王明　張美麗　袁宴波

摘要：為掌握小型制導炸彈全彈質(zhì)量和軸向質(zhì)心的變化范圍，應用合力投影定理和合力矩定理，得出全彈質(zhì)量質(zhì)心函數(shù)方程，分析了極值法和蒙特卡羅法計算質(zhì)量質(zhì)心偏差的可行性，并通過蒙特卡羅法對小型制導炸彈的質(zhì)量質(zhì)心進行計算。分析和計算結果表明，采用極值法求解質(zhì)心偏差最大值的難度較大，而蒙特卡羅法基于各參數(shù)在偏差范圍內(nèi)呈正態(tài)概率分布，能夠更真實地描述全彈質(zhì)量質(zhì)心的偏差范圍。

關鍵詞：小型制導炸彈；質(zhì)量計算；質(zhì)心計算；蒙特卡羅法

中圖分類號：TJ760，3：TJ414 文獻標識碼：A 文章編號：1673-5048（2014）02-0016-03

0、引言

小型制導炸彈以其重量輕、體積小、成本低、作戰(zhàn)效能高的特點，逐漸得到了世界各國的廣泛關注。相對于500公斤級和250公斤級制導炸彈，小型制導炸彈的戰(zhàn)斗部威力較小，需要較高的制導精度才能實現(xiàn)其作戰(zhàn)能力。

質(zhì)量和質(zhì)心作為小型制導炸彈的基本物理特性參數(shù)，是控制系統(tǒng)設計的重要輸入。通常，在研制初期，通過全彈質(zhì)量質(zhì)心的估算為控制系統(tǒng)設計提供原始輸入；在研制末期，控制系統(tǒng)的修正則通過整彈物理樣機質(zhì)量質(zhì)心的實際測量實現(xiàn)，而受物理樣機樣本數(shù)量的限制，不能真實地獲取制導炸彈產(chǎn)品質(zhì)量質(zhì)心的變化范圍，仍需要根據(jù)各組件的實際狀態(tài)進行全彈質(zhì)量質(zhì)心的計算。因此全彈質(zhì)量質(zhì)心的計算貫穿于整個研制階段，質(zhì)量質(zhì)心偏差的計算精度則直接影響到控制系統(tǒng)的制導精度。

1、全彈質(zhì)量質(zhì)心偏差計算方法

1.1 全彈質(zhì)量質(zhì)心函數(shù)方程

本文以某小型制導炸彈結構布局方案為例，建立其全彈質(zhì)量質(zhì)心方程。

方案中，該小型制導炸彈主要由一艙、引戰(zhàn)艙、飛控組件、二艙結構件、數(shù)據(jù)鏈組件和舵機艙等部分組成，如圖1所示。其中，一艙、引戰(zhàn)艙和舵機艙為單獨形成艙段的組件：二艙結構件包含艙段殼體、內(nèi)部支架和外部翼面等零件；飛控組件和數(shù)據(jù)鏈組件則安裝于二艙艙段殼體內(nèi)部。

如圖1所示，可假設：

a.沿x軸正方向，各組件的質(zhì)量依次為m₁，m₂，…，m_n；

b.沿x軸正方向，各組件質(zhì)心在x軸的投影距離本組件前端面的距離依次為l₁，l₂，…，l_n；

c，沿x軸正方向，各組件前端面距離彈體前端面的距離依次為L₁，L₂，…，L_n。

通過上述參數(shù)假設，根據(jù)合力投影定理和合力矩定理，可得出全彈的質(zhì)量質(zhì)心函數(shù)方程：式中：M和L分別為全彈的質(zhì)量和軸向質(zhì)心位置。

1.2 質(zhì)量質(zhì)心偏差產(chǎn)生的原因

在各組件的裝配過程中，結構零件的加工誤差、元器件的制造誤差和輔助性材料的非定量使用，均會導致組件的質(zhì)量質(zhì)心偏離設計值。

全彈在總體裝配過程中，各艙段間的連接誤差和艙段內(nèi)相關組件的安裝誤差均會影響全彈質(zhì)量質(zhì)心的偏移量。

綜上，全彈質(zhì)量質(zhì)心發(fā)生偏差的主要因素有各組件的質(zhì)量質(zhì)心偏差、各艙段間的連接誤差和艙段內(nèi)相關組件的安裝誤差。

通常，各組件的質(zhì)量質(zhì)心偏差量可由組件研制任務書或設計人員提供：艙段連接誤差和艙段內(nèi)組件的安裝誤差可由總體結構設計人員提供。

目前，根據(jù)公式（1），計算全彈質(zhì)量質(zhì)心最大偏差AM，AL的方法可選擇極值法和蒙特卡羅法。

1.3 極值法計算質(zhì)量質(zhì)心偏差

極值法通過采用極端假設的方式可以將某些多元函數(shù)問題簡單化，是一種重要的數(shù)學思想和分析方法。

對于公式（1）中的f（m_i）函數(shù)，m_i均取最大值時，即可求得

式中：△m_i為沿x軸正方向，第i個組件的質(zhì)量偏差最大值。

對于公式（1）中的g（m_i，l_i，L_i）函數(shù)，分子取最大值時，需m_i，l_i，L_i均取最大值，此時函數(shù)分母也相應變化為最大值。兩最大值相除不能判斷其結果的最值，因此，無法確定g（m_i，l_i，L_i）函數(shù)的最值。可見，極值法可以有效地計算出全彈質(zhì)量偏差最大值，但不能計算出全彈質(zhì)心偏差最大值。

1.4 蒙特卡羅法計算質(zhì)量質(zhì)心偏差

蒙特卡羅法又稱統(tǒng)計模擬法、隨機抽樣技術，是一種隨機模擬方法，是以概率和統(tǒng)計理論方法為基礎的一種計算方法，是使用隨機數(shù)或偽隨機數(shù)來解決很多計算問題的方法。將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系，用計算機實現(xiàn)統(tǒng)計模擬或抽樣，以獲得問題的近似解。

蒙特卡羅法計算全彈質(zhì)量質(zhì)心偏差的過程可分為三個步驟：

a.確定各變量的分布函數(shù)。通過前面的分析可知，影響m_i，l_i，L_i的因素主要為結構零件的加工誤差、元器件的制造誤差和輔助性材料的非定量使用。實際工程計算過程中，上述因素可視為相互獨立，且分布函數(shù)服從正態(tài)分布，因此可認為m_i，l_i，L_i，f（m_i）和g（m_i，l_i，L_i）的分布函數(shù)同樣服從正態(tài)分布。

b.產(chǎn)生隨機數(shù)并抽樣。蒙特卡羅法需要大量的樣本，因此可在（0，1）區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生大量的服從均勻分布的隨機數(shù)，并將其轉換為服從正態(tài)分布的m_i，l_i，L_i樣本。

c.將抽樣樣本代入公式（1）計算，并統(tǒng)計計算結果。通過計算，可以獲得大量的全彈質(zhì)量和質(zhì)心數(shù)據(jù)，對其進行統(tǒng)計分析可以得到均值、方差等統(tǒng)計量，最后對結果進行評判分析。

綜上，蒙特卡羅法能夠模擬全彈質(zhì)量質(zhì)心偏差的近似解，并且隨著抽樣次數(shù)的增加，求解精度逐漸提高。

2、蒙特卡羅法計算實例

以某小型制導炸彈方案為例，通過在MAT-LAB軟件中編譯程序，可以實現(xiàn)全彈質(zhì)量質(zhì)心偏差的蒙特卡羅法計算，其程序計算的流程圖如圖2所示，相關計算參數(shù)如表1所示。

選取5000，10000，20000，50000，100000和200000等6種抽樣次數(shù)對全彈質(zhì)量質(zhì)心進行仿真計算。計算結果見表2。

表2中，μ為數(shù)學期望，即為各統(tǒng)計樣本值的平均值，σ²為方差，即為各統(tǒng)計樣本值相對于μ的離散程度。對于正態(tài)分布函數(shù)，可以認為，各統(tǒng)計樣本是以999937%的概率位于（μ-4σ，μ+4σ）之間。

由表2可知，當抽樣次數(shù)達到50000次時，計算精度已經(jīng)能夠滿足方案要求，并且全彈質(zhì)量以99.9937%的概率位于（118.29，121.71）kg之間，全彈質(zhì)心以99.9937%的概率位于（996.2，1020.4）mm之間，可以認為通過蒙特卡羅法獲得的全彈質(zhì)量為120±1.71 kg，全彈質(zhì)心為1008.3±12.1 mm。

將m_i，f_i，L_i值分別代入公式（1）和（2），可獲得全彈質(zhì)量理論值為120 kg、全彈質(zhì)心理論值為1008.3 mm以及全彈質(zhì)量偏差最大值的極值法解為2.55 kg。

通過對比可知，采用極值法計算得到的全彈質(zhì)量偏差最大值近于小概率事件，而蒙特卡羅法更符合實際情況。

通過上述方法，可在方案研制初期，根據(jù)計算結果合理地調(diào)整、分配各組件的質(zhì)量質(zhì)心偏差和艙段殼體零件的公差，使其滿足給定的全彈質(zhì)量質(zhì)心范圍要求。

3、結論

為掌握全彈質(zhì)量和軸向質(zhì)心的變化范圍，本文對某小型制導炸彈結構布局方案進行了研究：建立了全彈質(zhì)量質(zhì)心函數(shù)方程，分析了極值法和蒙特卡羅法計算質(zhì)量質(zhì)心偏差的可行性，并進行了實例計算。通過分析和計算，可以得到如下結論：

（1）極值法可以有效地計算出全彈質(zhì)量偏差最大值，但不能計算出全彈質(zhì)心偏差最大值；

（2）極值法計算的全彈質(zhì)量偏差最大值近于小概率事件，難以反映客觀實際：

（3）蒙特卡羅法作為一種統(tǒng)計試驗方法，基于各參數(shù)在偏差范圍內(nèi)呈正態(tài)概率分布的事實，能夠更真實地描述全彈質(zhì)量質(zhì)心的偏差范圍：

（4）在小型制導炸彈的方案研制初期，可以根據(jù)蒙特卡羅法的計算結果合理地調(diào)整、分配各組件的質(zhì)量質(zhì)心偏差和艙段殼體零件的公差，使其滿足給定的全彈質(zhì)量質(zhì)心范圍要求。