李 嵐

(閩西職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，福建 龍巖 364021)

一類常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的矩陣表示

李 嵐

(閩西職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，福建 龍巖 364021)

運(yùn)用微分逆算子移位定理和矩陣運(yùn)算將一類一階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解用矩陣的形式表示，并在此基礎(chǔ)上利用歐拉公式將另一類一階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解也用矩陣的形式表示，用此方法不僅可以簡便快捷地計算出這些微分方程的特解，且容易掌握，還可推廣到求高階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解.

常微分方程； 特解； 矩陣； 不定積分； 歐拉公式； 算子多項(xiàng)式； 逆算子； 移位定理

n階復(fù)常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式是

y(n)+p1y(n-1)+p2y(n-2)+…+pn-1y′+pny=f(x)，

(1)

一階復(fù)常系數(shù)非齊次線性微分方程

y′+py=exp(zx)Qn(x)，

(2)

y′+py=exp(αx)Qn(x)cosβx，

(3)

y′+py=exp(αx)Qn(x)sinβx，

(4)

微分方程的特解的求法通常采用：常數(shù)變易法、待定系數(shù)法、算子解法和拉普拉斯變換法等，各具特色．如待定系數(shù)法雖然解題思路簡單，易于掌握，但不具有一般性，計算比較繁瑣，容易出錯．根據(jù)微分方程(2)中的自由項(xiàng)的特點(diǎn)可知，該方程的特解仍然是指數(shù)函數(shù)exp(zt)與一個多項(xiàng)式的乘積，且此多項(xiàng)式的次數(shù)與多項(xiàng)式Qn(x)的次數(shù)相同或高一次，是n次或(n+1)次多項(xiàng)式，因此求微分方程(2)的特解只需求出此多項(xiàng)式的系數(shù)即可.利用參考文獻(xiàn)[1]中給出的結(jié)論，通過逆算子移位定理和矩陣計算，將微分方程(2)的特解用矩陣的形式表示，并在此基礎(chǔ)上利用歐拉公式將微分方程(3)和(4)的特解也用矩陣的形式表示，從而可以根據(jù)微分方程的特征根以及自由項(xiàng)的特點(diǎn)選擇相應(yīng)的公式，用矩陣的方法計算出此類微分方程的特解．此方法不僅較為簡便，容易掌握，還可以多次重復(fù)使用該方法，求出自由項(xiàng)與式(2)、(3)和(4)中的自由項(xiàng)相同的高階復(fù)常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解.

逆算子移位定理

(5)

引理1[1]不定積分

(6)

引理2[1]不定積分

(7)

引理3[1]不定積分

(8)

1 主要定理

定理1如果一階常系數(shù)非齊次線性微分方程(2)對應(yīng)的齊次方程的特征根為r, 則

1)當(dāng)z≠r時, 微分方程(2)的一個特解為

y*=AB1Xexp(zx)，

(9)

j

2)當(dāng)z=r時, 微分方程(2)的一個特解為

y*=AEXxexp(zx) ，

(10)

證明1)當(dāng)z≠r時,根據(jù)移位定理和引理1可得

2)當(dāng)z=r時, 根據(jù)移位定理可得

所以結(jié)論成立．

定理2如果一階常系數(shù)非齊次線性微分方程(3)對應(yīng)的齊次方程的特征根為r=α1+iβ1, 則

1)當(dāng)α+iβ≠r時, 微分方程(3)的一個特解為

y*=exp(αx)/2[A(B2+B3)Xcosβx+iA(B2-B3)Xsinβx]，

(11)

2)當(dāng)α+iβ=r時, 微分方程(3)的一個特解為

y*=exp(αx)/2[A(Ex+B4)Xcosβx+iA(Ex-B4)Xsinβx]，

(12)

1)當(dāng)α+iβ≠r時

2) 當(dāng)α+iβ=r時，

所以結(jié)論成立．

定理3如果一階常系數(shù)非齊次線性微分方程(4)對應(yīng)的齊次方程的特征根為r=α1+iβ1, 則

1) 當(dāng)α+iβ≠r時，微分方程(4)的一個特解為

(13)

2) 當(dāng)α+iβ=r時, 微分方程(3)的一個特解為

(14)

推論1 如果一階常系數(shù)非齊次線性微分方程(3)對應(yīng)的齊次方程的特征根為實(shí)數(shù)r, 則

y*=(AC3Xcosβx+AC4Xsinβx)exp(αx) ，

(15)

證法一由于

(AC3Xcosβx+AC4Xsinβx)exp(αx) .

所以結(jié)論成立．

證法二根據(jù)移位定理和引理2 可得

所以結(jié)論成立．

推論2 如果一階常系數(shù)非齊次線性微分方程(4)對應(yīng)的齊次方程的特征根為實(shí)數(shù)r, 則

y*=(AC3Xsinβx-AC4Xcosβx)exp(αx) .

(16)

根據(jù)移位定理和引理3，類似推論1即可證明．

由式(9)～(16)可知只須通過簡單的矩陣運(yùn)算即可簡便快捷地求出微分方程(2)、(3)和(4)的特解，具體步驟如下：

步驟2根據(jù)微分方程(2)中z及對應(yīng)齊次方程的特征根r求出(n+1)階方陣矩陣B1=(bkj)(n+1)×(n+1)或E(或根據(jù)微分方程(3)和(4)中的α，β及對應(yīng)齊次方程的特征根r，求出矩陣B2，B3或B4)；

步驟3求出矩陣A與矩陣B1的乘積AB1，所求出的一行(n+1)列矩陣，即為微分方程(2)的特解中的多項(xiàng)式的各次項(xiàng)的系數(shù)(若是微分方程(3)和(4)則同時求A(B2+B3)和iA(B2-B3)，代入式(11)或(12)即可求出該微分方程的特解)．

如果是高階常系數(shù)線性微分方程，則可多次重復(fù)使用上述步驟求出方程的特解．

當(dāng)自由項(xiàng)的形式如式(2)的m階微分方程，可先求出對應(yīng)齊次方程的m個特征根，再按照定理1，求出這m個特征根對應(yīng)的(n+1)階方陣矩陣B11B12…B1m(其中B1k,k=1,2,…，m，表示第k個特征根對應(yīng)的矩陣)，最后將矩陣A與它們?nèi)肯喑?即AB11B12…B1m)便可求出m階微分方程的特解．

當(dāng)自由項(xiàng)的形式如式(3)和(4)的二階實(shí)常系數(shù)線性微分方程，先求出對應(yīng)齊次方程的2個特征根，再根據(jù)推論1、2求出2個特征根對應(yīng)的(n+1)階方陣矩陣C31C41C32C42(其中C3k,C4k,k=1,2表示第k個特征根對應(yīng)的2個矩陣)，最后分別求出A(C31C32-C41C42)和A(C31C42-C41C32)，便可求出微分方程的特解．

2 應(yīng)用舉例

例1求微分方程y′-4y=exp(2x)(x4-3x2-x2+5x-3)的特解．

解微分方程對應(yīng)的齊次方程的特征根為r=4，由微分方程中的自由項(xiàng)exp(2x)(x4-3x2-x2+5x-3)可知：A=(1 -3 -1 5 -3)，z=2，z≠r，

例2求微分方程y′+(-1+i)y=exp(x)(3x2+x-1)sin 2x的特解．

解微分方程對應(yīng)的齊次方程的特征根為r=1-i，α1=1，β1=-1，由微分方程中的自由項(xiàng)exp(x)(3x2+x-1)sin2x，可知：A=(3 1 -1)，α=1，β=2，1+2i≠r，

依據(jù)定理3的式(13)可得微分方程的特解為

例3求微分方程y?-3y″+7y′-5y=exp(x)(4x2+2x-3)的特解．

解微分方程對應(yīng)的齊次方程的特征根為r1=1+2i，r2=1-2i，r3=1，由微分方程中的自由項(xiàng)exp(x)(4x2+2x-3)可知：A=(4 2 -3)，z=1,z=r3，

例4求微分方程y″-y′-2y=exp(2x)(x2+2x-1)cosx的特解．

依據(jù)推論1和2的式(15)和(16)可得微分方程的特解為

3 小 結(jié)

針對微分方程(2)、(3)和(4)，運(yùn)用逆算子移位定理和矩陣運(yùn)算推導(dǎo)出求這類微分方程的特解的矩陣計算方法，由于該方法是將微分方程的特征根、自由項(xiàng)中的多項(xiàng)式的系數(shù)以及指數(shù)式中的次數(shù)等數(shù)值提取，進(jìn)行簡單的矩陣計算，不僅較為簡便，容易掌握，還能為求自由項(xiàng)與此類函數(shù)相同的高階常系數(shù)線性微分方程的特解提供解題依據(jù)．

[1] 李嵐．一類函數(shù)積分的矩陣表示及其推廣[J]．海南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2014，32(1)：39-44．

[2] 高澤圖．關(guān)于Euler 數(shù)與Stirling 數(shù)的幾個恒等式[J]．海南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2002,20(1):12-14.

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[16] 居余馬．線性代數(shù)[M]．第2版.北京: 清華大學(xué)出版社，2002．

Matrix Representation for a Particular Solution to a Class of Inhomogeneous Linear Differential Equation with Constant Coefficients

Li Lan

(Department of Basic Courses, Western Fujian Vocational and Technical College, Longyan 364021, China)

In the report, the differential inverse operator shift theorem and matrix operation were used to show the particular solution for a class of 1st-order inhomogeneous linear differential equation with constant coefficients in the form of matrix, and on which Euler’s formula was used to show the particular solution for another class of 1st-order inhomogeneous linear differential equation with constant coefficients in the form of matrix. The method, which is easy to master, not only work out the particular solution to such differential equations very easily, but also can be applied to seeking a particular solution to a higher-order homogeneous linear differential equation with constant coefficients.

ordinary differential equation; particular solution; matrix; indefinite integral; Euler’s formula; operator polynomial; inverse operator; shift theorem

2015-05-11

李嵐(1964- )，男，福建永定人，副教授，研究方向：微分方程，E-mail:1090615490@qq.com

1004-1729(2015)04-0310-08

O 175.1

A DOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2015.0055