貴州理工學(xué)院經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院 唐惠

貴州大學(xué)管理學(xué)院 鐘慶平

一、引言

隨著金融環(huán)境的蓬勃發(fā)展及金融商品的多元化，經(jīng)濟(jì)的迅猛發(fā)展使人們逐漸意識(shí)到投資和理財(cái)?shù)闹匾浴Ｍ顿Y者可以通過選擇由不同風(fēng)險(xiǎn)性資產(chǎn)所構(gòu)成的投資組合，以達(dá)到最大化投資收益同時(shí)分散風(fēng)險(xiǎn)的目的。起源于20 世紀(jì)60 年代的隨機(jī)占優(yōu)(Stochastic Dominance)理論，其將假設(shè)條件放寬到最大限度，例如不需要要求收益率的分布是正態(tài)分布等，而只需知道有關(guān)收益率分布較完善的信息，且在用該方法求解最優(yōu)投資組合時(shí)所需的收益率等數(shù)據(jù)都是可以從相關(guān)的金融數(shù)據(jù)網(wǎng)站很容易和方便的收集到的。

Dentcheva & Ruszczynski(2003，2004)首先引入了具有隨機(jī)占優(yōu)約束的最優(yōu)化問題，Dentcheva & Ruszczynski(2006)以及Roman, Darby-Dowman&Mitra(2006)提出了基于SSD 的投資組合優(yōu)化模型。其有以下幾點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：這種方法相對(duì)于均值風(fēng)險(xiǎn)模型和效用函數(shù)模型有一個(gè)重大的優(yōu)勢(shì)，該模型需要的所有數(shù)據(jù)都是極容易得到的；在均值風(fēng)險(xiǎn)模型中風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度及風(fēng)險(xiǎn)的權(quán)重的選擇都擁有一定主觀的特征，這就很難說服其他的投資者應(yīng)用同樣的測(cè)度；最優(yōu)期望效用（模型）需要效用函數(shù)的精確形式，而決策者們的效用函數(shù)是很難被探出的，要一群決策者達(dá)成統(tǒng)一的意見就更復(fù)雜了；在基于SSD的投資組合優(yōu)化模型中，將一個(gè)被廣泛認(rèn)可的確定的隨機(jī)結(jié)果（例如，市場(chǎng)指數(shù)）做為被占優(yōu)的對(duì)象，我們可以很好的避免以上這些困難。

然而已有的基于SSD的投資組合優(yōu)化模型的文獻(xiàn)并未考慮市場(chǎng)摩擦，在實(shí)際的交易市場(chǎng)中，總是存在著如交易費(fèi)用，整數(shù)手限制等摩擦，不考慮這些市場(chǎng)摩擦因素必將使得投資組合理論與現(xiàn)實(shí)情況產(chǎn)生一定的脫節(jié)，因此建立含有市場(chǎng)摩擦因素的投資組合模型更加符合現(xiàn)實(shí)的需要。例如，Arrow&Wagner(1990)發(fā)現(xiàn)，在最優(yōu)投資組合的計(jì)算中，若忽略交易費(fèi)用可能會(huì)導(dǎo)致無效的投資組合；Edwen等(2006)指出交易費(fèi)用是投資市場(chǎng)的重要因素之一，交易成本的大小關(guān)系到觀察到的價(jià)格錯(cuò)位需要多大才會(huì)導(dǎo)致投資者改變現(xiàn)在的投資策略，同樣也影響著一個(gè)投資組合是不是最優(yōu)的問題?？梢妼⑹袌?chǎng)摩擦因素考慮到已有的基于二階隨機(jī)占優(yōu)約束的投資組合模型中，對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，是必要且有實(shí)踐意義的。

二、基于二階隨機(jī)占優(yōu)約束的投資組合最優(yōu)化模型

(一)模型介紹

Dentcheva&Ruszczynski(2006)的基于二階隨機(jī)占優(yōu)的投資組合最優(yōu)化模型如下：

其中，f:X →R 是一個(gè)凹的連續(xù)函數(shù)；

投資有限資產(chǎn)1,2,...M. 的投資比例；

R1,R2,...RM表 示 資 產(chǎn) 1,2,...M. 的 隨 機(jī) 收 益 率 ，R(x)=R1x1+R2x2+...+RMxM是投資組合的總收益率；

Y 是基準(zhǔn)收益率(如市場(chǎng)指數(shù)——上證180 等)，Y=R(Zˉ)，Zˉ是基準(zhǔn)的投資組合,我們的目的是要找到一個(gè)投資組合，該投資組合二階占優(yōu)于Y。Dentcheva&Ruszczynski 選用了股票市場(chǎng)指數(shù)，因?yàn)槭袌?chǎng)指數(shù)反應(yīng)了股票市場(chǎng)的總體行情，用其作為比較的基準(zhǔn)能夠被大多數(shù)的投資者信服。除此之外還有指數(shù)的收益率便于收集的優(yōu)點(diǎn)。

Dentcheva&Ruszczynski 從模型(2.1)開始，加入條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值等做了一系列的轉(zhuǎn)化和證明，得出了一個(gè)關(guān)于投資組合x 的大規(guī)模線性規(guī)劃問題(證明過程見Dentcheva & Ruszczynski(2006))。Luedtke(2008)將該難以進(jìn)行求解的大規(guī)模線性規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為如下可求解的以x,v和π（其中v和π 為輔助變量）為變量的大規(guī)模線性規(guī)劃模型（2.2）。(證明過程見Luedtke(2008))

圖1 動(dòng)態(tài)跟蹤數(shù)據(jù)下考慮市場(chǎng)摩擦前后模型與指數(shù)的月收益率比較折線圖

其中，πij是條件概率，

π 和v 是為了求解x 而加入的輔助變量，現(xiàn)在模型（2.1）轉(zhuǎn)化為（2.2），一個(gè)以x,π,v 為未知變量的大規(guī)模的線性規(guī)劃問題。

(二)模型改進(jìn)

許多投資組合的理論都是在完備市場(chǎng)的前提假設(shè)下得到的，在這些假設(shè)下，投資者不用額外支付與交易有關(guān)的交易成本，從而能自由的交易。而在現(xiàn)實(shí)的金融市場(chǎng)，由于市場(chǎng)規(guī)則、國(guó)家政策等各種原因，存在著各種各樣的限制條件，即市場(chǎng)摩擦。股票市場(chǎng)的摩擦是多種多樣的，如交易費(fèi)用,只能買入整數(shù)手?jǐn)?shù)量的股票等等。故將交易費(fèi)用和最小交易單位限制的市場(chǎng)摩擦因素引入Dentcheva&Ruszczynski(2006)模型中，對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)。使其更加的貼近我們實(shí)際的市場(chǎng)投資環(huán)境，以期能夠幫助我們的投資者進(jìn)行理性的投資，獲得較高的投資收益。

1、市場(chǎng)摩擦

(1)交易費(fèi)用。在實(shí)際金融市場(chǎng)中，為了維護(hù)交易場(chǎng)所的正常運(yùn)行等方面的需要，交易過程中，買賣雙方通常就某項(xiàng)具體交易需要被要求向交易場(chǎng)所繳納一定費(fèi)用，這部分費(fèi)用的多少會(huì)使買賣雙方交易前先衡量是否值得進(jìn)行此交易。交易費(fèi)用是投資者在委托買賣證券時(shí)應(yīng)支付的各種稅收和費(fèi)用的總和，通常包括傭金、過戶費(fèi)、印花稅、其他費(fèi)用。交易費(fèi)用中，傭金和印花稅的比例最大，且由于本文是從買入方的角色考慮，就不再考慮印花稅，所以在本文以下提到的交易費(fèi)用主要是指?jìng)蚪?。上海證券交易所目前對(duì)A 股交易要求按“不超過成交金額的3‰，起點(diǎn)5元”的標(biāo)準(zhǔn)由投資者向證券公司交傭金。

則本文的交易費(fèi)用表示如下：

如上可知C(X)是一個(gè)分段函數(shù)，在用計(jì)算機(jī)對(duì)大量的約束和變量進(jìn)行計(jì)算時(shí)，該分段函數(shù)的加入無疑會(huì)加大編程的難度，所以本文將對(duì)所有股票的交易費(fèi)用進(jìn)行上限取值，雖然這樣的處理會(huì)使計(jì)算出來的投資收益較實(shí)際水平偏低，但其擁有如下不可忽視的如下三點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：第一是大大的減少了計(jì)算的難度；第二是若在這樣的處理下，得出的投資組合的收益率仍然占優(yōu)于指數(shù)的收益率；第三是這樣的處理并不會(huì)使實(shí)際的交易費(fèi)用增加，即投資者購(gòu)買以這樣的處理方式得出的投資組合，將在實(shí)際的投資市場(chǎng)中得到比我們的模型算出的收益更好的投資回報(bào)，可想這樣的投資組合勢(shì)必是更符合投資者的需求的。

（K 為投資的股票的最大基數(shù)或種數(shù)，一般取30）

(2)交易的最小單位限制（即整數(shù)手限制）。按照證券交易場(chǎng)所的交易規(guī)則，股票買入最低必須以100 股（1 手）為單位，賣出的數(shù)量可以不足一手?？紤]整數(shù)手限制后，可能由于某股票的單價(jià)過高，導(dǎo)致買入一手所需的資金較大。整數(shù)手限制的摩擦約束下使得投資者無法不考慮該規(guī)則，隨心所欲的分配自己的投資資金，從而使得自己的投資收益率降低。

若bl是第l 只股票的市場(chǎng)價(jià)格，W 為投資總額，xl表示投資于第l只股票的投資額占總投資額的比例，則整數(shù)手限制可以表示如下：

改進(jìn)后的模型如下：

(三)實(shí)證分析

在唐惠（2013）中已對(duì)模型（2.2）對(duì)中國(guó)股票市場(chǎng)的適用性進(jìn)行了實(shí)證分析，這里就不在重復(fù)，以下是對(duì)改進(jìn)后的模型（2.5）進(jìn)行實(shí)證分析。

本文數(shù)據(jù)來源于銳思數(shù)據(jù)庫(kù)（www.resset.cn）。從上海證券交易所隨機(jī)抽取30只，股票代碼分別為（按股票代碼數(shù)值的大小進(jìn)行排序）：

600000,600009,600010,600015,600016,600019,600028,600030,600036,600048,600050,600085,600104,600111,600118,600123,600125,600132,600158,600177,600266,600309,600519,600600,600614,600642,600736,600795,600809,600887

選用該30 只股票從2008 年1 月到2012 年12 月，共60 個(gè)月的月收益率數(shù)據(jù)作為我們的實(shí)證研究數(shù)據(jù)。

選擇上證180指數(shù)從2008年1月到2012年12月，共60個(gè)月的月收益率作為基準(zhǔn)收益率Y ,主要是由于上證180指數(shù)不僅在編制方法的科學(xué)性、成分選擇的代表性和成分的公開性上有所突破，其入選的個(gè)股均是一些規(guī)模大、流動(dòng)性好、行業(yè)代表性強(qiáng)的股票。同時(shí)也恢復(fù)和提升了成分指數(shù)的市場(chǎng)代表性，從而能更全面地反映股價(jià)的走勢(shì)，有效的保證了我們所得到的占優(yōu)于該指數(shù)的投資組合是被絕大多數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者認(rèn)可的。

模型（2.5）是一個(gè)混合整數(shù)規(guī)劃問題，此時(shí)共有240個(gè)約束，3750個(gè)變量，。其中θl∈Z(l=1,2... ...30)表示買入第l 只股票股票的手?jǐn)?shù)。選用LINGO9.0 軟件進(jìn)行計(jì)算，并將投資總額W 取為10萬元，bl取2012年12月31日第l 只股票的收盤價(jià)。計(jì)算結(jié)果為在投資組合：

X=(x14,x15,x18,x19,x25,x28)=(0.14288,0.32266,0.44344,0.02988,0.05502,0.00612)或投資手?jǐn)?shù)θ=(θ14,θ15,θ18,θ19,θ25,θ28)=(2,13,8,4,6,2)下，目標(biāo)函數(shù)f(x)達(dá)到最大值，Max f(x)=0.0523041，即若投資者投資10 萬元于該投資組合，考慮交易費(fèi)用和整數(shù)手限制后，其將獲得5230.41元的收益。

使用同樣的30只股票和指數(shù)及其在2008年1月到2012年12月的月收益率表現(xiàn)，對(duì)使用隨機(jī)占優(yōu)的方法在考慮市場(chǎng)摩擦前后模型所得投資組合及指數(shù)的收益率比較如下：

表1 考慮市場(chǎng)摩擦前后模型及指數(shù)的收益率

三、動(dòng)態(tài)跟蹤

由上表可清晰的看出考慮市場(chǎng)摩擦后基于二階隨機(jī)占優(yōu)的投資組合模型的占優(yōu)程度并不明顯，且假設(shè)投資者整個(gè)一年都不對(duì)其所持有的投資組合進(jìn)行，仿佛不符合我們股票市場(chǎng)大多數(shù)投資者的投資習(xí)慣。所以在接下的實(shí)證分析中，我們會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)以月進(jìn)行動(dòng)態(tài)跟蹤。

我們會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)以月進(jìn)行動(dòng)態(tài)跟蹤，同樣是以股票前60個(gè)月的月收益率表示為一個(gè)決策依據(jù)（從2008年1月到2012年12月開始），后動(dòng)態(tài)的逐月跟蹤到2013年12月。即如2013年1月底，投資者想對(duì)其持有的投資組合進(jìn)行一定的調(diào)整時(shí)，其可以采用有購(gòu)買意向的股票的2008年2月至2013年1月的月收益率數(shù)據(jù)帶入基于隨機(jī)占優(yōu)約束的投資組合模型（2.5），運(yùn)用LINGO9.0計(jì)算出意向股票群的購(gòu)買比例，依次類推到2013年12月底，其可以采用有購(gòu)買意向的股票的2009年1月至2013年12月的月收益率數(shù)據(jù)計(jì)算出意向股票群的購(gòu)買比例。

為了使論文前后同一模型的不同數(shù)據(jù)處理方法的結(jié)果有可比性，接下來同樣采用上述中隨機(jī)抽取的30 只股票的月收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。

模型（2.5）中，bl為數(shù)據(jù)塊中最后一個(gè)月最后一天的收盤價(jià)，如2013年1月底，用到的動(dòng)態(tài)跟蹤的數(shù)據(jù)塊為2008年2月至2013年1月，bl就為2013年12月31日30只股票的收盤價(jià)，W 不是一般性的取10萬元，投資者可以根據(jù)自己所持有資金的實(shí)際情況進(jìn)行改動(dòng)，這并不會(huì)使模型（2.5）的運(yùn)行產(chǎn)生困難，不過由于每只股票的單價(jià)不同，很可能會(huì)由于投資資金的不同，加上整數(shù)手的摩擦因素下，導(dǎo)致算出的不同投資資金的投資比例及個(gè)股的手?jǐn)?shù)不同。（如圖1）

四、結(jié)束語

本文用我國(guó)的股票市場(chǎng)的實(shí)際交易數(shù)據(jù)對(duì)已有的Dentcheva &Ruszczynski(2006)的模型進(jìn)行了檢驗(yàn)，得出該模型是適用于我國(guó)股票投資市場(chǎng)的結(jié)論。在此之上，結(jié)合我國(guó)股票交易市場(chǎng)相關(guān)的實(shí)際規(guī)定，投資者在進(jìn)行股票投資時(shí)需要繳納交易費(fèi)用，且有買入必須是整數(shù)手的限制，將這些實(shí)際的規(guī)則加入模型后對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，并用實(shí)際的交易數(shù)據(jù)對(duì)改進(jìn)的模型做了檢測(cè)，得出其是有助于幫助我們的投資者獲得更高的投資收益的結(jié)論。并將改進(jìn)前后所得出的投資組合進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)不考慮交易費(fèi)用和整數(shù)手限制的投資組合是與實(shí)際的投資市場(chǎng)脫節(jié)的，是不合理的投資組合，可見在投資組合模型中考慮市場(chǎng)摩擦約束的重要性。從而也說明了本文對(duì)Dentcheva&Ruszczynski(2006)的投資組合模型進(jìn)行改進(jìn)是必要和有意義的。

雖然本文對(duì)Dentcheva&Ruszczynski(2006)的模型進(jìn)行了改進(jìn)并對(duì)其設(shè)計(jì)了計(jì)算，且用實(shí)際數(shù)據(jù)得出了考慮市場(chǎng)摩擦約束必要性等結(jié)論。然而仍有不足之處，是值得以后繼續(xù)研究的地方：第一，本文對(duì)隨機(jī)占優(yōu)理論的應(yīng)用只到二階隨機(jī)占優(yōu)，可以繼續(xù)將該模型發(fā)展到三階，建立三階隨機(jī)占優(yōu)(TSD)約束下的投資組合優(yōu)化模型，以反映具有遞減絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡特征的投資者的投資行為。第二，在處理基數(shù)限制時(shí)，本文只是簡(jiǎn)單的對(duì)其進(jìn)行了小數(shù)點(diǎn)后五位四舍五入的處理，雖然這樣是將投資的種類進(jìn)行了限制，但這并未從根本上處理了該摩擦因數(shù)，可以從此處入手，對(duì)模型進(jìn)行再一次改進(jìn)，使其更貼近實(shí)際的投資市場(chǎng)，從而更好的指導(dǎo)投資者進(jìn)行理性投資。

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