薛 紅,金宇寰
(西安工程大學 理學院,西安710048)
具有違約風險的可轉換債券定價模型
薛 紅,金宇寰
(西安工程大學 理學院,西安710048)
假定股票價格和企業(yè)資產價值均服從雙分數布朗運動驅動的隨機微分方程,建立雙分數布朗運動環(huán)境下金融市場數學模型,利用保險精算方法,得到雙分數布朗運動環(huán)境下具有違約風險的可轉換債券定價公式.
雙分數布朗運動;可轉換債券;違約風險;保險精算
可轉換債券是指發(fā)行人依照法定程序發(fā)行、在一定時間內依據約定的條件可以轉換成股份的公司債券.可轉換債券是普通公司債券和認股權證的組合,兼具債權和股權的雙重屬性.文獻[1]在股票價格、公司資產價值均服從分數布朗運動條件下,利用風險對沖方法建立帶違約風險的可轉換債券定價模型,通過解偏微分方程得到其定價公式;文獻[2]采用分數布朗運動驅動的擴散過程刻畫股票價格和公司資產價值,利用擬-鞅方法建立具有公司違約風險的可轉債定價模型,得出可轉換債券價格.文獻[3]提出雙分數布朗運動是比分數布朗運動更為廣泛的自相似高斯過程,關于雙分數布朗運動的概念、性質、隨機分析基本理論和應用見文獻[3-5]. 本文在股票價格和企業(yè)資產價值均遵循雙分數布朗運動驅動的隨機微分方程,建立了雙分數布朗運動環(huán)境下金融市場數學模型,利用保險精算方法,得到了雙分數布朗運動環(huán)境下具有違約風險的可轉換債券保險精算價格.
|t-s|2HK),s,t≥0
其中H∈(0,1),K∈(0,2).
當K=1時,雙分數布朗運動就退化為分數布朗運動,當K=1,H=1/2時,雙分數布朗運動就退化為標準布朗運動.
假定公司資產價值A(t)和股票價格S(t)分別滿足如下隨機微分方程
假定公司存在違約風險,當公司資產價值A(t)低于某一固定水平D時,公司將發(fā)生違約行為,其中D是常數.
(1)
(2)
引理1 隨機微分方程(1)(2)的解分別為
定義2[6]股票價格{S(t),t≥0}在[0,t]上的期望回報率β(u),u∈[0,t]定義為
引理2 股票價格{S(t),t≥0}在[0,t]上的期望回報率βS(u),u∈[0,t]為
βs(u)=μs,u∈[0,t]
同理,公司資產價值{A(t),t≥0}在[0,t]上的期望回報率βA(u),u∈[0,t]為
βA(u)=μA,u∈[0,t]
證明 由引理1可知
又因為
所以
同理有
定義3[1]假設可轉換債券只在債券到期時刻發(fā)生轉股及違約情形,可轉換債券到期時的現(xiàn)金流量VT為
其中:VT表示可轉換債券到期時刻T的價值,Pb表示純債券價值,C表示事前約定的轉換價格,M表示債券面值,S(T)表示T時刻股票價格[7].
定義4 具有違約風險的可轉換債券在0時刻的保險精算價格定義為
V0=E{Pbexp{-rT}·
其中無風險資產按無風險利率r折現(xiàn),風險資產按其期望收益率β折現(xiàn).
定理1 雙分數布朗運動環(huán)境下具有違約風險的可轉換債券保險精算價格
其中
證明 由引理1及2可得
令
則
ξ~N(0,1),η~N(0,1,ρξ,η)=δ.
由于
則
V0=E{Pbexp{-rT}I{ζ<-d1,η>-d2}+
V1+V2+V3,
其中
V1=E{Pbexp{-rT}I{ζ<-d1,η≥-d2}}=
Pbexp{-rT}P{ζ<-d1,-η≤d2}=
Pbexp{-rT}Φ(-d1,d2,-δ),
令
x1=x+σTHK,y1=y+δσTHK,
則
A(0)Φ(-d2-σATHK).
注: 當K=1時,可得分數布朗運動環(huán)境下具有違約風險的可轉換債券保險精算價格(見文獻[1-2])
其中
其中
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Convertible bond pricing model with default risk
XUE Hong, JIN Yu-huan
(School of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China)
It was assumed that the asset price and enterprise value satisfy stochastic differential equation driven by the bifractional Brownian motion. The mathematical model of financial markets in the bifractional Brownian motion environment was established. Using actuarial method, the pricing formula of the convertible bond with default risk in bifractional Brownian motion environment was obtained.
bifractional Brownian motion; convertible bond; default risk; actuarial method
2014-12-08.
陜西省教育廳自然科學專項基金(12JK0862)
薛 紅(1964-),男,博士,教授,研究方向:隨機分析與金融.
O211
A
1672-0946(2015)06-0748-03