)機(jī)線圈可抵消正比于電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速的反動(dòng)電勢(shì)，剩余的電壓則通過機(jī)電效應(yīng)產(chǎn)生電動(dòng)機(jī)力矩，由此有如下的約束條件：

(10)

4.2.2系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)約束

要使系統(tǒng)消耗最小的能量而得到最遠(yuǎn)的距離，應(yīng)將機(jī)器人騰空看成拋物線的原理，因此則有：

(11)

通過式11可以看出其水平位移和豎直位移相同時(shí)，即當(dāng)其角度為45°時(shí)位移最大。

4.2.3接觸力約束

要使得機(jī)器人在落地相后保持穩(wěn)定，則需要滿足機(jī)器人的腳掌和地面沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，因此有：

|(fg)x|≤μ(fg)y,t∈[t1,t2]且t∈[t3,t4]

(12)

4.2.4腳掌與地面間隙約束

在起跳相(欠驅(qū)動(dòng)相)時(shí)，腿型跳躍機(jī)器人的腳掌圍繞足尖旋轉(zhuǎn)造成腳后跟與地面之間產(chǎn)生間隙，從而開始準(zhǔn)備起跳，因此有：

θ0(t)>0,t∈[t1,t2]

(13)

4.2.5邊界約束

完整起跳周期包括從起跳到最后的落地停穩(wěn)，因此有：

(14)

5基于運(yùn)動(dòng)約束與最小能耗的穩(wěn)步跳躍步態(tài)生成算法及仿真

5.1算法設(shè)計(jì)

定義性能優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為：

(15)

在對(duì)式15進(jìn)行求解的過程中，其時(shí)間段根據(jù)起跳、騰空和落地3個(gè)階段，每段以貝塞爾多項(xiàng)式表示的光滑連續(xù)軌跡。由此則有各階段主動(dòng)關(guān)節(jié)軌跡的多項(xiàng)式：

qa-ij(t)=Aijh(t),t∈[ti,tj]

(16)

通過多項(xiàng)式優(yōu)化公式則有：

(17)

S.T.(9-14)

(18)

由此通過上述構(gòu)建，可得到如圖3所示的穩(wěn)步跳躍步態(tài)算法流程。

圖3　穩(wěn)步跳躍步態(tài)算法流程

5.2仿真結(jié)果分析

通過應(yīng)用軟件MATLAB 7.1進(jìn)行數(shù)據(jù)模擬，從而可以得出如圖4所示的穩(wěn)定跳躍下主動(dòng)關(guān)節(jié)最佳軌跡結(jié)果。

圖4　最佳穩(wěn)定跳躍棍狀軌跡圖

通過在t2時(shí)的起跳，到t3時(shí)的騰空，從而得出其最佳的運(yùn)動(dòng)軌跡，同時(shí)為減小落地時(shí)候?qū)Φ孛娴臎_擊，在騰空的時(shí)候機(jī)器人會(huì)迅速變化姿勢(shì)。

6結(jié)語

本文通過構(gòu)建動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)模型， 并結(jié)合采用在不同階段的約束方法，得到腿型機(jī)器人在基于運(yùn)動(dòng)約束和最小能耗模型下的主關(guān)節(jié)最佳運(yùn)動(dòng)軌跡，并保證腿型機(jī)器人落地穩(wěn)定。同時(shí)，通過格點(diǎn)搜索法得到起跳和騰空的時(shí)間間隔分別為0.17 s(t2-t1)和0.2 s(t3-t2)，系統(tǒng)質(zhì)心起跳速度為0.17 m/s，最遠(yuǎn)跳遠(yuǎn)距離為28.67 cm。

參考文獻(xiàn)

[1] 徐兆紅, 呂恬生. 跳躍機(jī)器人模糊自適應(yīng)軌跡跟蹤控制[J]. 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2008, 20(23): 6455-6457.

責(zé)任編輯鄭練

Hopping Robot Stable Hopping Gait Generation Algorithm based on Plane Leg Type Motion Constraints and Minimum Energy Consumption

LIU Jie

(School of Physical Education, Xi′an Technological University, Xi′an 710032,China)

Abstract:according to the rules of leg type in plane motion jump jumping motion trajectory planning problems, in consideration of the rotation of the foot, and imported the kinematic constraint conditions, completed a minimum energy consumption cycle jumping robot as the optimal objective function in order to generate stable gait generation algorithm, thus solving the optimal trajectory of each active joint of the robot.

Key words:leg jump, movement constraints, objective function, algorithm

收稿日期：2015-01-05

作者簡(jiǎn)介：劉潔(1978-)，女，碩士，講師，主要從事體育教學(xué)與訓(xùn)練以及人體運(yùn)動(dòng)生物學(xué)等方面的研究。

中圖分類號(hào)：G 804.66

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A