伍大清，邵 明，李 悛，李 康

（1.南華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖南 衡陽(yáng)421001；2.東華大學(xué)旭日工商管理學(xué)院，上海200051；3.教育部計(jì)算智能與信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥 230039；4.上海工程技術(shù)大學(xué)管理學(xué)院，上海 200051）

基于獎(jiǎng)懲機(jī)制的協(xié)同多目標(biāo)優(yōu)化算法

伍大清1，2，3，邵 明4，李 悛1，李 康2

（1.南華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖南 衡陽(yáng)421001；2.東華大學(xué)旭日工商管理學(xué)院，上海200051；3.教育部計(jì)算智能與信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥 230039；4.上海工程技術(shù)大學(xué)管理學(xué)院，上海 200051）

為提高已有多目標(biāo)優(yōu)化算法在求解高維復(fù)雜多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題上的解集分布性和收斂性，提出一種新的多目標(biāo)微粒群優(yōu)化算法。該算法基于多目標(biāo)協(xié)同框架，將多種群獎(jiǎng)懲機(jī)制進(jìn)化算法用于求解分解后的若干單目標(biāo)優(yōu)化子問(wèn)題，采用動(dòng)態(tài)環(huán)形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)一種新型精英學(xué)習(xí)策略，獲得逼近Pareto前沿的最優(yōu)解集。通過(guò)典型的多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行測(cè)試驗(yàn)證，結(jié)果表明，與現(xiàn)有多目標(biāo)優(yōu)化算法相比，該算法不僅具有較好的收斂性能，而且解集分布性更均勻、覆蓋范圍更廣。

多目標(biāo)優(yōu)化算法；協(xié)同；精英學(xué)習(xí)策略；拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)；獎(jiǎng)懲機(jī)制

DO I：10.3969/j.issn.1000-3428.2015.10.035

1 概述

在科學(xué)研究和工程設(shè)計(jì)中許多優(yōu)化問(wèn)題涉及多個(gè)目標(biāo)同時(shí)優(yōu)化，而且這些目標(biāo)之間彼此沖突、相互制約，通常把這類(lèi)型問(wèn)題稱(chēng)為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題（Multiobjective Optimization Problem，MOP），多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題一般情況下幾乎找不到使得多個(gè)目標(biāo)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)的解，通常采用帕累托最優(yōu)解集平衡多個(gè)相互沖突

的目標(biāo)。近年來(lái)，進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化前沿領(lǐng)域涌現(xiàn)出了不少新的求解思路和算法框架，如粒子群優(yōu)化、人工免疫系統(tǒng)、分布估計(jì)算法、協(xié)同進(jìn)化算法、基于偏好的算法、文化進(jìn)化算法和基于分解的算法等，越來(lái)越多地被引入到進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域［1］，目的在于在多目標(biāo)空間前端上找到一組分布具有盡可能好的逼近性、寬廣性和均勻性帕累托解集。

目前，求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的方法很多［2］。文獻(xiàn)［3］提出的基于最小生成樹(shù)的多目標(biāo)進(jìn)化算法；Eber-hart引入擴(kuò)展內(nèi)存存儲(chǔ)Pareto最優(yōu)解［4］，并將其作為群體的領(lǐng)導(dǎo)粒子，通過(guò)個(gè)體經(jīng)驗(yàn)和群體經(jīng)驗(yàn)單向共享信息引導(dǎo)粒子向最優(yōu)值進(jìn)化；文獻(xiàn)［5］為了保持Pareto解集的分布性，采用了基于支配關(guān)系及適應(yīng)度共享的策略；許多多目標(biāo)進(jìn)化算法都是把多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)整體來(lái)對(duì)待，而文獻(xiàn)［6］構(gòu)造了基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法（MOEA/D）框架，在多目標(biāo)進(jìn)化算法中引入數(shù)學(xué)規(guī)劃中較為成熟的分解策略［2］，算法將逼近整個(gè)帕累托前沿面的問(wèn)題分解為一定數(shù)量的單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，然后利用進(jìn)化算法同時(shí)求解這些問(wèn)題。文獻(xiàn)［7］提出基于分解的均勻設(shè)計(jì)的多目標(biāo)差分算法，文獻(xiàn)［8］提出進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化的混合框架等，結(jié)果表明，基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法是一種有效方法［9］，為求解進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題提供了一種新思路［2］。

本文基于合作協(xié)同的多目標(biāo)進(jìn)化算法框架，將基于獎(jiǎng)懲機(jī)制以及精英學(xué)習(xí)策略的進(jìn)化算法用于求解分解后的若干單目標(biāo)優(yōu)化子問(wèn)題，提出一種基于獎(jiǎng)懲機(jī)制的協(xié)同微粒群多目標(biāo)優(yōu)化算法（CCMPSO）。在該算法中，種群被劃分成多個(gè)子種群分別優(yōu)化不同的子問(wèn)題，每個(gè)子種群采用環(huán)形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，每隔一定周期內(nèi)動(dòng)態(tài)地重組，以提高種群多樣性。同時(shí)提出基于獎(jiǎng)懲機(jī)制的微粒群優(yōu)化算法速度更新方式，并設(shè)計(jì)了一種新型精英學(xué)習(xí)策略，以避免外部存檔集陷入局部最優(yōu)。

2 協(xié)同多目標(biāo)優(yōu)化算法

2.1 基本原理

基本單目標(biāo)PSO算法中［10］的粒子僅通過(guò)跟蹤個(gè)體最優(yōu)和群體最優(yōu)進(jìn)行學(xué)習(xí)，顯然，這是一個(gè)理想社會(huì)條件，而且在搜索的過(guò)程中很難平衡勘測(cè)與開(kāi)發(fā)這對(duì)矛盾。而實(shí)際上除了個(gè)體最優(yōu)與群體最優(yōu)，粒子在運(yùn)行過(guò)程中所處的鄰域環(huán)境對(duì)它的影響非常大，如果對(duì)自身起推動(dòng)（pull）作用的環(huán)境粒子進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，對(duì)自身起阻礙（push）作用的環(huán)境粒子進(jìn)行懲罰，將有助于粒子在多目標(biāo)空間前端上快速找到一組分布具有盡可能好的逼近性、寬廣性和均勻性帕累托解集。

因此，CCMPSO算法中引進(jìn)局部鄰居粒子N max，在每個(gè)小種群中，所有粒子的個(gè)體最優(yōu)粒子所對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值排序，最大的適應(yīng)度粒子將被選作N max，N max（t）=argmax｛f（Pbest1），f（Pbest2），…，f（Pbestn）｝。引入獎(jiǎng)懲因子r2，判斷每一代生成的新個(gè)體是否對(duì)Pareto解集做貢獻(xiàn)，如果產(chǎn)生的新個(gè)體能支配外部存檔集中的非支配解，則產(chǎn)生r2＞0的獎(jiǎng)勵(lì)因子，加快粒子的飛行速度，提高粒子勘測(cè)區(qū)域深度的能力；如果產(chǎn)生的新個(gè)體未能支配外部存檔集中的非支配解，則產(chǎn)生r2＜0懲罰因子，將減緩粒子的飛行速度，提高粒子開(kāi)發(fā)區(qū)域廣度的能力，如圖1所示。

圖1 CCMPSO粒子運(yùn)行過(guò)程自適應(yīng)獎(jiǎng)/懲學(xué)習(xí)過(guò)程

2.2 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

CCMPSO中的子種群采用環(huán)形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，為了粒子向周?chē)h(huán)境中的不同的粒子學(xué)習(xí)，充分保持種群的多樣性，每隔一定周期，子種群的結(jié)構(gòu)進(jìn)行重組，每個(gè)粒子所在的鄰域粒子發(fā)生改變。CCMPSO動(dòng)態(tài)種群結(jié)構(gòu)如圖2所示，具體過(guò)程在文獻(xiàn)［11］中有詳細(xì)的介紹。

圖2 CCMPSO動(dòng)態(tài)種群結(jié)構(gòu)

2.3 粒子更新

粒子通過(guò)在搜索空間中以一定的速度飛行，粒子的飛行速度基于個(gè)體的飛行經(jīng)驗(yàn)和群體的飛行經(jīng)驗(yàn)以及環(huán)境的飛行經(jīng)驗(yàn)動(dòng)態(tài)調(diào)整，在D維的搜索空間，n個(gè)粒子通過(guò)競(jìng)爭(zhēng)與協(xié)作來(lái)尋找問(wèn)題的最優(yōu)解。優(yōu)化問(wèn)題的過(guò)程可看做粒子不斷更新的過(guò)程，粒子的速度和位移更新模型如下：

其中：i=1，2，…，n；d=1，2，…，D；r1，r2以及r3是學(xué)習(xí)因子，是服從U（0，1）分布的隨機(jī)數(shù)，r1+r2+r3= 1；w是慣性系數(shù)；t表示迭代次數(shù)，χi（t）是第 t次迭代第i個(gè)粒子對(duì)應(yīng)的位置向量；νi（t）是第t次迭代第i個(gè)粒子對(duì)應(yīng)的速度向量；Pbesti是粒子個(gè)體最優(yōu)；Achiνe是外部共享Pareto解集合，以及Nmax對(duì)鄰域環(huán)境影響的獎(jiǎng)懲粒子。參照文獻(xiàn)［10］對(duì)粒子位置和速度越界進(jìn)行處理。

顯然，粒子速度位移更新模型受到4個(gè)部分之間的相互平衡和制約：（1）代表粒子有保持本身原來(lái)速度的趨勢(shì)；（2）代表粒子有向本身歷史最佳位置逼近的趨勢(shì)；（3）反映了粒子受到周?chē)h(huán)境鄰域粒子的影響；（4）代表粒子間協(xié)同合作與知識(shí)共享的群體歷史經(jīng)驗(yàn)，有向群體歷史最佳位置逼近的趨勢(shì)。

2.4 精英學(xué)習(xí)策略

為了防止外部存檔庫(kù)中的粒子陷入局部最優(yōu)，CCMPSO在外部存檔中增加了一個(gè)精英學(xué)習(xí)策略，以增強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)的能力，該策略通過(guò)外部擾動(dòng)機(jī)制來(lái)改善搜索未知區(qū)域的能力，通過(guò)內(nèi)部擾動(dòng)機(jī)制來(lái)增強(qiáng)已知搜索區(qū)域的搜索深度，引入該策略，減緩了粒子收斂速度，能夠?yàn)橥獠看鏅n庫(kù)中粒子提供有效信息找到更多的非劣解，獲得種群多樣性，如式（3）、式（4）所示：

其中，X1，X2為已知搜索區(qū)域外部存儲(chǔ)庫(kù)中的自由向量；未知搜索區(qū)域的Y1，Y22個(gè)新的搜索向量可由公式獲得；c1，c2是0～1之間的隨機(jī)數(shù)。外部存檔集所有種群共享一個(gè)外部存檔集，用來(lái)存儲(chǔ)每次迭代產(chǎn)生的非劣解。如果檔案集合中的非劣解數(shù)目超過(guò)其最大容量時(shí)，則需要在檔案中篩選具有代表性的個(gè)體保留下來(lái)，將利用擁擠距離算法［12］來(lái)保持解群分布的均勻性，對(duì)產(chǎn)生新的非支配解進(jìn)行擇優(yōu)處理。

2.5 共享外部存檔集更新

CCMPSO中所有子種群共享一個(gè)外部存檔集Achiνe，用來(lái)存儲(chǔ)每次迭代產(chǎn)生的非劣解。在每次迭代之后進(jìn)行更新，每個(gè)粒子全局最優(yōu)位置視為非劣解的候選方案被存儲(chǔ)在外部存檔中，在不同的前沿面保存最終的解群即是算法求解的結(jié)果。通常外部存檔集一般與種群的規(guī)模一致，如果數(shù)目超過(guò)設(shè)定的閾值時(shí)，則需要利用文獻(xiàn)［13］中的擁擠距離算子將具有代表性的個(gè)體保留下來(lái)，從而保持解群分布的均勻性，偽代碼如下所示：

2.6 算法描述

CCMPSO基于多目標(biāo)技術(shù)，根據(jù)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題個(gè)數(shù)將種群劃分成多個(gè)子種群，利用基于獎(jiǎng)懲機(jī)制的微粒群優(yōu)化算法分別對(duì)各個(gè)子問(wèn)題進(jìn)行尋優(yōu)處理，使用新型精英學(xué)習(xí)策略對(duì)外部存檔進(jìn)行更新，每個(gè)子種群在一定的學(xué)習(xí)周期內(nèi)重組種群結(jié)構(gòu)，通過(guò)共享的外部存檔，相互協(xié)同合作尋找到分布盡可能好的逼近性、寬廣性和均勻性Pareto最優(yōu)解集合。CCMPSO算法流程如下：

Step1 初始化種群。隨機(jī)初始化粒子數(shù)為N的群體以及對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度，針對(duì)多目標(biāo)問(wèn)題的目標(biāo)個(gè)

數(shù)N，將種群劃分成N個(gè)子種群，各個(gè)粒子所對(duì)應(yīng)的速度，算法終止條件為最大迭代次數(shù)T，初始化粒子的個(gè)體最優(yōu)位置Pbest，外部存檔集Achiνe以及局部鄰居粒子N max，外部存檔集初始化空集。

Step2 對(duì)種群中所有的粒子采用式（1）、式（2）更新粒子的速度和位置；并對(duì)粒子越界速度、位移進(jìn)行處理。

Step3 計(jì)算新粒子的各個(gè)目標(biāo)適應(yīng)度值，判斷是否能支配外部存檔中的非支配解，若是則產(chǎn)生獎(jiǎng)勵(lì)因子；否則產(chǎn)生懲罰因子。分別更新 Pbest以及N max。

Step4 執(zhí)行精英學(xué)習(xí)策略。

Step5 利用2.5節(jié)更新外部存檔集，判斷外部存檔大小是否超過(guò)種群規(guī)模，若是，則使用擁擠距離更新外部存檔。

Step6 迭代計(jì)數(shù)器累增1，是否能整除拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)重組周期 G，如果是，則執(zhí)行 Step7；否則執(zhí)行Step8。

Step7 對(duì)所有粒子的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行重組，轉(zhuǎn)Step2。

Step8 迭代次數(shù)累增1，判斷是否滿(mǎn)足算法終止條件。若滿(mǎn)足，則執(zhí)行Step6；否則轉(zhuǎn)Step2。

Step9 輸出Pareto最優(yōu)前沿面，算法結(jié)束。

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3 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 測(cè)試函數(shù)

本文的實(shí)驗(yàn)部分通過(guò)5個(gè)不同類(lèi)型的經(jīng)典測(cè)試問(wèn)題［14］來(lái)驗(yàn)證CCMPSO算法的有效性，表1列出了測(cè)試函數(shù)的表達(dá)式。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與 CMPSO［15］，MOCLPSO［16］進(jìn)行了比較。所有算法在每個(gè)測(cè)試函數(shù)上的初始種群大小NP均設(shè)置為100，算法終止條件均為迭代次數(shù)T=1 000，CCMPSO中慣性系數(shù)ω=0.729，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)重組周期G=8，其他算法中的控制參數(shù)設(shè)置同相應(yīng)原文獻(xiàn)。

表1 測(cè)試函數(shù)

在實(shí)驗(yàn)中，算法性能對(duì)比采用通用的2個(gè)性能評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：

（1）收斂性γ。γ測(cè)量算法最終獲得的非支配解集Q與理論P(yáng)areto最優(yōu)解的近似解集P*的逼近程度：

其中，di為目標(biāo)空間中Q的個(gè)體i與其相鄰個(gè)體間

其中，di為Q中的個(gè)體i與P*中距離最近個(gè)體在目標(biāo)空間中的歐氏距離；γ的值越小說(shuō)明算法獲得的非支配解Q越接近真實(shí)的Pareto前沿，算法收斂性越好［17］。

3.2 參數(shù)敏感性分析

參數(shù)敏感性分析過(guò)程如下：

（1）獎(jiǎng)懲機(jī)制特性分析

為了檢驗(yàn)獎(jiǎng)懲機(jī)制對(duì)粒子尋優(yōu)的作用，以ZDT3函數(shù)為例，分別對(duì)粒子速度更新公式中是否包含

第3項(xiàng)環(huán)境影響部分進(jìn)行了測(cè)試。

圖3為1 000次迭代過(guò)程中1個(gè)粒子有無(wú)受到獎(jiǎng)懲粒子影響的進(jìn)化情況，圖3（b）展示了CCMPSO算法中的粒子在進(jìn)化過(guò)程中有明顯被初始化的痕跡，是因?yàn)樗惴ǖ亩鄻有员３謾C(jī)制在一定情況下被激活所造成。從粒子進(jìn)化圖看，CCMPSO算法包含獎(jiǎng)懲機(jī)制的速度更新模型，粒子更具有多樣性，不易陷入局部極值。

圖3 1 000次迭代過(guò)程中1個(gè)粒子進(jìn)化的情況

（2）子種群拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)重組周期G

CCMPSO所涉及的參數(shù)子種群拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)重組周期G，以FON、ZDT3為例，結(jié)果如表2所示，間隔周期過(guò)小，會(huì)對(duì)粒子飛行造成擾動(dòng)，所得到的支配解收斂性不足；間隔周期過(guò)大，種群多樣性缺失容易陷入局部最優(yōu)解；因此G取值為8。表3給出3種算法獨(dú)立運(yùn)行30次，每次迭代1 000次，在不同測(cè)試函數(shù)上的收斂性、多樣性度量平均值和方差，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，CCMPSO具有較強(qiáng)的魯棒性。圖4中給出在3個(gè)測(cè)試函數(shù)上的Pareto前沿面，仿真結(jié)果表明，結(jié)合精英學(xué)習(xí)策略以及動(dòng)態(tài)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)重組策略，基于獎(jiǎng)懲機(jī)制協(xié)同框架下的微粒群多目標(biāo)優(yōu)化算法CCMPSO，在解群分布的均勻性和寬廣性方面明顯優(yōu)于其他算法。

表2 不同重組周期下FON、ZDT3函數(shù)多樣性、收斂性度量結(jié)果

表3 3種算法分別求得5個(gè)測(cè)試函數(shù)評(píng)價(jià)指標(biāo)比較

圖4 測(cè)試函數(shù)SCH，ZDT3，ZDT6最優(yōu)Pareto前沿面

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)現(xiàn)有多目標(biāo)進(jìn)化算法在求解高維復(fù)雜多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)求解精度較差、解集分布不均勻等問(wèn)題，本文提出一種基于合作協(xié)同的多目標(biāo)進(jìn)化算法CCMPSO。該算法引進(jìn)獎(jiǎng)懲機(jī)制對(duì)微粒群多目標(biāo)進(jìn)化算法進(jìn)行綜合改進(jìn)，采用動(dòng)態(tài)環(huán)形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)以及精英學(xué)習(xí)策略，有效提升了CCMPSO的收斂性和解集分布性。通過(guò)對(duì)5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明，該算法與現(xiàn)有多種多目標(biāo)算法相比，不僅具有較好的收斂性能，而且解集分布性也更均勻，覆蓋范圍更廣。

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編輯 索書(shū)志

Cooperative Multi-objective Optimization Algorithm Based on Reward and Punishment Mechanism

WU Daqing1，2，3，SHAO Ming4，LI Quan1，LI Kang2
（1.School of Computer Science and Technology，University of South China，Hengyang 421001，China；2.Glorious Sun School of Business and Management，Donghua University，Shanghai200051，China；3.Key Laboratory of Intelligent Computing&Signal Processing，Ministry of Education，Hefei230039，China；4.School of Management，Shanghai University of Engineering Science，Shanghai200051，China）

To improve the convergence and distribution of Multi-objective Evolutionary Algorithm（MOEA）in dealing with large-dimensional Multi-objective Optimization Problem（MOP），a multi-objective particle swarm optimization algorithm based on human disciplinary behavior is proposed.The strategies such as promoting/punishment factor，the elite learning strategy as well as restructuring topology structure strategy with dynamic population in period are introduced in proposed algorithm，to make the algorithm have strong global search ability and good robust performance.Some typical multi-objective optimization functions are tested to verify the algorithm，and simulation results show that，compared with recent other algorithms，the algorithm can ensure good convergence while having uniform distribution and wild coverage area.

multi-objective optimization algorithm；cooperative；elite learning strategy；topology structure；reward and punishment mechanism

伍大清，邵 明，李 悛，等.基于獎(jiǎng)懲機(jī)制的協(xié)同多目標(biāo)優(yōu)化算法［J］.計(jì)算機(jī)工程，2015，41（10）：186-191，198.

英文引用格式：Wu Daqing，Shao Ming，Li Quan，et al.Cooperative Multi-objective Optimization Algorithm Based on Reward and Punishment Mechanism［J］.Computer Engineering，2015，41（10）：186-191，198.

1000-3428（2015）10-0186-06

A

TP301

湖南省教育廳基金資助項(xiàng)目“基于協(xié)同演化計(jì)算的不確定信息車(chē)輛路徑問(wèn)題研究”（13C818）；湖南省衡陽(yáng)市科技局科技計(jì)劃基金資助項(xiàng)目“自學(xué)習(xí)演化計(jì)算在智能交通控制中的應(yīng)用研究”（2013KG63）；教育部人工智能重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金資助項(xiàng)目“基于冷鏈云配送模式的車(chē)輛路徑優(yōu)化模型及協(xié)同控制研究”。

伍大清（1982-），女，講師、博士，主研方向：多目標(biāo)智能決策，智能計(jì)算；邵 明，副教授、博士；李 悛、李 康，講師、博士。

2014-08-11

2014-11-26E-mail：dqw-1982@126.com