楊曉波

(浙江財(cái)經(jīng)大學(xué)東方學(xué)院，浙江 杭州 310012)

四點(diǎn)插值法在柔性織物曲面模擬中的應(yīng)用

楊曉波

(浙江財(cái)經(jīng)大學(xué)東方學(xué)院，浙江 杭州 310012)

為進(jìn)一步提高柔性織物的仿真度，提出一種基于四點(diǎn)插值法的柔性織物曲面模擬方法。具體研究過(guò)程是:首先分析了基于四點(diǎn)插值法的織物曲面模型，利用四點(diǎn)插值法細(xì)分柔性織物的曲線和曲面，最后通過(guò)四點(diǎn)插值法進(jìn)行曲面的拼接和局部修改，并采用對(duì)比實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證四點(diǎn)插值法的可行性。研究結(jié)果表明，所提出的基于四點(diǎn)插值法的柔性織物實(shí)體模擬方法，模擬準(zhǔn)確度達(dá)到95%以上，從而驗(yàn)證了該方法的可行性。

四點(diǎn)插值法;柔性織物;曲面模型;實(shí)體模擬

對(duì)于變形曲面重建方法的研究是近年來(lái)計(jì)算機(jī)仿真領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。傳統(tǒng)的模擬仿真方法由于沒有將變形物體的材料屬性因素考慮在內(nèi)，因而難以獲得真實(shí)的變形效果。為此，相關(guān)學(xué)者已在此領(lǐng)域進(jìn)行了深入研究。Terzopoulos［1］提出了一種較通用的曲面彈性變形模型，該模型可形象地描述各種柔性材料變形過(guò)程，但也存在著一些缺陷，如計(jì)算效率較低，計(jì)算穩(wěn)定性較差，不能完全表述曲面實(shí)際變形等;Breen等［2］已成功將粒子模型運(yùn)用于柔性織物仿真之中，取得了十分逼真的模擬效果，但采用粒子模型方法同樣存在一定缺陷，主要表現(xiàn)在計(jì)算耗時(shí)較大且計(jì)算效率較低，仍不能精確地反映變形曲面的真實(shí)變形過(guò)程，無(wú)法對(duì)復(fù)雜的曲面進(jìn)行處理等;1994年，Terzopoulos等又提出了基于能量模型的動(dòng)態(tài)NURBS曲面［3］，該方法保留了NURBS曲面模型的基本信息，具有良好的整體柔順性，但由于該模型對(duì)物體曲面的要求較高，要求曲面形態(tài)盡可能光滑，而真實(shí)材料的曲面受表面紋理和光照條件等因素影響，較難達(dá)到模型要求，因而仿真準(zhǔn)確度較低，另外模型本身較復(fù)雜，計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，實(shí)時(shí)性仿真效果較差;半剛性樣條模型在NURBS曲面模型基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)［4］，該模型能夠在保證長(zhǎng)度不變的前提下進(jìn)行彎曲變形，符合織物保持長(zhǎng)度的物理特性，計(jì)算也較為簡(jiǎn)化，能產(chǎn)生懸垂織物變形時(shí)特有的褶皺等效果，但也存在一定缺陷，如交互的選擇物理參數(shù)仍有待研究，如何在提高計(jì)算效率的同時(shí)保證曲面質(zhì)量的平衡等。

柔性織物是一種典型的變形曲面，選用何種模型構(gòu)造柔性織物曲面是織物仿真模擬的關(guān)鍵問(wèn)題。本文擬根據(jù)織物自身和仿真要求，利用四點(diǎn)插值法進(jìn)行織物曲面模擬研究，以期獲得較為滿意的效果。

1 四點(diǎn)插值法的織物曲面模型

織物曲面模擬研究領(lǐng)域一直都受到各國(guó)學(xué)者的廣泛關(guān)注。Fugerson首先在飛機(jī)設(shè)計(jì)中提出，將曲線、曲面表示為參數(shù)向量的函數(shù)形式［5］;Coons提出由4條邊界曲線確定參數(shù)曲面，進(jìn)而表示完整曲面的方法［6］;Versprille［7］等研究出非均勻有理 B 樣條的一整套理論和方法，并使之成為行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)。上述方法均是定義在矩形參數(shù)域上，無(wú)法有效地表示任意拓?fù)湫螤畹那?。?dāng)表示復(fù)雜物體表面時(shí)，通常采用逐片構(gòu)造的方法，必須對(duì)曲面片進(jìn)行裁剪，還需考慮片間的光滑拼接，處理起來(lái)相當(dāng)困難且耗時(shí)。為滿足織物快速真實(shí)模擬和復(fù)雜曲面造型的需要，本文提出利用四點(diǎn)插值法進(jìn)行三維柔性織物曲面表示的方法。

四點(diǎn)插值法是由四點(diǎn)插值曲線張量積形式生成的，是基于四邊域網(wǎng)格的插值型細(xì)分方法，選擇此方法的主要原因是:采用四邊域網(wǎng)格特性，能夠自然地反映織物經(jīng)向、緯向編制結(jié)構(gòu)，且可通過(guò)構(gòu)造合適的邊界條件，解決不同曲面間光滑拼接的問(wèn)題。

在分析織物物理模型的基礎(chǔ)上，本文構(gòu)造出基于四點(diǎn)插值法的織物變形曲面模型。構(gòu)造過(guò)程如圖1所示。從圖可知，織物變形曲面的構(gòu)造過(guò)程包括4個(gè)步驟。首先將織物離散成四邊域網(wǎng)格，如圖1(a)所示，圖中每根經(jīng)紗和緯紗的交叉點(diǎn)被看作為質(zhì)點(diǎn)，這些質(zhì)點(diǎn)聚合在一起形成質(zhì)點(diǎn)集，反映了鄰近矩形區(qū)域的質(zhì)量分布，當(dāng)織物在外力作用下發(fā)生形變時(shí)，質(zhì)點(diǎn)間的相互位置也在發(fā)生變化，主要表現(xiàn)為3種形式，分別為伸縮、彎曲和剪切，如圖1(b)、(c)、(d)所示。為表示3種形變的外作用力，可利用DeRose等［8］提出的能量函數(shù)模型來(lái)表示，本文將在此基礎(chǔ)上，利用四邊域網(wǎng)格分析織物產(chǎn)生的形變情況。

圖1 基于四點(diǎn)插值的織物變形曲面構(gòu)造過(guò)程Fig.1 Surface construction process of fabric deformation based on four point interpolation.(a)Particle structure of fabric;(b)Extension and compression of fabric;(c)Curving fabric;(d)Shearing fabric

2 四點(diǎn)插值法細(xì)分曲線和曲面

Dyn等［9］首先提出了四點(diǎn)插值細(xì)分算法，并對(duì)算法進(jìn)行了驗(yàn)證，該算法的關(guān)鍵是如何求出控制頂點(diǎn)的值，由于控制頂點(diǎn)受多種因素影響，使得生成的曲線連續(xù)性和收斂性難以保證，另外，該算法要求控制點(diǎn)分布均勻，對(duì)非均勻分布的控制點(diǎn)擬合效果較差，故本文對(duì)該算法做了進(jìn)一步改進(jìn)。

從初始控制點(diǎn)列{Pi}出發(fā)，計(jì)算產(chǎn)生出新的插值點(diǎn)，如式(1)所示:

式中:Pi+1表示新插入的點(diǎn)，位于頂點(diǎn)Pi之后;s表示算法的收斂性系數(shù)。從式(1)可知，如果在Pi和Pi+1之間插入新頂點(diǎn)，需要由它的相鄰結(jié)點(diǎn)，即Pi－1，Pi，Pi+1和 Pi+24 個(gè)點(diǎn)決定。

下面定義第v次細(xì)分后的頂點(diǎn)集，記為{Pvi}，則第v+1步細(xì)分后所得頂點(diǎn)為:

當(dāng)v=0時(shí)，初始值為P0i=Pi。當(dāng)v趨于無(wú)窮時(shí)，將得到一個(gè)無(wú)窮點(diǎn)列。另外，經(jīng)過(guò)計(jì)算，當(dāng)，或0＜s＜時(shí)，所獲得的極限曲線是連續(xù)的。

利用曲線張量積可以計(jì)算四點(diǎn)插值細(xì)分曲面，初始值可記P0i，j，其中 i= －2，…，m+2，j=－2，…，n+2，由第v步網(wǎng)格點(diǎn)集計(jì)算獲得第v+1步的網(wǎng)格集合，具體方法是:先從i下標(biāo)出發(fā)，利用式(2)，在點(diǎn)Pvi，j與 Pvi+1，j間插入新點(diǎn);再?gòu)?j下標(biāo)出發(fā)，在點(diǎn)Pvi－1，j與 Pvi+2，j間插入新點(diǎn)，這樣便生成k+1層的網(wǎng)格點(diǎn)集，如式(3)所示。

圖2 四點(diǎn)細(xì)分曲面構(gòu)造過(guò)程Fig.2 Fourpoint subdivision surface construction processes

從圖可知，利用四點(diǎn)插值法細(xì)分曲面，一般情況下經(jīng)過(guò)2步迭代后，可獲得較為理想的曲面。

3 曲面拼接和局部修改

三維服裝的基本單元是復(fù)雜的二維織物(衣片)，因而在進(jìn)行織物曲面模擬時(shí)，需要考慮衣片間的約束關(guān)系和相對(duì)位置，在此基礎(chǔ)上形成初始控制網(wǎng)格，初始網(wǎng)格拼接時(shí)需保證衣片間的光滑拼接。本文利用四點(diǎn)細(xì)分造型方法，通過(guò)構(gòu)造合適的邊界條件，實(shí)現(xiàn)曲面間的光滑拼接。本文以2個(gè)曲面片S1、S2為例，討論曲面拼接的構(gòu)造方法。

3.1 四點(diǎn)細(xì)分曲線邊界點(diǎn)的生成方法

采用傳統(tǒng)方法構(gòu)造邊界點(diǎn)運(yùn)算量較大［10－11］。本文在傳統(tǒng)方法基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)。首先利用中垂線定理求出4個(gè)插值點(diǎn)，再利用四點(diǎn)插值法對(duì)初始插值點(diǎn)進(jìn)行均勻分布，改進(jìn)方法只需簡(jiǎn)單地線性運(yùn)算即可構(gòu)造邊界點(diǎn)，且系統(tǒng)開銷較小，這樣可大大減少計(jì)算耗費(fèi)。采用改進(jìn)后的方法可求得點(diǎn)列另一端的Pn+1，再利用已求出的 P－l，Pn+1，用同樣方法可求出 P－2，Pn+2。

3.2 四點(diǎn)細(xì)分曲面邊界點(diǎn)的構(gòu)造

根據(jù)四點(diǎn)插值曲線邊界點(diǎn)的構(gòu)造方法，可類似進(jìn)行四點(diǎn)細(xì)分曲面邊界點(diǎn)的構(gòu)造。首先構(gòu)造初始網(wǎng)格控制點(diǎn)陣中各行、列的邊界點(diǎn)，再由已產(chǎn)生的邊界點(diǎn)和初始控制網(wǎng)格上的點(diǎn)，用同樣的構(gòu)造方法求出其余4個(gè)角點(diǎn)上的邊界點(diǎn)。在求4個(gè)角的邊界點(diǎn)時(shí)，對(duì)于同一位置，按照行或列方向求出的結(jié)果并不相同，一般做法是對(duì)2種構(gòu)造結(jié)果值進(jìn)行平均。

3.3 曲面的拼接

構(gòu)造了曲面的邊界點(diǎn)后，再分析2個(gè)曲面片間的光滑拼接條件。曲面片S1由初始插值點(diǎn)陣列{pi，j，i=0，…，n1，j=0，…，m1}給出，曲面片 S2由初始插值點(diǎn)陣列 {qi，j，i=0，…，n2，j=0，…，m2}給出，其中 pi，m1=qi，0。為使 S1、S2在 pi，m1或 qi，0所確定的四點(diǎn)法曲線處實(shí)現(xiàn)C1連接，曲面片應(yīng)取如下邊界條件。

曲面片S1的邊界條件為:

1)由 pi，m1，i=0，…，n 構(gòu)成的曲線邊界一側(cè)，取pi，m1－1=qi，1，pi，m1－2=qi，2，其中 i=－2，…，n+2;

2)再由 pi，0，i=0，…，n 構(gòu)成的曲線邊界一側(cè)，取 pi，－2，pi，－1，i=－2，…，n+2 的值，并由上述提到的邊界點(diǎn)構(gòu)造方法給出。

曲面片S2的邊界條件為:

1)由 qi，0，i=0，…，n 構(gòu)成的曲線邊界一側(cè)，取qi，－2=pi，m1－2，qi，－1=pi，m1－1，其中 i=－2，…，n+2;

2)再由 qi，m－2，i=0，…，n 構(gòu)成的曲線邊界一側(cè)，取 qi，m2－2=qi，m2－1，其中 i=－2，…，n+2 的值。

按照上述方法構(gòu)造的邊界條件對(duì)曲面片S1、S2進(jìn)行細(xì)分，曲面片S1、S2將實(shí)現(xiàn)Gl連續(xù)拼接，如圖3所示。

圖3 曲面片間光滑拼接過(guò)程Fig.3 Smooth splicing process between patches.(a)Initial stitching patches;(b)Stitching patches after subdivision once;(c)Final stitching smooth surface

圖3示出曲面片間光滑拼接的過(guò)程，結(jié)合上述方法，可實(shí)現(xiàn)多個(gè)曲面片間的拼接，最終形成整個(gè)三維服裝初始控制網(wǎng)格。

3.4 曲面的局部修改

局部修改在改進(jìn)三維服裝曲面過(guò)程中非常重要，下面將利用本文提出的方法對(duì)服裝曲面的局部特性進(jìn)行修改。

服裝曲面的初始控制點(diǎn)列為P0i，j，當(dāng)點(diǎn)列當(dāng)中的某點(diǎn) Pi，j發(fā)生改變，改動(dòng)后的值記為 P'i，j，則其變化量為 △P=Pi，j－P'i，j，這一局部特性的改變將影響整個(gè)細(xì)分曲面。

從前述可知，通過(guò)計(jì)算曲線張量積可得到四點(diǎn)細(xì)分曲面，因此，可先從曲線的局部修改做起，進(jìn)而覆蓋到整個(gè)細(xì)分曲面。

首先，初始網(wǎng)格點(diǎn)集被第1次細(xì)分，利用四點(diǎn)細(xì)分算法，可以生成4個(gè)新的點(diǎn)，計(jì)算過(guò)程見式(4)。

當(dāng)點(diǎn) Pi，j被改動(dòng)為 P'i，j時(shí)，產(chǎn)生的變化對(duì) Pi，j之后的影響如下:

結(jié)合式(4)和式(5)，可得:

由式(6)可知，點(diǎn) Pi，j的變化對(duì) Pi，j和 P(i+1)，j的影響較大，曲線在 Pi，j到 Pi+2，j之間的變化情況為:

由式(7)可知，由于受到△Pi，j的影響，曲線在Pi，j到 Pi+2，j之間的部分會(huì)有較大變化。

當(dāng)初始網(wǎng)格點(diǎn)集被細(xì)分2次后，Pi，j的變化將對(duì)曲線在 Pi+2，j和 Pi+3，j之間產(chǎn)生影響，如式(8)所示。

由于在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，s一般取值為1/12，因此點(diǎn) Pi，j的改動(dòng)對(duì)曲線段 ［Pi+2，j，Pi+3，j］和［Pi－3，j，Pi－2，j］的影響非常小，在實(shí)際應(yīng)用中常常可忽略。

上述對(duì)四點(diǎn)細(xì)分曲線局部性質(zhì)的討論，可很容易推廣到整個(gè)四點(diǎn)細(xì)分曲面，即當(dāng)改變控制點(diǎn)列中的點(diǎn)Pi，j時(shí)，對(duì)整個(gè)四點(diǎn)細(xì)分曲面有顯著影響的區(qū)間為 ［Pi－2，j，Pi+2，j］ × ［pi，j－2，Pi，j+2］。

4 對(duì)比實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證四點(diǎn)插值法的可行性，本文以單色女裙作為樣本進(jìn)行實(shí)際模擬。首先確定女裙衣片與三維人體模型，通過(guò)光滑拼接條件和細(xì)分方法對(duì)衣片進(jìn)行拼接，構(gòu)造三維服裝模擬初始網(wǎng)格，在此基礎(chǔ)上通過(guò)局部修改對(duì)服裝進(jìn)行真實(shí)感模擬，模擬效果見圖4?？椢锬M準(zhǔn)確度的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是通過(guò)最終模擬效果與織物實(shí)體懸垂外觀進(jìn)行對(duì)比，模擬效果越接近織物實(shí)體外觀，模擬準(zhǔn)確度越高。

另外，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中還采用Terzopoulos曲面彈性變形模型進(jìn)行模擬，實(shí)驗(yàn)樣本同樣采用單色女裙，并將模擬結(jié)果與本文方法進(jìn)行對(duì)比，模擬準(zhǔn)確度通過(guò)模擬圖像與織物實(shí)體懸垂外觀圖像進(jìn)行對(duì)比得到，結(jié)果如表1所示。

從表1可知，在相同織物質(zhì)點(diǎn)數(shù)的條件下，不論是模擬時(shí)間和模擬準(zhǔn)確度，本文方法都優(yōu)于Terzopoulos法。

圖4 三維服裝模擬過(guò)程Fig.4 3-D garment simulation process.(a)Skirt front patch and rear patch;(b)Initial mesh of skirt stitching;(c)Formation of 3-D garment surface;(d)Final simulation results

表1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Tab.1 Comparison of two experimental results

5 結(jié)束語(yǔ)

本文采用四點(diǎn)插值方法對(duì)柔性織物曲面進(jìn)行模擬，通過(guò)分析研究并結(jié)合對(duì)比實(shí)驗(yàn)，得出如下結(jié)論。

1)利用四點(diǎn)插值法進(jìn)行三維織物模擬仿真，不但可方便融合織物的物理特性，而且可利用細(xì)分網(wǎng)格的迭代加細(xì)特性，動(dòng)態(tài)改變模擬初始網(wǎng)格密度，提高了模擬的真實(shí)感。

2)采用四點(diǎn)插值法構(gòu)造邊界點(diǎn)，分析曲面間的光滑拼接條件，實(shí)現(xiàn)了不同曲面間的光滑拼接，較好地解決了三維服裝模擬中復(fù)雜衣片間的縫合問(wèn)題。

［1］ TERZOPOULOS D， FLEISCHER K. Deformable Models［J］.The Visual Computer，1988，4(6):306 －331.

［2］ BREEN D E，HOUSE D H，WOZNY M J.A Particlebased model for simulating the draping behavior of woven cloth［J］.Textile Research Journal，1994，64(11):663－685.

［3］ TERZOPOULOS D，HONG Q.Dynamic NURBS with geometric constraints for interactive scalpting［J］.ACM Transcations on Graphics，1994，13(2):103 －136.

［4］ CHENG C Y，SHI J Y，XU Y Q，et al.Physically based model for real-time animation of curtain movement［J］.Journal of Software，2000，11(9):1228 －1236.

［5］ FERGUSON J C.Multivariable curve interpolation［J］.Journal of the Association for Computing Machinery，1964，11(2):221－228.

［6］ COONS S A.Surfaces for Computer-aided Design of Space Figures［M］.M I T MAC-M-255，1964:38 －55.

［7］ VERSPRILLE K J.Computer-aided design applications of the rationalb-spline approximation form［D］.Syracuse N Y:Syracuse Uni，1975:65 －78.

［8］ DOROSE T， KASSM， TRUONG T. Subdivision surfaces in character animation［C］//Computer Graphics Proceedings，Annual Conference Series.Orlando:ACM SIGGRAPH，1998:85－96.

［9］ DYN N，LEVIN D，GREGORY J A.A 4-point interpolatory subdivision scheme for curve design［J］.Computer Aided Design，1987，4:257－268.

［10］ KOBBELT L， Interpolatory subdivision on open quadrilateral nets with arbitrary topology［J］.Computer Graphics Forum，1996，5(3):409－420.

［11］ 梁景鴻.離散的曲線曲面造型方法的應(yīng)用研究［D］.廣州:華南理工大學(xué)，2002:35－76 LIANG Jinghong.Research on application of discrete curve and surface modeling method［D］.Guangzhou:South China University of Technology，2002:35－76.

Study on simulation of flexible fabric bend surface based on four-point interpolation method

YANG Xiaobo
(Dongfang College，Zhejiang University of Finance ＆ Economics，Hangzhou，Zhejiang 310012，China)

In order to further improve the simulation of flexible fabric，a method for simulation of flexible fabric surface based on four-point interpolation is proposed in this paper.The specific research process is as follows.Firstly，analyzing the fabric surface model based on four-point interpolation method，then，using four-point interpolation method to subdivide the curves and surfaces of flexible fabric，finally，performing surface splicing and local modification by the four-point interpolation method，and using comparative experiments to verify the feasibility of the four-point interpolation method.The result shows that the method based on four-point interpolation to simulate true flexible fabric is proposed in this paper，has the simulation accuracy up to above 95%，thereby verifying the feasibility of the method.

four-point interpolation method;flexible fabric;bend surface model;physical simulation

TP 311.131

A

10.13475/j.fzxb.20140404605

2014－04－16

2014－12－04

浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(Y1110023)

楊曉波(1971—)，男，副教授，博士。研究方向?yàn)榧徔棽牧系挠?jì)算機(jī)視覺分析與模式識(shí)別。E-mail:yxb71520@163.com。