殷國亮，白瑞林，王永佳，李 新

（1.江南大學(xué)輕工過程先進(jìn)控制教育部重點實驗室，江蘇 無錫 214122；2.無錫信捷電氣有限公司，江蘇 無錫 214072）

一種并聯(lián)機(jī)器人的時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法

殷國亮1，白瑞林1，王永佳1，李 新2

（1.江南大學(xué)輕工過程先進(jìn)控制教育部重點實驗室，江蘇 無錫 214122；2.無錫信捷電氣有限公司，江蘇 無錫 214072）

為提高Delta機(jī)器人的動作速度，提出一種時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法。分割機(jī)器人的工作區(qū)域，選擇每個區(qū)域的中心點作為標(biāo)準(zhǔn)點，通過逆運動學(xué)方法將笛卡爾空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到關(guān)節(jié)空間，采用5次B樣條插值構(gòu)造關(guān)節(jié)空間的運動曲線，利用分?jǐn)?shù)階粒子群算法尋找各區(qū)域標(biāo)準(zhǔn)點的B樣條全局最優(yōu)時間節(jié)點，規(guī)劃時間最佳運動曲線。在保證關(guān)節(jié)角速度、角加速度、角加加速度平滑及約束的前提下，提高動作速度。利用模糊推理規(guī)則，在線確定計算點的最優(yōu)時間節(jié)點分布。實驗結(jié)果表明，該方法簡單實用，以實驗室Delta機(jī)器人為例，將工作區(qū)域中的物件抓取到目標(biāo)位置，所用時間范圍為0.543 s～0.735 s，克服了傳統(tǒng)軌跡規(guī)劃方法運行速度較慢的不足。

Delta機(jī)器人；軌跡規(guī)劃；時間最優(yōu)；B樣條；粒子群算法；模糊規(guī)則

1 概述

隨著機(jī)器人技術(shù)發(fā)展日趨成熟，并聯(lián)機(jī)器人由于其高速、輕質(zhì)的特點，在生產(chǎn)線上運用越來越廣泛，特別是在篩檢、裝箱等重復(fù)性勞動的工序中應(yīng)用最為常見。工作效率是當(dāng)前機(jī)器人工業(yè)現(xiàn)場中的重要指標(biāo)之一。為提高機(jī)器人運動速度，時間最優(yōu)的軌跡規(guī)劃方法是機(jī)器人研究領(lǐng)域中的重要方向。

文獻(xiàn)［1-2］分別從電機(jī)加減速方面提出了基于梯形速度曲線和指數(shù)曲線的多約束條件下機(jī)器人關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃方法，但是這些方案只適用于點到點的運動，無法滿足工業(yè)現(xiàn)場運動空間多點路徑控制的需求。當(dāng)機(jī)器人運動過程存在多個控制點時，

為保證機(jī)器人運動的平滑性，一般采用3次或5次多項式插值［3］、3次樣條插值［4］、3次或 4次 B樣條插值［5-6］等方法構(gòu)造軌跡曲線，同時獲取控制點的時間節(jié)點分布和總時間。但是采用多項式插值和低階樣條插值方案不能保證加加速度的連續(xù)，使機(jī)械結(jié)構(gòu)產(chǎn)生震動，而且只能優(yōu)化機(jī)器人各關(guān)節(jié)的軌跡曲線，不能縮短機(jī)器人的運動時間［7］。

為縮短機(jī)器人動作時間，文獻(xiàn)［8］用混合遺傳算法進(jìn)行時間尋優(yōu)，但是搜索缺少并行機(jī)制，搜索效率不高，且采用在線尋優(yōu)具有時間不確定性。文獻(xiàn)［9］運用信賴域方法進(jìn)行時間節(jié)點尋優(yōu)，但是容易陷入局部最優(yōu)解。文獻(xiàn)［10］使用和聲搜索方法，但是這種方法對初始和聲記憶庫依賴性強，有其局限性。文獻(xiàn)［11］運用二次規(guī)劃方法，這種方法對初始值敏感，收斂半徑小，容易陷入局部極值。

本文對Delta并聯(lián)機(jī)器人的關(guān)節(jié)空間進(jìn)行軌跡規(guī)劃，針對并聯(lián)機(jī)器人的快速、輕質(zhì)的特點，提出一種基于Delta并聯(lián)機(jī)器人的時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法。該方法考慮伺服電機(jī)速度、加速度、加加速度的結(jié)構(gòu)限制，在機(jī)器人執(zhí)行器動態(tài)性能可承受范圍內(nèi)，經(jīng)運動過程中的控制點構(gòu)造運動軌跡。

2 時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃問題描述

2.1 實現(xiàn)方案

實時時間最優(yōu)軌跡的實現(xiàn)方案如圖1所示。首先，離線構(gòu)造時間節(jié)點庫。其輸入?yún)?shù)為目標(biāo)笛卡爾空間位置，輸出參數(shù)為Delta機(jī)器人關(guān)節(jié)空間時間節(jié)點坐標(biāo)。在線識別的過程由以下3步構(gòu)成：獲取目標(biāo)位置，得到門形動作序列，計算 B樣條曲線等。其中，門形動作序列包含7個控制點，由目標(biāo)位置確定。由機(jī)器人逆運動學(xué)將其轉(zhuǎn)化為關(guān)節(jié)空間序列，將關(guān)節(jié)空間序列與尋找的時間節(jié)點共同構(gòu)造B樣條函數(shù)，以完成軌跡規(guī)劃。

圖1 時間最優(yōu)軌跡整體流程

2.2 模型描述

針對Delta機(jī)器人工業(yè)現(xiàn)場篩檢與裝箱的動作特點，將機(jī)器人在笛卡爾空間的作業(yè)軌跡離散化，將機(jī)器人末端執(zhí)行器的動作位姿近似為門形動作，采用圓弧直線規(guī)劃。Delta機(jī)器人笛卡爾空間中的7個位姿點作為目標(biāo)點，得到一組笛卡爾空間機(jī)器人相應(yīng)位姿的離散點序列｛Qi|i=0，1，2，…，n｝，如圖2所示，其中，Qi=（χi，yi，zi）為Delta機(jī)器人執(zhí)行器末端相對于機(jī)器人基坐標(biāo)的位姿。

圖2 笛卡爾空間離散點序列

將門形抓取動作拆分為5個部分，Q0-Q1，Q2-Q3，Q3-Q4和Q5-Q6采用直線插值，Q1-Q2和Q4-Q5采用半徑為5 cm的圓弧插值曲線，選取插值曲線的端點作為軌跡控制點，則得到控制點坐標(biāo)如式（1）所示，坐標(biāo)單位為cm。6

通過逆運動學(xué)求解Qi的關(guān)節(jié)點序列｛Pi|i=0，1，…，n｝，其中 Pi=（θ1i，θ2i，θ3i），逆運動學(xué)角度通過式（2）求解：

其中：

其中，ej為機(jī)器人動平臺與靜平臺的外接圓半徑差bi-ai；l1，l2分別為主動臂和從動臂的桿長；β為從動臂旋轉(zhuǎn)角度；wj為單位矢量，有：

機(jī)器人基坐標(biāo)建立在Delta機(jī)器人頂部的中心位置，如圖3中XYZ坐標(biāo)系所示。通過逆運動學(xué)得到關(guān)節(jié)點序列Pi后，利用多項式或者B樣條對序列點進(jìn)行插值，求取關(guān)節(jié)空間的軌跡。

圖3 Delta機(jī)器人單支鏈模型

3 光滑曲線的數(shù)學(xué)模型建立

建立光滑曲線一般采用3種方案保證曲線的光滑性：（1）引入時間能量指標(biāo)，綜合考慮時間能量的相互影響；（2）引入脈動函數(shù)作為限制條件，克服脈動過大；（3）利用樣條曲線作為模型保證曲線平滑性。

前2種方案都引入了新的優(yōu)化參數(shù)變量，在增加優(yōu)化復(fù)雜度的前提下提升曲線優(yōu)化性能，但是不能保證曲線的加加速度的連續(xù)平滑，可能會產(chǎn)生加加速度突變的情況。

相對于多項式插值與樣條函數(shù)插值方案，5次B樣條插值具備速度、加速度和加加速度的連續(xù)性和數(shù)值可設(shè)置性，所以本文選用5次B樣條作為平滑曲線的數(shù)學(xué)模型，在關(guān)節(jié)空間內(nèi)插值。

對于關(guān)節(jié)空間位置-時間節(jié)點序列｛Pi，ti｝，i= 0，1，…，n。其中，Pi為關(guān)節(jié)角度矢量；ti為時間節(jié)點矢量。要使得B樣條軌跡在時間節(jié)點ti處經(jīng)過關(guān)節(jié)位置節(jié)點Pi，需要規(guī)劃B樣條插值軌跡。B樣條曲線方程為：

其中，di（i=0，1，…，n）是 n+1個控制頂點；Ni，k（u）（i=0，1，…，n）為B樣條基函數(shù)。按照Cox-deBoor遞歸公式定義如式（5）所示：其中，k表示B樣條次數(shù)；i表示B樣條序號；ui表示節(jié)點向量；ui為非遞減序列［12］。

根據(jù)曲線的分段連接點與關(guān)節(jié)位置節(jié)點相等，將關(guān)節(jié)位置節(jié)點值分別代入，即可得到 n+1個方程：

對于B樣條曲線上一點處的r階導(dǎo)數(shù)Pr（u）可按式（7）計算：

通過式（7）分別求得起始和終止節(jié)點處的導(dǎo)數(shù)P′0，P′n，P″0，P″n，P?n和 P?n。 從而，求解方程簡化為：

CN是一個11×11的系數(shù)矩陣，與5次B樣條的基函數(shù)相關(guān)。設(shè) CN（i，j）為第 i行第 j列元素，CN（i，j）=Ni+j-3，5（ui+4），i=2，3，…，6，j=i，i+1，…，i+4，其他元素與起始和終止時刻的關(guān)節(jié)速度、加速度相關(guān)。

4 分?jǐn)?shù)階粒子群算法尋優(yōu)

由于5次B樣條函數(shù)的時間節(jié)點可以調(diào)節(jié)，通過對時間節(jié)點的調(diào)整，可以調(diào)節(jié)曲線的整體性能，使其滿足在機(jī)器人系統(tǒng)符合速度、加速度連續(xù)的要求，通過時間節(jié)點的控制，產(chǎn)生不同的樣條曲線。

5次B樣條的時間節(jié)點間隔必須滿足電機(jī)機(jī)械結(jié)構(gòu)的限制，如式（9）所示：

其中，t∈［ti，ti+1］；VCj，ACj，JCj分別表示機(jī)器人本體的限制速度、加速度和加加速度。

在考慮機(jī)器人結(jié)構(gòu)約束的同時，要求總的運動時間最短，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)如式（10）所示：

其中，ti，i=0，1，…，n為電機(jī)轉(zhuǎn)動到Pi的時間。

時間節(jié)點的尋取采用改進(jìn)的粒子群算法。在符合機(jī)械結(jié)構(gòu)限制的前提下，對時間節(jié)點進(jìn)行尋優(yōu)，尋

優(yōu)算法的流程如圖4所示。

圖4 算法總體流程

分?jǐn)?shù)階粒子群算法相對于經(jīng)典的粒子群優(yōu)化算法流程總體相似，區(qū)別在于初始化一群隨機(jī)粒子后，每一次的迭代更新自己的速度和新的位置方式不同。經(jīng)典方法直接與上一次函數(shù)目標(biāo)的位置和速度相關(guān)，最終通過跟蹤粒子本身所找到的最優(yōu)解和整個種群目前找到的最優(yōu)解來確定最佳位置，如式（11）所示：

其中，ω是非負(fù)常數(shù)；c1，c2為學(xué)習(xí)因子；r1，r2為隨機(jī)數(shù)，范圍在0～1之間。通過迭代，最終粒子尋找到全局最優(yōu)解。

而基于分?jǐn)?shù)階的粒子群算法對粒子位置和速度更新方程式重新構(gòu)造，設(shè)時域分?jǐn)?shù)階方程的形式為式（12）：

將包含無限項的式（12）近似為關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)：

其中，T表示離散的采樣周期；r表示最終終止階數(shù)。

由式（13）可知，這是一個無限項的和，r控制終止階數(shù)，取r=4，α=0.5，則上式變?yōu)椋?/p>

則：

通過重新構(gòu)造的更新式（15）替換式（11），與經(jīng)典粒子群算法相比，利用分?jǐn)?shù)階微分算子，可以記憶多步速度以提高粒子的收斂速度和全局搜索能力。

5 基于模糊分類的區(qū)域選擇

在通過研究分?jǐn)?shù)階粒子群尋優(yōu)的5次B樣條軌跡規(guī)劃方法后，可以得到工作空間中一點的最佳時間節(jié)點和軌跡。但是，在Delta機(jī)器人工作現(xiàn)場，由于其高速性特點，必須快速規(guī)劃動作軌跡，在線的智能算法尋優(yōu)無法滿足其實時性需求。所以將離線尋優(yōu)與在線模糊規(guī)則選擇相結(jié)合，克服單純在線尋優(yōu)的缺點。文中采用雙輸入-單輸出模糊推理規(guī)則，輸入為智能相機(jī)獲得的傳送帶物件中心位置的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，輸出為最優(yōu)時間節(jié)點分布。

以Delta機(jī)器人坐標(biāo)系原點為中心，將機(jī)器人在傳送帶上的工作區(qū)域進(jìn)行模糊劃分。Delta機(jī)器人在傳送帶平面的工作區(qū)域為40 cm×60 cm。在χ方向上，將40 cm的工作區(qū)域模糊集定義為9個子集，在y方向上，將60 cm的工作區(qū)域模糊集定義為13個子集。將這些χ與y方向上隸屬度都為1的點作為標(biāo)準(zhǔn)點，利用上文的粒子群算法計算最佳時間節(jié)點，其隸屬函數(shù)如圖5、圖6所示，隸屬范圍都為0～1。

圖5 X隸屬函數(shù)

圖6 Y隸屬函數(shù)

當(dāng)智能相機(jī)在線識別到物件坐標(biāo)位置時，通過其X和Y的隸屬度以及周邊4個離線計算的時間分布標(biāo)準(zhǔn)點重新計算當(dāng)前的時間分布節(jié)點。為了便于計算，論域采用等腰三角形隸屬函數(shù)，保證了在工作區(qū)域的每個坐標(biāo)位置其所屬隸屬度函數(shù)的和為 1。具體計算方式為：

對于工作區(qū)域中識別出的目標(biāo)位置（χ，y），將χ坐標(biāo)輸入X隸屬度函數(shù)中，隸屬度越接近于1，表示χ屬于Ni的程度越高，越接近于0表示χ屬于Ni的程度越低，最終得到2個隸屬度值 fχ1（χ），fχ2（χ），同理，將y坐標(biāo)輸入Y隸屬度函數(shù)表中，得到2個隸屬度值fy1（y），fy2（y），其中，時間節(jié)點T的計算方式可以表示為式（16）：

其中，a1，a2，a3，a4為比例系數(shù)，這里設(shè)置為1。

例如：如圖7所示，拍攝到某物體的中心位置為（6.5，17.25），則計算隸屬度fχP1（χ）=0.7，fχP2（χ）=

從式（17）可以看出，對于機(jī)器人工作區(qū)域中的任意一點，都可以用周邊已經(jīng)離線計算出的4個標(biāo)準(zhǔn)點表示，且每一項的加權(quán)系數(shù)與周邊4個點的距離遠(yuǎn)近相關(guān)，4項系數(shù)和為1，所以能夠直觀有效地表示目標(biāo)點與周邊標(biāo)準(zhǔn)點的關(guān)系。

圖7 目標(biāo)點時間節(jié)點計算

6 實驗與結(jié)果分析

為驗證本文提出的基于分?jǐn)?shù)階粒子群的5次B樣條軌跡優(yōu)化方案，以Delta機(jī)器人模型為平臺，對傳送帶的抓取運動進(jìn)行逆運動學(xué)分解，對3個運動軸進(jìn)行軌跡規(guī)劃。

Delta機(jī)器人的工作區(qū)域為一個40 cm×60 cm的矩形區(qū)域，將其劃分為9×13個子區(qū)域，通過構(gòu)造的7個對應(yīng)的軌跡控制點，已知坐標(biāo)為（χ，y，z），終點設(shè)置坐標(biāo)為（χ′，y′，z′）。

實驗采用的識別位置點為（3.10，2.50，-80.00），單位為cm，首先確定三維控制點序列Q0～Q6為：（3.10，2.50，-80.00），（3.10，2.50，-65.00），（-1.44，4.59，-60.00），（-19.05，8.75，-60.00），（-30.46，17.91，-60.00），（-35.00，20.00，-65.00），（-35.00，20.00，-80.00），如圖2所示。

隨后求取關(guān)節(jié)坐標(biāo)，由Delta機(jī)器人的靜平臺參數(shù)為200 mm，動平臺參數(shù)為50 mm，主動軸長度為360 mm，從動軸長度為810 mm。經(jīng)過Delta機(jī)器人的逆運算，可以求得關(guān)節(jié)空間的控制點坐標(biāo)如表1所示。

表1 Delta各關(guān)節(jié)控制點角度 （°）

其次，由圖 5和圖 6可確定隸屬度函數(shù)為fχz0（χ）=0.38，fχP1（χ）=0.62，fyz0（y）=0.5，fyP1（y）=0.5。由粒子群算法尋優(yōu)得到4個周邊標(biāo)準(zhǔn)位置 Dz0P1，Dz0z0，DP1P1，DP1z0的時間節(jié)點間隔。標(biāo)準(zhǔn)點未知的時間間隔由離線計算得到，實驗構(gòu)建的Delta機(jī)器人采用無錫信捷電氣股份有限公司的MS80ST-20P7伺服電機(jī)作為動力機(jī)構(gòu)，電機(jī)的額定轉(zhuǎn)速為3 000 r/m in，額定轉(zhuǎn)矩為2.37 N。為保證時間最短并且Delta機(jī)器人動力機(jī)構(gòu)運作正常，設(shè)置式（9）的參數(shù)VCj=720°/s，ACj=5 000°/s2，JCj= 80 000°/s3。由時間間隔參數(shù)［Δt11Δt12… Δt16］T，［Δt21Δt22… Δt26］T，［Δt31Δt32… Δt36］T和［Δt41Δt42… Δt46］T，則通過式（16）確定其時間序列為［0.178 0.043 0.010 0.060 0.040 0.149］，單位為s。則得到Delta機(jī)器人3個軸的速度、加速度和加加速度曲線如圖8～圖11所示。從圖8～圖11可以看出，整個系統(tǒng)完成一次動作的時間為571 ms。同時，文中對所有117個控制點做了測試，動作時間范圍在0.543 s～0.735 s，滿足工業(yè)現(xiàn)場對Delta機(jī)器人快速動作的需求。

圖8 Delta機(jī)器人各軸位置曲線

圖9 Delta機(jī)器人各軸速度曲線

圖10 Delta機(jī)器人各軸加速度曲線

圖11 Delta機(jī)器人各軸加加速度曲線

6 結(jié)束語

針對并聯(lián)Delta機(jī)器人的軌跡規(guī)劃問題，本文提出一種時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法，通過傳送帶抓取物件。本文所提出的針對并聯(lián)Delta機(jī)器人的軌跡規(guī)劃方案，構(gòu)建傳送帶抓取物件的方法。采用 5次B樣條插值控制點，在滿足電機(jī)機(jī)械結(jié)構(gòu)限制的條件下通過分?jǐn)?shù)階的粒子群算法對B樣條的時間節(jié)點進(jìn)行尋優(yōu)，以運動時間最短為目標(biāo)，搜尋最佳的運動軌跡方案。同時在Delta機(jī)器人工作區(qū)域中，通過模糊規(guī)則快速選擇既定的軌跡規(guī)劃方案，無需在線尋優(yōu)，可以提高機(jī)器人運動速度，適合高速輕載機(jī)器人的特點。實驗結(jié)果表明，在保證電機(jī)機(jī)構(gòu)不損傷的前提下，機(jī)器人運動速度滿足工業(yè)現(xiàn)場快速性的需求，可提升機(jī)器人控制系統(tǒng)的實時性。

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編輯 顧逸斐

A Method of Parallel Robot Time Optimal Trajectory Planning

YIN Guoliang1，BAI Ruilin1，WANG Yongjia1，LI Xin2
（1.Key Laboratory of Advanced Control for Light Industry Process，Ministry of Education，Jiangnan University，Wuxi214122，China；2.Wuxi Xinje Electronic Co.，Ltd.，Wuxi214072，China）

A method of time-optimal trajectory planning is proposed in order to improve the Delta robot movement speed.Dividing the robot working area，it selects the center point of each area as a standard，and converts them into the joint space through the inverse kinematics.It uses 5 th order B-spline interpolation to constructed joint space curve. Fractional particle swarm optimal method is used to optimize the global optimum point and plan time optimal motion curve.Under the premise of the joint angular velocity，angular acceleration，angular jerk smooth and constraints，the operating speed is improved.The fuzzy controller is used to divide the distribution of time node.Experimental results show that the method is simple and practical.Delta robot in laboratory picks up object from the work area to the target position，the time range is 0.543 s～0.735 s.So the method overcomes the shortcomings of traditional trajectory planning method speeds.

Delta robot；trajectory planning；time optimal；B-spline；particle swarm algorithm；fuzzy rule

殷國亮，白瑞林，王永佳，等.一種并聯(lián)機(jī)器人的時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法［J］.計算機(jī)工程，2015，41（10）：192-198.

英文引用格式：Yin Guoliang，Bai Ruilin，Wang Yongjia，et al.A Method of Parallel Robot Time Optimal Trajectory Planning［J］.Computer Engineering，2015，41（10）：192-198.

1000-3428（2015）10-0192-07

A

TP18

10.3969/j.issn.1000-3428.2015.10.036

江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程基金資助項目（PAPD）；江蘇省產(chǎn)學(xué)研前瞻性聯(lián)合研究基金資助項目（BY 2012056）。

殷國亮（1989-），男，碩士研究生，主研方向：人工智能；白瑞林，教授、博士生導(dǎo)師；王永佳，碩士研究生；李 新，高級工程師。

2014-07-09

2014-10-11E-mail：yinguoliang@126.com