孫海文，歐陽中輝，王 彥

(海軍航空工程學院兵器科學與技術系，山東煙臺264001)

0 引言

現(xiàn)在利用載波相位技術進行定位是十分活躍的研究領域，由于GPS L1載波波長很短，只有19 cm，載波相位測量噪聲很小，因此測量精度高，能達到很高的定位精度。對此許多人作了研究，并將此技術應用到姿態(tài)測量領域［1－3］。

利用載波相位GPS進行測姿已逐漸應用于衛(wèi)星、導彈、飛機、船舶、汽車等高動態(tài)的載體上［4－6］。隨著載波相位 GPS測量精度的不斷提高，利用其動態(tài)測量精度高、實時性好、受環(huán)境影響小的特點［7－8］，可以對艦船進行海上動態(tài)標校。目前對于姿態(tài)解算算法有很多，例如九參數(shù)最小二乘法、三參數(shù)迭代最小二乘法、直接算法［8］等。前2種算法的優(yōu)點是，可利用多條基線的冗余信息，解算精度較好，但計算過程復雜，實時性差;直接算法通過代數(shù)方法求解載體的姿態(tài)角，其原理簡單易懂、計算速度快、實時性好，在單基線解算中，其解算精度較好，但在解算中沒有對粗大誤差和GPS信號缺失進行處理，解算結果誤差較大。

1 艦船姿態(tài)角定義

艦船姿態(tài)角一般是指船舶甲板坐標系相對當?shù)厮阶鴺讼抵g關系的角度，姿態(tài)角，為縱搖角(P)、橫搖角(R)、航向角(Y)。用坐標系O－XYZ來表示水平坐標系［9］，姿態(tài)角定義如圖1所示。

圖1 姿態(tài)角示意圖Fig.1 The attitude angle diagram

艦船相對于水平坐標系X軸的相對旋轉角度定義為縱搖角，右手定則X軸正方向沿著手指方向轉為正，否則為負;Y軸的相對旋轉角度定義為橫搖角，右手定則Y軸正方向沿著手指方向轉為正，否則為負;Z軸的相對旋轉角度定義為航向角，右手定則Z軸正方向沿著手指方向轉為正，否則為負。

2 直接算法

直接計算法是根據(jù)基線的當?shù)厮阶鴺酥岛团灤装遄鴺酥导皟勺鴺讼甸g的轉換關系直接求解載體姿態(tài)角的算法。在單基線測量時只能求解出航向角和縱搖角。在船的首尾分別安放GPS接收機，尾部的接受機為基準站天線1，首部的接收機為用戶站天線2，GPS接收機架設坐標系如圖2所示，天線1和天線2之間的連線經過甲板坐標系原點且位于艦船甲板坐標系的Y軸上。天線1和天線2之間的連線向量記作L12，這條基線的長度和方向可精確測量。

圖2 甲板GPS架設示意圖Fig.2 The deck GPSerection diagram

直接計算法的具體計算過程如下:

第1步:根據(jù)GPS精密單點定位方式測量出基準站的地心坐標，同時利用GPS的載波相位差分方式測量出用戶站相對于主天線在地心坐標系下的基線解:

其中E為地心坐標系。

第2步:按照式(2)把式(1)地心坐標系下的解轉換成當?shù)厮阶鴺讼迪碌慕?

式中:L為當?shù)厮阶鴺讼?l0和b0分別為艦船甲板坐標系原點的經度和緯度。

第3步:根據(jù)當?shù)厮阶鴺讼蹬c艦船甲板坐標系之間的轉換關系［10－11］，如圖3所示，可以得到坐標轉換關系式:

其中D為艦船甲板坐標系。

圖3 當?shù)厮阶鴺讼岛团灤装遄鴺讼甸g的轉化示意圖Fig.3 Conversion diagram of the local level coordinate system and the ship deck coordinate system

第4步:把基L12線的當?shù)厮阶鴺讼档慕鈊 XLL=［d xL，2d yL，2d zL，2］T和艦船甲板坐標系的解 d XDD=［0 L120］T同時代入式(4)，得:

由式(6)可解得:

對式(7)進行微分，得到:

航向角的方差為

上式化成不等式為

σdxL，2，σdyL，2為 GPS 接收機的測距精度，統(tǒng)一用σΔGPS來表示，即為:

由上述公式分析可知，航向角的精度與定義航向的基線L12的長度成反比，即基線長度越長，精度越高，此結論只適用于短基線 (一般在10 km范圍內)。

在解算縱搖角時基線在Z軸的投影長度較短，因此其解算精度較低。

3 基于自適應卡爾曼濾波的姿態(tài)解算算法

為滿足艦船姿態(tài)的實時測量需求，本節(jié)提出一種不受粗大誤差干擾和GPS信號短暫缺失的GPS定姿算法。該方法的基本原理和解算過程如下:

在姿態(tài)測量開始前，通過GPS靜態(tài)相對定位方式確定出用戶天線相對于基準天線在載體坐標系下的基線d XkD2，其中k為歷元號;

艦船姿態(tài)測量過程中，根據(jù)偽距單點定位方式或偽距差分方式獲得基準天線的地心坐標值。同時，利用載波相位差分方式獲得用戶天線相對于基準天線的基線向量(地心坐標系)，見式(1);利用旋轉矩陣將上述地心坐標系下的解轉換成當?shù)厮阶鴺讼迪碌慕?

再利用旋轉矩陣Tkdl，得到基線當?shù)厮阶鴺讼迪碌慕馀c載體坐標系下解得函數(shù)關系式:

其中r，p，γ分別為翻滾角、俯仰角和航向角。

式(15)是以r，p，γ為未知量的非線性表達式。用自適應卡爾曼濾波進行參數(shù)估計前需先進行線性化處理，把式(14)進行泰勒級數(shù)展開并保留第一項，可得到式(14)的線性化表達式:

式中:∑dXkL，2為的協(xié)方差矩陣;Vk為殘差。由于是單基線測量，在解算過程中橫搖角r會為0。利用直接算法獲取初始解p0和γ0。

對于單基線，則其最小二乘解及協(xié)方差為:

在艦船的姿態(tài)測量過程中，艦船始終處于搖擺狀態(tài)，所以可根據(jù)前一歷元的信息和艦船的搖擺方程，來預測和估計下一歷元的信息。由于艦船的搖擺運動是不規(guī)則的曲線，采用加速度模型時會出現(xiàn)周期的間斷點，所以此處采用常速度模型，有:

其中，

式中:Xk和分別為歷元k的真值和估計值;Φk/k－1為狀態(tài)轉移矩陣;Wk為動態(tài)噪聲;Δt為歷元間隔;ω為姿態(tài)角變化的速度;Q為姿態(tài)角變化的速度功率譜密度。

那么，基于常規(guī)卡爾曼濾波的遞推解為:

進一步，可寫出基于自適應卡爾曼濾波的解為:

其中α為自適應因子，它們的計算公式如下:

式中:c0和c1為常數(shù)，一般取值范圍為c0=1.0～1.5，c1=3.0～4.5。ΔXt按下式求取:

4 仿真試驗

4.1 仿真條件建立

假設2個組GPS數(shù)據(jù)基準站為 (E37.94169444，N121.6988889)、 用 戶 站 為 (E37.94166666，N121.6975000)、高度為15 m，坐標原點位于用戶站與基準站之間連線上坐標為 (E37.94168750，N121.6985417)。

建立艦艇縱搖角模型

航向角模型

縱搖角速度模型

航向角速度模型

式中:Ap，Aγ分別為艦船的縱搖角幅度值和航向角幅度值;Tp，Tγ分別為艦船縱搖周期、艦船偏航周期;p0，k0分別為艦船縱搖角初始相位、艦船偏航角初始相位;γ0為艦船航向角;ˉωp，ˉωγ為艦船引入誤差后的角速度。

4.2 縱搖角和航向角誤差比較

圖4是引入誤差后，縱搖角和航向角的測量誤差和標準差的曲線圖。

圖4 縱搖角誤差和航向角誤差曲線圖Fig.4 The curves of the pitch angle error and the path angle error

從圖4可看出，航向角誤差值的標準差小于縱搖角誤差值的標準差，而且相差一個數(shù)量級，因此得出結論，在單基線測量過程中縱搖角測量精度明顯低于航向角測量精度。

4.3 航向角誤差與基線長度的關系分析

通過經緯度數(shù)據(jù)可計算出2個GPS天線之間的距離為122 m;保持緯度不變，縮小經度之間的差值，基線長度分別為73 m和24 m。仿真結果如圖5所示。

圖5 不同基線長度下誤差情況曲線圖Fig.5 The curves of different baseline length errors

從圖5可看出，隨著基線長度縮短，測量誤差的標準差逐漸增大。因此可知，在短基線 (一般在10 km以內)情況下，航向角的測量精度跟基線長度有關系，基線越長，精度越高。

4.4 直接姿態(tài)解算算法和基于自適應卡爾曼濾波的姿態(tài)解算算法比較及分析

第1步:仿真出用直接算法解算出的航向角與真實航向角對比曲線圖，并仿真出誤差曲線圖如圖6所示。

圖6 直接算法解算與真值比較及誤差曲線圖Fig.6 The comparison of the solution of the direct attitude algorithm and the true value curves and the error curves

第2步:仿真出改進算法解算出的航向角與真實航向角對比曲線圖，并仿真出誤差曲線圖如圖7所示。

圖7 改進算法解算與真值比較及誤差曲線圖Fig.7 The comparison of the solution of the improved algorithm and the true value curves and the error curves

第3步:為了更直觀地看出改進算法的優(yōu)勢，將改進算法、直接算法與真值進行比較，如圖8所示。

圖8 改進算法、直接算法與真值比較圖Fig.8 The comparison diagram of the improved algorithm，the direct algorithm and the true value

第4步:對2種算法的誤差進行仿真比較，繪出誤差曲線并計算出誤差的標準差，如圖9所示。

圖9 兩種算法的誤差對比圖Fug.9 The error comparison diagram of the two algorithms

從仿真圖中可看出，改進后的姿態(tài)測量算法能很好地消除粗大誤差，并能很好地補償缺失數(shù)據(jù)，測量的姿態(tài)角精度明顯提高。計算出的改進算法的誤差標準差=0.001 2，明顯小于直接算法的誤差標準差=0.034 4，相差一個數(shù)量級，解算精度得到明顯提高。

5 結語

本文對直接法求解姿態(tài)角進行公式推導，因為直接算法在解算過程中，不能消除粗大誤差并且受GPS信號缺失的影響，因此提出了一種改進的姿態(tài)角解算即基于自適應卡爾曼濾波的姿態(tài)解算算法;通過仿真試驗分析比較航向角與縱搖角的測量精度、航向角與基線長度的關系、直接法與基于自適應卡爾曼濾波的姿態(tài)解算算法的測量精度，仿真結果表明航向角的解算精度比縱搖角的解算精度高，且高出一個數(shù)量級;基線越長，航向角測量精度越高;改進算法比直接算法的解算精度高，且高出一個數(shù)量級。

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