李 曼 王艷輝 賈利民

(北京交通大學(xué)軌道交通控制與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100044)

(北京交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院，北京100044)

城市軌道交通具有速度快、頻率高、運(yùn)量大等特點(diǎn)，已成為城市居民出行的主要工具.伴隨路網(wǎng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大和客流負(fù)荷量的不斷提高，運(yùn)營(yíng)安全管理工作難度隨之增大.如何從車(chē)站各部分設(shè)備設(shè)施的客流流動(dòng)關(guān)系以及客流狀態(tài)演變機(jī)理兩個(gè)方面分析車(chē)站客流群體行為，對(duì)提高城市軌道交通的服務(wù)質(zhì)量和安全管理部門(mén)相關(guān)工作的開(kāi)展具有重要意義.

目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)城市軌道交通車(chē)站客流演化模型已進(jìn)行了相關(guān)研究.薛霏等［1］基于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論建立了城市軌道交通車(chē)站客流的演變模型及演變算法，綜合考慮了列車(chē)滿載率、閘機(jī)通過(guò)能力等因素來(lái)分析客流演變規(guī)律.曹志超［2］提出了無(wú)約束的突發(fā)大客流演化模型，仿真其在網(wǎng)絡(luò)中的演化過(guò)程，通過(guò)調(diào)整參數(shù)來(lái)分析討論大客流傳播速率和消散速率相對(duì)變化的關(guān)系.駱晨等［3］基于網(wǎng)絡(luò)擁擠模型建立超大客流擁堵網(wǎng)絡(luò)疾病傳播模型，通過(guò)參數(shù)反演將SIR 模型的傳播特性運(yùn)用于城市軌道交通網(wǎng)絡(luò).Chen 等［4］分析了客流和通過(guò)能力之間的關(guān)系，給出了密集區(qū)域的速度密度曲線，并推演了客流消散模型.Daamen［5］研究了公共交通設(shè)施中的客流模型，包括客流行為模型、分配模型等.

在客流行為方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者主要進(jìn)行了以下研究.Zhang 等［6］基于元胞自動(dòng)機(jī)理論建立了以北京地鐵車(chē)站為背景的上下車(chē)客流微觀模型，來(lái)刻畫(huà)上下車(chē)客流行為.徐瑞華等［7］提出了一種基于多路徑選擇機(jī)制的客流分布模型，并基于深度優(yōu)先搜索算法確定可行路徑.張琦等［8］基于元胞自動(dòng)機(jī)理論對(duì)MTR 車(chē)站客流進(jìn)行仿真建模，研究了MTR 車(chē)站客流行為特征，刻畫(huà)了宏觀的客流群體行為.Chen 等［9］從宏觀上對(duì)客流參數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行了分析，建立了能夠反映速度密度與流量之間關(guān)系的交通流模型.

綜上所述，宏觀客流行為方面的研究主要關(guān)注行人空間及設(shè)施布局的分配與優(yōu)化、大客流組織的疏散［10-13］、客流群體行為的特征、客流群體行為的演化等.微觀客流行為的研究主要以行人為研究對(duì)象，研究有效行為空間中行人個(gè)體特性、上下車(chē)客流行為、行人流線選擇特性等.

關(guān)于客流群體行為演化機(jī)理的研究，多是應(yīng)用仿真軟件通過(guò)調(diào)整模型參數(shù)來(lái)對(duì)客流行為進(jìn)行仿真，但在數(shù)學(xué)模型的解析求解與解析解的條件分析證明方面，以及模型的理論推導(dǎo)方面研究較少.本文基于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)原理構(gòu)建了車(chē)站客流演化數(shù)學(xué)模型，用來(lái)刻畫(huà)群體客流行為演化機(jī)理.基于系統(tǒng)行為理論給出了城市軌道交通車(chē)站客流模態(tài)的概念，通過(guò)求解車(chē)站客流演化模型的解析解和分析模型的穩(wěn)定性及穩(wěn)定性條件，得出車(chē)站客流系統(tǒng)特定模態(tài)集以及各模態(tài)對(duì)應(yīng)的物理特征.

1 城市軌道交通車(chē)站運(yùn)營(yíng)系統(tǒng)客流模態(tài)

利用系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論研究系統(tǒng)內(nèi)部因素相互作用的演化機(jī)理，建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為方程，通過(guò)觀察不同條件下系統(tǒng)狀態(tài)的變化特征發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)所表現(xiàn)出的現(xiàn)象(行為等)具有可再現(xiàn)性，可用來(lái)分析系統(tǒng)行為的發(fā)展趨勢(shì).這種不同條件下系統(tǒng)狀態(tài)改變所呈現(xiàn)出的統(tǒng)一特征被稱為系統(tǒng)模態(tài)［14］，其反映的是相同或相近環(huán)境(內(nèi)部和外部條件)下特定系統(tǒng)行為發(fā)生改變時(shí)的規(guī)律性特征.

定義1 城市軌道交通車(chē)站系統(tǒng)客流模態(tài)是以車(chē)站客流系統(tǒng)為研究對(duì)象，在某種環(huán)境下其客流狀態(tài)變化呈現(xiàn)的規(guī)律性特征，是一系列系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)的集合.在一段時(shí)間或一個(gè)周期內(nèi)，車(chē)站客流行為受到內(nèi)部和/或外界因素的影響連續(xù)地改變，在某一條件的作用下逐步趨于穩(wěn)定，此時(shí)可認(rèn)為系統(tǒng)達(dá)到某一模態(tài);即模態(tài)描述了一種特定條件下的系統(tǒng)行為，是系統(tǒng)對(duì)此種環(huán)境所做出的反應(yīng)，是系統(tǒng)在不同條件下其內(nèi)部因素相互作用的結(jié)果.

2 模型建立

為建立城市軌道交通車(chē)站客流狀態(tài)演化模型，首先做如下假設(shè):

1)P(t)，Q(t)，R(t)分別表示站廳客流、連接二者的中間設(shè)施客流以及站臺(tái)客流.

2)根據(jù)客流時(shí)間特征可以將車(chē)站運(yùn)營(yíng)的時(shí)段分為3 類，分別為早高峰、平峰、晚高峰.設(shè)同類中單位小時(shí)內(nèi)客流特性是均勻的，各小時(shí)的單位時(shí)間進(jìn)站量可用Ai(t)表示，出站量可用hiP(t)表示，其中hi為車(chē)站客流出站率.

3)站廳的客流和通往中間設(shè)施的客流之間的關(guān)系是非線性的，這種非線性由2 個(gè)流的相互作用產(chǎn)生，并且與中間設(shè)施的擁擠度有關(guān)，可用e(t)=aβ(t)P(t)Q(t)來(lái)表征.其中，a 為站廳流與中間設(shè)施流非線性相互作用關(guān)系調(diào)節(jié)參數(shù);β(t)用來(lái)表征中間設(shè)施擁擠度對(duì)這種相互作用的影響，表示為β(t)=Q(t)/K，K 為中間設(shè)施的最大容納人數(shù).因此，站廳的客流和通往中間設(shè)施的客流之間的非線性流動(dòng)率為aP(t)Q2(t)，0 ＜a ＜1.令e1(t)為站廳客流對(duì)中間設(shè)施客流的非線性作用關(guān)系參數(shù)，e2(t)為中間設(shè)施客流對(duì)站廳客流的非線性作用關(guān)系參數(shù).

4)b1與b2分別表示單位時(shí)間內(nèi)中間設(shè)施的客流去往站臺(tái)的客流流動(dòng)系數(shù)和站臺(tái)去往中間設(shè)施的客流流動(dòng)系數(shù)，0 ＜b1，b2＜1.

5)c1與c2分別表示單位時(shí)間內(nèi)站臺(tái)上車(chē)客流比率和下車(chē)客流比率，0 ＜c1，c2＜1.

基于以上假設(shè)，該模型的框圖如圖1所示.建立如下客流演化模型:

圖1 車(chē)站內(nèi)部客流相互作用模型

令Δa=a1－a2，Δc=c1－c2，則方程(1)可轉(zhuǎn)化為如下積分形式:

式中，Δa，Δc 滿足－1 ＜Δa ＜1，－1 ＜Δc ＜1.

3 基于模型穩(wěn)定性的車(chē)站客流模態(tài)集構(gòu)建

3.1 模型穩(wěn)態(tài)解的存在性與條件分析

下面討論其他穩(wěn)態(tài)點(diǎn)的存在性.令方程(1)右端為零，同時(shí)令方程變形為P(A －函數(shù)易得:當(dāng)Δa ＜0 時(shí)，A2－系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)點(diǎn)(P1，Q1，R1);當(dāng)Δa ＞0 且時(shí)，有2 個(gè)正穩(wěn)態(tài)點(diǎn)(P2，Q2，R2)和(P3，Q3，R3).

證明 根據(jù)系統(tǒng)(1)的微分方程組，可得該系統(tǒng)的雅克比矩陣J 為

系統(tǒng)在正穩(wěn)態(tài)點(diǎn)處共3 個(gè)特征根，分別為r1，r2，r3.將代入特征方程化簡(jiǎn)，可得

依據(jù)雅克比矩陣的性質(zhì)可知，當(dāng)雅克比矩陣的特征根均為負(fù)根時(shí)，可以判定該系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)點(diǎn)處局部漸進(jìn)穩(wěn)定［15］.故b2+Δc ＞0 是系統(tǒng)穩(wěn)定的前提條件.

1)當(dāng)Δa ＜0，A≤A0，Δc ＜0 時(shí)，車(chē)站客流系統(tǒng)局部漸進(jìn)穩(wěn)定，穩(wěn)態(tài)解為(P1，Q1，R1).當(dāng)b2+Δc＞0，Δc ＜0 時(shí)，則對(duì)于點(diǎn)P1，有r1r2＞0，且r1+r2＜0，因此系統(tǒng)在點(diǎn)P1處的雅克比矩陣有3 個(gè)負(fù)的特征根，此時(shí)系統(tǒng)局部漸進(jìn)穩(wěn)定.

2)當(dāng)Δa ＞0，A ＞A0，0 ＜Δc ＜Δc0時(shí)，車(chē)站客流系統(tǒng)局部漸進(jìn)穩(wěn)定，穩(wěn)態(tài)解為(P2，Q2，R2).當(dāng)0＜Δc ＜Δc0，即0 ＜M ＜2d 時(shí)，令顯然r1+因r1，r2同號(hào)，則r1，r2均小于0，即系統(tǒng)在點(diǎn)P2處的雅克比矩陣共有3 個(gè)負(fù)的特征根，此時(shí)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定.

3)當(dāng)Δa ＞0，A ＞A0，Δc≥Δc0時(shí)，車(chē)站客流系統(tǒng)局部漸進(jìn)穩(wěn)定，穩(wěn)態(tài)解為(P3，Q3，R3).當(dāng)Δc≥Δc0，即M≥2hi時(shí)，顯然令函數(shù)因f(P3)=0，且f(P)在區(qū)間單調(diào)遞減，因此當(dāng)A ＞A0時(shí)，有f(P0)＜0，同時(shí)P0點(diǎn)在P3點(diǎn)右側(cè)，則有＜0.同上，此時(shí)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)P3處漸進(jìn)穩(wěn)定.

3.2 模態(tài)集建立

由第1 節(jié)可知，模態(tài)是系統(tǒng)一系列穩(wěn)定狀態(tài)的集合，描述了一定條件下的系統(tǒng)行為.t0時(shí)刻，系統(tǒng)在某一觸發(fā)條件下開(kāi)始演化，在t0+iΔt 時(shí)刻達(dá)到局部漸進(jìn)穩(wěn)定狀態(tài)，此后t0+nΔt 時(shí)刻系統(tǒng)行為特征保持穩(wěn)定.當(dāng)在另一觸發(fā)條件下系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生改變，并且滿足模態(tài)躍遷閾值時(shí)，系統(tǒng)由當(dāng)前模態(tài)向另一模態(tài)演化，實(shí)現(xiàn)模態(tài)間的躍遷.

城市軌道交通車(chē)站系統(tǒng)的關(guān)鍵變量(進(jìn)站量、上下車(chē)比例、通道擁擠度等)相互作用，在不同時(shí)段，影響車(chē)站系統(tǒng)客流行為的參數(shù)值不同，導(dǎo)致車(chē)站客流行為趨于不同的模態(tài)，同時(shí)不同的系統(tǒng)模態(tài)也反映了該條件下的系統(tǒng)行為.3 種模態(tài)的物理意義如表1所示.

表1 客流狀態(tài)模態(tài)集的建立

4 數(shù)值仿真模擬

選取北京某典型地鐵站為例，根據(jù)某工作日的進(jìn)出站客流量以及滿載率的變化情況，使用Matlab軟件，對(duì)模型求解并進(jìn)行數(shù)值模擬.

圖2 不同參數(shù)組下的客流模態(tài)

圖2(a)和(c)顯示了當(dāng)A ＞A0，0 ＜Δc ＜Δc0時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)軌跡(參數(shù)組取表2中的①和③)，描述了客流處于模態(tài)Ⅱ的狀態(tài).顯然，中間設(shè)施和站臺(tái)客流略高于站廳客流.因站臺(tái)需求客流略大于列車(chē)輸送能力，站臺(tái)出現(xiàn)一定程度的乘客堆積.

通過(guò)增大A 和Δc 的參數(shù)值，使系統(tǒng)滿足條件A ＞A0，Δc ≥Δc0，此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)軌跡如圖2(b)和(e)所示(參數(shù)組取表2中的②和⑤).該模擬結(jié)果描述了客流處于模態(tài)Ⅲ的狀態(tài)，即站臺(tái)出現(xiàn)較為嚴(yán)重的乘客堆積，車(chē)站處于高負(fù)荷運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài).站廳客流在短時(shí)間內(nèi)達(dá)到一個(gè)高峰值后慢慢減少，最后趨于穩(wěn)定.而對(duì)于中間設(shè)施和站臺(tái)客流，隨著時(shí)間的遷移，客流量逐漸增大，最終使得站臺(tái)需求客流遠(yuǎn)大于列車(chē)輸送能力，乘客需等候幾趟列車(chē)才能完成乘降作業(yè).

表2 數(shù)值模擬參數(shù)的確定與不同參數(shù)下的系統(tǒng)模態(tài)

圖2(d)和(f)顯示了系統(tǒng)處于模態(tài)Ⅰ時(shí)的動(dòng)力學(xué)軌跡(參數(shù)組取表2中的④和⑥)，就整體而言，客流分布較為均勻，沒(méi)有發(fā)生乘客堆積效應(yīng).由Δa ＜0 可知，由通道去往站廳的客流流動(dòng)系數(shù)較大，出站客流相對(duì)較多，故站廳客流值略高于站臺(tái)和通道的客流;Δc ＜0 說(shuō)明列車(chē)可以及時(shí)運(yùn)走站臺(tái)候車(chē)客流，車(chē)站沒(méi)有發(fā)生乘客堆積效應(yīng)，即站臺(tái)需求客流小于列車(chē)運(yùn)輸能力.

5 高模態(tài)車(chē)站客流控制策略

1)減小Δc.模態(tài)Ⅲ的客流主要流向?yàn)檎緩d到站臺(tái)，高峰時(shí)段站臺(tái)客流密度大.通過(guò)減小Δc(c1=0.45，0.55，0.65)，即減小列車(chē)的發(fā)車(chē)間隔提高運(yùn)力，可實(shí)現(xiàn)高模態(tài)向中模態(tài)的躍遷，從而達(dá)到減小站臺(tái)客流密度的目的，如圖3所示.

圖3 不同上車(chē)流動(dòng)系數(shù)下的站臺(tái)客流R(t)模態(tài)

2)減小A.通過(guò)對(duì)高峰進(jìn)站客流進(jìn)行站外限流來(lái)減小A，如圖4所示.由圖可見(jiàn)，在不改變其他參數(shù)值的情況下，進(jìn)行站外限流時(shí)，不同進(jìn)站客流A(A=65，95，125)得到了不同的系統(tǒng)模態(tài)平衡點(diǎn)，顯然控制進(jìn)站客流對(duì)站臺(tái)客流擁擠起到了一定的緩解作用，能在一定程度上達(dá)到降低站臺(tái)安全隱患的效果.

圖4 不同進(jìn)站客流作用下的站臺(tái)客流R(t)模態(tài)

通過(guò)以上的參數(shù)調(diào)整和分析可知，在針對(duì)高模態(tài)的客流組織和應(yīng)對(duì)措施中，運(yùn)營(yíng)公司可以通過(guò)站外限流降低單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)站客流人數(shù)，縮小發(fā)車(chē)間隔提高列車(chē)運(yùn)力，以及維護(hù)站臺(tái)排隊(duì)秩序、實(shí)時(shí)信息廣播等降低站臺(tái)客流密度，保障車(chē)站與乘客的安全.

6 結(jié)語(yǔ)

基于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模理論，通過(guò)對(duì)城市軌道交通車(chē)站系統(tǒng)的整體與局部的分析，研究車(chē)站內(nèi)部的客流相互作用機(jī)制及影響因素，選取關(guān)鍵變量建立城市軌道交通車(chē)站內(nèi)客流演化模型，求解并分析3個(gè)模態(tài)的物理特征，以及模態(tài)轉(zhuǎn)移的閾值條件.通過(guò)分析模態(tài)轉(zhuǎn)移閾值條件以及數(shù)值仿真，得到了高峰時(shí)段車(chē)站客流控制策略，包括站外限流以及縮小發(fā)車(chē)間隔等.當(dāng)進(jìn)站量值超過(guò)閾值A(chǔ)0，且上下車(chē)客流差大于Δc0時(shí)，車(chē)站客流朝模態(tài)Ⅲ趨勢(shì)發(fā)展，進(jìn)入高負(fù)荷運(yùn)營(yíng)，此時(shí)應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注.下一步需要深入分析車(chē)站客流幾種模態(tài)之間的轉(zhuǎn)移規(guī)律，分析路網(wǎng)與各個(gè)車(chē)站子系統(tǒng)的聯(lián)系，從而建立城市軌道交通整個(gè)路網(wǎng)客流狀態(tài)的模態(tài)集.

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