游瑋孔民秀肖永強（安徽埃夫特智能裝備有限公司，安徽蕪湖，4007；哈爾濱工業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院，哈爾濱，5000）

基于遺傳算法的機械手時間能耗最優(yōu)平滑軌跡規(guī)劃

游瑋1孔民秀2肖永強1
（1安徽埃夫特智能裝備有限公司，安徽蕪湖，241007；2哈爾濱工業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院，哈爾濱，150001）

摘 要

本文提出了一種基于動力學(xué)模型的時間與能耗最優(yōu)的平滑軌跡規(guī)劃算法，考慮動力學(xué)與運動學(xué)約束條件，以時間與能量最優(yōu)為優(yōu)化目標(biāo)，建立多關(guān)節(jié)機器人軌跡規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型，同時采用改進樣條插值函數(shù)作為基礎(chǔ)函數(shù)，保證運行過程中軌跡平滑及起始點與終止點速度、加速度及加加速度為零，之后采用基于遺傳學(xué)原理的多目標(biāo)優(yōu)化算法NSGAII對時間與能耗進行優(yōu)化，根據(jù)Pareto解集選擇最優(yōu)解，并針對一種3自由度重載機器人對提出的算法進行仿真，驗證了該方法的可行性。

關(guān)鍵詞：機器人，軌跡規(guī)劃，改進樣條函數(shù)，多目標(biāo)優(yōu)化，時間能量最優(yōu)

本文是國家自然科學(xué)基金項目，項目編號51075086。

0　引言

機器人軌跡規(guī)劃是指根據(jù)一定規(guī)則和邊界條件產(chǎn)生一些離散的運動指令作為機器人伺服回路的輸入指令。規(guī)劃函數(shù)至少需要具有位置指令兩階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，速度指令一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，從而可以保證加速度信號連續(xù)，加加速度信號有界。不充分光滑的運動指令會激起由于機械系統(tǒng)柔性所產(chǎn)生的諧振，在產(chǎn)生諧振的同時，軌跡跟蹤誤差會大幅度增加，諧振和沖擊也會加速機器人驅(qū)動部件的磨損甚至損壞[1]。針對這一問題，相關(guān)學(xué)者引入高次多項式或以高次多項式為基礎(chǔ)的樣條函數(shù)進行軌跡規(guī)劃，其中Boryga利用多項式多根的特性，分別采用5次、7次和9次多項式對加速度進行規(guī)劃，表達式中僅含有一個獨立參數(shù)，通過運動約束條件，最終確定參數(shù)值，并比較了各自性能[2]。Gasparetto采用五次B樣條作為規(guī)劃基礎(chǔ)函數(shù)，并將整個運動過程中加加速度的平方的積分作為目標(biāo)函數(shù)進行優(yōu)化，以確保運動指令足夠光滑[3]。劉松國基于B樣條曲線，在關(guān)節(jié)空間內(nèi)提出了一種考慮運動約束的運動規(guī)劃算法，將運動學(xué)約束轉(zhuǎn)化為樣條曲線控制頂點約束，可保證角度、角速度和角加速度連續(xù)，并在起始點和終止點可以任意配置角速度和角加速度[4]。陳偉華則在Cartersian空間內(nèi)分別采用三次均勻B樣條，三次非均勻B樣條，三次非均勻有理B樣條進行運動規(guī)劃，并比較了各自的特點和適用范圍[5]。

同時，為提高機器人運行效率、減少能耗并保證軌跡平滑，通常需要對運行時間、運行能耗和加加速度等性能指標(biāo)進行優(yōu)化。其中，關(guān)于運行時間最優(yōu)的問題，較為經(jīng)典的是Kang和Mckay提出的考慮系統(tǒng)動力學(xué)模型以及電機驅(qū)動力矩上限的時間最優(yōu)運動規(guī)劃算法，然而該算法加速度不連續(xù)，因此對于機器人來說力矩指令也是不連續(xù)的，即加加速度為無窮大，這對于真實的電驅(qū)伺服系統(tǒng)來說，是無法實現(xiàn)的，會對系統(tǒng)產(chǎn)生較大沖擊，大幅度降低系統(tǒng)的跟蹤精度，對機械本體使用壽命也會產(chǎn)生影響[6]。針對上述問題，Constantinescu提出了解決方法，即在考慮動力學(xué)特性的基礎(chǔ)上，增加對力矩和加加速度的約束，并采用可變?nèi)莶罘▽?yōu)化問題進行求解[7]。除了以時間為優(yōu)化目標(biāo)外，其他指標(biāo)同樣被引入最優(yōu)運動規(guī)劃模型中。Martin采用B函數(shù)，以能耗最少為優(yōu)化目標(biāo)，并將該問題轉(zhuǎn)化為離散參數(shù)的優(yōu)化問題，針對數(shù)值病態(tài)問題，提出了具有遞推格式的計算表達式[8]。Saramago則在考慮能耗最優(yōu)的同時，將執(zhí)行時間作為優(yōu)化目標(biāo)之一，構(gòu)成多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，最終的優(yōu)化結(jié)果取決于兩個目標(biāo)的權(quán)重系數(shù)，且優(yōu)化結(jié)果對于權(quán)重系數(shù)選擇較為敏感[9]。

但是采用高次多項式或B樣條函數(shù)作為基礎(chǔ)函數(shù)形式較為復(fù)雜，計算量大。而對于軌跡優(yōu)化問題，上述文獻基本都是采用將多個優(yōu)化目標(biāo)做線性相加轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題，優(yōu)化結(jié)果嚴(yán)重依賴于各優(yōu)化目標(biāo)權(quán)重的選擇，但是每個優(yōu)化目標(biāo)有不同的量綱，簡單的線性相加會使得轉(zhuǎn)化后的目標(biāo)物理意義不明確，從而影響優(yōu)化的效果。針對上述問題，本文采用改進的樣條函數(shù)作為基礎(chǔ)函數(shù)，保證軌跡的平滑性，同時采用一種成熟的多目標(biāo)遺傳算法NSGA-II同時優(yōu)化時間與能量兩個目標(biāo)，將軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)優(yōu)化問題，根據(jù)優(yōu)化得到Pareto解集選擇合理目標(biāo)量。

1　問題描述

為避免機器人在工作空間軌跡規(guī)劃中出現(xiàn)的各種問題，同時為避開操作空間中障礙物，通常在操作空間中軌跡初始點至末端點之間選取個關(guān)鍵點，通過機器人末端執(zhí)行器與各關(guān)節(jié)間的運動學(xué)逆變換，可將工作空間中運動軌跡經(jīng)過的個點對應(yīng)為各關(guān)節(jié)角度。因此機器人軌跡規(guī)劃問題實質(zhì)就轉(zhuǎn)化為各關(guān)節(jié)以何種運動方式平滑的經(jīng)過關(guān)鍵點，并實現(xiàn)時間能量等指標(biāo)達到最優(yōu)。同時，各關(guān)節(jié)處伺服電機必須滿足運動學(xué)約束與動力學(xué)約束條件。本文以圖1所示雙平行四邊形重載搬運機器人為例，該機器人有3個關(guān)節(jié)，依據(jù)Lagrange方法，機器人動力學(xué)方程有如下形式

其中為慣量矩陣，為離心力與慣性力項，為重力項，為關(guān)節(jié)驅(qū)動轉(zhuǎn)矩。

圖1　三自由度重載搬運機器人

運動規(guī)劃目的是在滿足運動學(xué)與動力學(xué)約束前提下實現(xiàn)時間與能量的最優(yōu)，因此多目標(biāo)優(yōu)化問題可表述為：

2　改進樣條插值基函數(shù)

采用三次樣條曲線在各預(yù)設(shè)的過渡點可以保證速度連續(xù)，加速度連續(xù)。任意兩個預(yù)設(shè)點之間采用三次多項式進行插補：

為了保證運動無沖擊，首先必須滿足在起始點和終止點速度為0，即：

三次樣條整體協(xié)調(diào)方程如下：

雖然在起始點和終止點速度邊界可以保證為0，但是其加速度邊界不為0，從而導(dǎo)致在起始點和終止點加速度信號為階躍信號，加加速度幅值為無窮大，這導(dǎo)致對系統(tǒng)低階振動模態(tài)的激振，因此需要對普通的三次樣條插值進行修正[10-11]，在起始段和終止段增加輔助項：為多項式形式的輔助項，其必須滿足以下約束方程：

求解上述方程可得輔助表達式如下：

上述改進的三次樣條曲線，可以同時保證在起始點和終止點速度加速度為0。

與5次樣條曲線相比，上述方程形式簡單，計算量小。

3　基于NSGA-II的優(yōu)化模型求解

對于多目標(biāo)優(yōu)化問題，通常存在一個解集。就目標(biāo)函數(shù)而言，這些解之間是無法比較優(yōu)劣的，其特點是：無法在改進任何目標(biāo)函數(shù)的同時不削弱至少一個其他目標(biāo)函數(shù)，這些解稱作Pareto最優(yōu)解或非支配解。求解多目標(biāo)優(yōu)化問題的主要任務(wù)是：毫無偏坦地找到盡可能多的具有代表性的符合要求的Pareto最優(yōu)解，在計算得到均勻分布的Pareto最優(yōu)解之后，根據(jù)具體實際要求，從中客觀地選擇最滿意的優(yōu)化結(jié)果。絕大多數(shù)傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化求解方法是將多個目標(biāo)通過轉(zhuǎn)換，使其為一個含有權(quán)重系數(shù)的單目標(biāo)優(yōu)化問題，然后再借助數(shù)學(xué)規(guī)劃工具來求解。常見的方法有加權(quán)求和法、最大最小法、ε約束法等等[12]。這些傳統(tǒng)優(yōu)化方法存在一定的局限性，首先各指標(biāo)單位、量綱不相同，無法進行尺度比較，權(quán)重選擇帶有明顯的主觀性。其次，傳統(tǒng)方法對目標(biāo)函數(shù)有凸性、連續(xù)性、甚至線性等要求，如加權(quán)方法對于Pareto最優(yōu)陣面的形狀很敏感。

進化算法作為一種有效的多目標(biāo)優(yōu)化方法已被廣泛應(yīng)用[13-16]。它的優(yōu)點在于：在優(yōu)化變量較多的情況下，可處理大規(guī)模的搜索空間，在單輪優(yōu)化期間產(chǎn)生多個最優(yōu)解或有效解，可有效克服經(jīng)典方法的局限性。

本文為避免多個優(yōu)化目標(biāo)求解下對于權(quán)值選擇的依賴，采用多目標(biāo)非支配遺傳算法NSGA-II進行求解[17]。NSGA-II算法進化流程及對合并的親代種群和子代種群進行非支配排序并填充新種群的過程如圖2、圖3所示，具體過程為：

5） 重復(fù)步驟2）- 4），直到達到算法設(shè)置的最大迭代次數(shù)。

圖2　NSGA-II算法種群產(chǎn)生過程圖

圖3　NSGA-II 遺傳算法流程圖

4　示例與仿真

以上文提到的三自由度重載搬運機器人為例，機器人結(jié)構(gòu)簡圖見圖4，由于該結(jié)構(gòu)為雙平行四邊形結(jié)構(gòu)，運動學(xué)與動力學(xué)分析所需的參數(shù)如表1所列。整個優(yōu)化運動算法計算示例如下，現(xiàn)在存在5個預(yù)設(shè)點（見圖6(a)，紅點標(biāo)出）。不加優(yōu)化，各點之間的運行時間為0.5s, 0.5s, 0.25s, 1.25s?？傔\行時間為2.5s。當(dāng)種群數(shù)量設(shè)為1000，進化代數(shù)設(shè)為50代。整個進化所得結(jié)果見圖5，整個優(yōu)化求解耗時2.4s。得到的Pareto的解集如表2所示,其中第一組解被選為最終解。

圖4　機器人結(jié)構(gòu)簡圖

表1　三自由度重載機器人基本參數(shù)/mm

表2　NSGA-II獲得最優(yōu)運動規(guī)劃參數(shù)Pareto解集

圖5　含有兩個目標(biāo)的Pareto解集

圖6　運行軌跡和運動間隔分配

圖7　關(guān)節(jié)速度比較

圖9　關(guān)節(jié)加速度比較

從圖6可知，采用優(yōu)化所得時間間隔后執(zhí)行完整個軌跡段所需時間是1.2848s，生產(chǎn)效率提高近一倍。同時從圖5可知總能耗為2606J，增加生產(chǎn)效率的同時，能耗卻降低20%。盡管優(yōu)化所得運動要比初始運動快很多，但是每個關(guān)節(jié)的速度和力矩值均未上升很多，都在允許范圍內(nèi)，見圖7和圖8。由圖9可知，在初始參數(shù)下，運動起始點和終止點的加速度均不為0，從而導(dǎo)致加速度為無窮大。對系統(tǒng)將產(chǎn)生沖擊。而采用改進Cubic樣條計算所得的優(yōu)化參數(shù)后，起始點和終止點加速度值為0，整個運動過程足夠平滑。

5　結(jié)論

采用改進樣條曲線的機械手軌跡規(guī)劃方法保證了關(guān)節(jié)軌跡的充分平滑，保證了起始點與終止點的速度加速度為0，從而保證了整個運行階段加加速度有界，克服了三次樣條曲線插值起始點與終止點加速度突變的影響，同時取得了比B樣條插值或高次多項式插值更簡單的形式。

采用NSGA-II多目標(biāo)優(yōu)化算法對時間與能耗同時優(yōu)化，使得優(yōu)化目標(biāo)物理意義明確，避免了運動規(guī)劃傳統(tǒng)優(yōu)化算法過于對各目標(biāo)權(quán)重依賴及權(quán)重選取的隨意性，可以根據(jù)需要從Pareto解集中選擇多組解進行比較與優(yōu)選。

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