楊靜宇，王曉英（赤峰學院　數(shù)學與統(tǒng)計學院，內(nèi)蒙古　赤峰　024000）

調(diào)和Bergman空間上以擬奇次函數(shù)和徑向函數(shù)為符號的Toeplitz算子的交換性

楊靜宇，王曉英
（赤峰學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

摘要：本文主要研究調(diào)和Bergman空間上分別以擬奇次函數(shù)和徑向函數(shù)為符號的兩個Toeplitz算子的交換性.關鍵詞：調(diào)和Bergman空間；擬奇次函數(shù)；徑向函數(shù)；Toeplitz算子；Mellin變換；交換性

1　引言

構成的Hilbert空間.Bergman空間L2a（D)是由L2（D，dA)中所有在D上解析的復值函數(shù)構成的閉子空間，是一個再生Hilbert空間，再生核是

調(diào)和Bergman空間L2h（D)是L2（D，dA)中所有在D上調(diào)和的復值函數(shù)構成的閉子空間，且與Bergman空間L2a（D)有如下關系：

其中L- 2a（D)={ f-|f∈L2a（D)，f（0)=0}.顯然，L2h（D)是一個再Hilbert空間.它的再生核是

設Q表示L2（D，dA)到L2h（D)上的正交投影，那么

（Qφ)（z)=〈φ，Rz〉，?φ∈L2（D，dA)

同理，若P表示L2（D，dA)到L2a（D)上的正交投影，那么

（Pφ)（z)=〈φ，Rz〉，?φ∈L2（D，dA)

由（1）式，有

設φ∈L∞（D)，那么以φ為符號的Toeplitz算子Tφ定義為

其中f∈L2h（D)，z∈D.

作為比Bergman空間更廣泛的空間，調(diào)和Bergman空間上的Toeplitz算子也得到了人們的關注.但由于調(diào)和Bergman空間自身不是個代數(shù)，這使得對此空間上Toeplitz算子的研究變的困難.如：[6]刻畫了符號為調(diào)和函數(shù)且其中一個為多項式的兩個Toeplitz算子的交換性.特別的，文中證明了只有符號函數(shù)線性相關的兩個解析Toeplitz算子才是交換的，但在Bergman空間上兩個解析Toeplitz算子本身就是交換的.

受文獻[4]，[6]的啟發(fā)，本文考察了調(diào)和Bergman空間上分別以徑向函數(shù)和擬奇次函數(shù)為符號的兩個Toeplitz算子的交換性.受調(diào)和Bergman空間代數(shù)結構的影響，本文未能對符號函數(shù)都是擬奇次函數(shù)這種一般情況下兩個Toeplitz算子的交換性進行討論.

2徑向函數(shù)的Mellin變換與Mellin卷積

Mellin變換是本章所需的重要工具之一，函數(shù)φ∈L1（[0，1]，rdr)的Mellin變換φ^定為：

根據(jù)上述定義，Mellin變換φ^在{z:Rez≥2}上是有定義的，并且在半平面{z:Rez＞2}上解析.如果存在一個（nk)k≥0?N，使得

那么，通過Muntz-Szasz理論[7]，有φ=0.

若φ∈L1（D，dA)且滿足φ（z)=φ（|z|)（?z∈D)，則稱φ為徑向函數(shù).函數(shù)f稱為度為k的擬奇次函數(shù)，如果f能表示為

f（reiθ)=eikθφ（r)

其中φ為徑向函數(shù).

引理1[8]設p∈z且φ是一個有界徑向函數(shù)，那么對任意的n∈p，有

引理2[9]設f在{z:Rez＞0}上解析，并且在點z1，z2，z3…上的值為零，其中z1，z2，z3…滿足

1）inf{|zn|}＞0

則f在{z:Re＞0}上恒為零.

3 Toeplitz算子的交換性

定理1設φ是一個有界徑向函數(shù)，eipθ?是一個度為p的有界擬齊次函數(shù)，其中p＞0，如果在L2h（D)上有

那么?=0或φ是一個常數(shù).

證明由于TφTeipθ?=Teipθ?Tφ在調(diào)和Bergman空間成立，所以我們有

對等式（2），根據(jù)引理1直接計算得

2（1+n+p)?^（2n+p+2)φ^（2n+2p+2)=2（1+n)?^（2n+p+2)φ^（2n+2)

很顯然，點列{（2n+2)}n∈Ec滿足

（a）inf{（2n+2)}n∈Ec＞0

因此有

由上述有，對任意n0≥0，有

因此φ恒等于CC^.

所以當（2）式成立時，我們推知?=0或φ是一個常數(shù).

類似的，運用引理1對等式（3）進行直接計算得

當n≥p時，有

與上面的證明類似，由于{（2n+2-2p)}n∈Mc滿足

（a）inf{（2n+2-2p)}n∈Mc＞0

所以由（5）式可以推出

進一步推知，對任意n0≥0，有

令n0φ^（n0)=B，那么有

因此φ恒等于BC^.

當n＜p時，有

這樣推出φ是常值函數(shù).

綜上所述，由等式（3）可以推出?=0或φ恒等于常數(shù).所以當TφTeipθ?=Teipθ?Tφ時有?=0或φ恒等于常數(shù).

參考文獻：

〔1〕A. Brown and P. R. Halmos，Algebraic properties of Toeplitz operators，J. Reine Angew. Math. 213，(1963)，89-102.

〔2〕S. Axler and Z. Cuckovic，Commuting Toeplitz operators with harmonic symbols. Integral Equation Operator Theory. 14，(1991)，1－12.

〔3〕S. Axler，Z. Cuckovic and N. V. Rao，Commutants of analytic Toeplitz operators on the Bergman space，Proc. Amer. Math. Soc. 128，(2000)，1951-1953.

〔4〕Z. Cuckovic and N.V. Rao，Mellin transform，monomial symbols and commuting Toeplitz operators，J. Funct. Anal. 154(1)，(1998)，195-214.

〔5〕I. Louhichi and L. Zakariasy，On Toeplitz operators withquasihomogeneous symbols，Arch. Math. (Basel). 85，(2005)，248-257.

〔6〕B. R. Choe and Y. J. Lee，Commuting Toeplitz operators on the harmonic Bergman space，Michigan Math. J. 46，(1999)，163-174.

〔7〕W.Rudin，Real and Complex analysis，Third edition，New York1987.

〔8〕X.T. Dong and Z. H. Zhou，Products of Toplitz operators on the harmonic Bergman space，Proc. Amer. Math. Soc. 138，(2010)，1765-1773.

〔9〕R. Remmert，Classical Topics in complex Function Theory，Graduate Texts in Methematics，{f 172} Springer，New York，1998.

基金項目：內(nèi)蒙古教育廳高等學校科學研究項目（NJZY13298）

中圖分類號：O177

文獻標識碼：A

文章編號：1673-260X（2015）10-0001-03