刁 鳴，高 璐，高洪元，馮平輝

（1.哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，哈爾濱 150001；2.國(guó)家電網(wǎng)浙江省電力公司，杭州 310000）

基于非均勻線陣的壓縮感知波達(dá)方向估計(jì)

刁 鳴1，高 璐1，高洪元1，馮平輝2

（1.哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，哈爾濱 150001；2.國(guó)家電網(wǎng)浙江省電力公司，杭州 310000）

為提高壓縮感知波達(dá)方向估計(jì)的陣列利用率，提出一種基于非均勻線陣的正交匹配追蹤（OMP）算法。根據(jù)來(lái)波方向的大致范圍，分別利用等角度方式和等正弦方式將空間角度劃分成若干份，使用非均勻線陣作為信號(hào)的接收陣列，并將經(jīng)過(guò)角度劃分的非均勻線陣陣列流形陣作為觀測(cè)矩陣，采用觀測(cè)矩陣對(duì)信號(hào)進(jìn)行投影測(cè)量得到維數(shù)較低的觀測(cè)值，從觀測(cè)值中重構(gòu)原信號(hào)，進(jìn)而得到待估計(jì)信源的方位信息。仿真結(jié)果表明，與多重信號(hào)分類(lèi)（MUSIC）算法相比，該算法所需快拍數(shù)小、抗噪能力強(qiáng)、陣列利用率高，與均勻線陣條件下的OMP算法和基于空間平滑的MUSIC算法相比，具有更高的測(cè)角分辨力和更強(qiáng)的解相干能力。

非均勻線陣；正交匹配追蹤；壓縮感知；波達(dá)方向估計(jì)；陣列利用率；測(cè)角分辨力

DO I：10.3969/j.issn.1000-3428.2015.10.016

1 概述

波達(dá)方向（Direction of Arrival，DOA）估計(jì)作為陣列信號(hào)處理的重要分支，正處于如日中天的發(fā)展之中。最早基于陣列的DOA估計(jì)算法為常規(guī)波束形成（Conventional Beam forming，CBF）法［1］，這種算

法的方位估計(jì)精度較低，無(wú)法分辨一個(gè)波束寬度內(nèi)不同的空間信號(hào)。以多重信號(hào)分類(lèi)（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法［2］為代表的子空間分解類(lèi)算法利用陣列接收數(shù)據(jù)的信號(hào)子空間與噪聲子空間相互正交的特點(diǎn)構(gòu)造空間譜函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了超分辨DOA估計(jì)。然而這類(lèi)算法需要借助空間平滑（Spatial Smoothing，SS）［3］等算法才能實(shí)現(xiàn)相干信源的DOA估計(jì)，這種解相干算法嚴(yán)重地?fù)p失了陣列孔徑，極大地降低了算法的估計(jì)精度，且需要較長(zhǎng)時(shí)間的持續(xù)采樣，即所需快拍數(shù)較大。以極大似然（Maximum Likelihood，ML）算法［4］為代表的子空間擬合類(lèi)算法能夠直接對(duì)相干信源進(jìn)行DOA估計(jì)，且不會(huì)損失陣列孔徑，然而這類(lèi)算法的本質(zhì)是尋找非線性函數(shù)最優(yōu)解的過(guò)程，需要進(jìn)行多維搜索，運(yùn)算量巨大、耗時(shí)長(zhǎng)。

上述傳統(tǒng)DOA估計(jì)算法大多是在均勻線陣的條件下研究的，要想擴(kuò)展陣列孔徑，提高算法的空間測(cè)角分辨力，只能增加陣元數(shù)，這會(huì)造成工程成本急劇增大。非均勻線陣（Non-uniform Linear Array，NLA）能夠在不增加陣元數(shù)的條件下充分地?cái)U(kuò)展陣列孔徑，然而非均勻線陣會(huì)導(dǎo)致上述解相干算法失效。

近幾年出現(xiàn)的壓縮感知［5-7］（Compressing Sensing，CS）理論提出了一種新穎的信號(hào)采樣思想。該理論指出對(duì)于某個(gè)變換域內(nèi)的稀疏信號(hào)均可用低于Nyquist采樣頻率對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣，并利用重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)信號(hào)的精確重構(gòu)［8-10］。實(shí)際上，在 DOA估計(jì)的整個(gè)觀測(cè)空間中僅存在少量感興趣信號(hào)，即目標(biāo)在空間上是稀疏分布的，因此，可將壓縮感知理論應(yīng)用于DOA估計(jì)中。

壓縮感知DOA估計(jì)算法大致可以分為3類(lèi)：以基追蹤算法為代表的凸優(yōu)化算法，以鏈?zhǔn)阶粉櫵惴榇淼慕M合優(yōu)化算法以及以正交匹配追蹤算法為代表的貪婪算法。這3類(lèi)算法各有優(yōu)缺點(diǎn)：凸優(yōu)化算法具有較高的重構(gòu)精度，但是計(jì)算量巨大且容易出現(xiàn)能量從低尺度到高尺度的搬移現(xiàn)象。組合優(yōu)化算法能夠更加快速便捷地重構(gòu)信號(hào)，但是其重構(gòu)精度較低。而以正交匹配追蹤算法為代表的貪婪算法［11-12］利用冗余字典中若干元素的線性組合表示信號(hào)，通過(guò)迭代找到與信號(hào)最匹配的元素來(lái)逼近信號(hào)，逐漸降低估計(jì)信號(hào)和原始信號(hào)的殘差，從而實(shí)現(xiàn)信號(hào)的精確重構(gòu)。正交匹配追蹤算法兼顧了估計(jì)精度和運(yùn)算速度，應(yīng)用較為廣泛。

目前，大部分針對(duì)壓縮感知DOA估計(jì)的研究都是在均勻線陣（Uniform Linear Array，ULA）的條件下進(jìn)行的［13-15］。 以上述研究為基礎(chǔ)，為了充分地?cái)U(kuò)展陣列孔徑，提高算法的測(cè)角分辨力，本文提出一種基于非均勻線陣的正交匹配追蹤算法（NLA-OMP）。

2 信號(hào)模型和壓縮感知的基本原理

2.1 信號(hào)模型

固定M元均勻線陣的陣列孔徑，陣元間距為入射信號(hào)波長(zhǎng)的一半，隨機(jī)去掉若干個(gè)陣元，得到與M元均勻線陣等價(jià)的m（m＜M）元非均勻線陣。當(dāng)n個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶復(fù)信號(hào)矢量 S（t）=［s1（t）s2（t）…sn（t）］T分別從方向（θ1θ2…θn）入射到上述非均勻線陣上時(shí)，m個(gè)陣元在t時(shí)刻的接收信號(hào)矢量表達(dá)式X（t）為：

其中，矩陣 A為 m×n維非均勻線陣陣列流型陣；N（t）為n×1維加性零均值高斯白噪聲矢量，且：

其中：導(dǎo)向矢量 a（θn）如下：

其中，i=1，2，…，n；dk（2≤k≤m）為第k個(gè)陣元到參考陣元的距離。

2.2 壓縮感知基本原理

其中，α為對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣，則信號(hào)S為ψ域上的稀疏信號(hào)。利用l×n（l＜＜n）維觀測(cè)矩陣Φ對(duì)稀疏信號(hào)S進(jìn)行投影測(cè)量，得到維數(shù)較低的觀測(cè)值向量y，則：

其中，ξ為加性零均值高斯白噪聲向量；Θ為感知矩陣。此時(shí)，僅需從觀測(cè)值向量y中重構(gòu)系數(shù) α即可完成信號(hào)S的精確重構(gòu)。當(dāng)感知矩陣Θ滿(mǎn)足約束等容（Restricted Isometry Property，RIP）條件［13-14］時(shí)，可通過(guò)求解y的最優(yōu)l0范數(shù)來(lái)重構(gòu)系數(shù)α。為了降低計(jì)算量，許多學(xué)者研究表明，可以通過(guò)匹配追蹤等算法精確地重構(gòu)原信號(hào)。

3 基于非均勻線陣的正交匹配追蹤算法

非均勻線陣陣列流形陣形式較為固定，且各個(gè)導(dǎo)向矢量之間具有一定的正交性，可作為觀測(cè)矩陣。

正交性越大，越能精確地重構(gòu)原信號(hào)。將2.1節(jié)中的M元均勻線陣的陣列流形陣記為矩陣，則在經(jīng)過(guò)角度劃分的整個(gè)觀測(cè)空間中：

其中，b=1，2，…，β。在此經(jīng)過(guò)角度劃分的觀測(cè)空間中將與上述均勻線陣等價(jià)的m元非均勻線陣陣列流形陣A更新為：

其中，dk（2≤k≤m）為第 k個(gè)陣元與參考陣元的間距。

利用觀測(cè)矩陣對(duì)信號(hào) S進(jìn)行降維處理，得到觀測(cè)值。通過(guò)計(jì)算觀測(cè)矩陣的各個(gè)列向量與當(dāng)前觀測(cè)值的內(nèi)積，找到與當(dāng)前觀測(cè)值最匹配的列向量；去掉該列向量并更新觀測(cè)矩陣，繼續(xù)在觀測(cè)矩陣中選擇與當(dāng)前殘差最匹配的列向量。ULA-OMP算法僅利用了非均勻線陣的陣列形式和其擴(kuò)展陣列孔徑的能力，不涉及非均勻線陣的其他性質(zhì)，因此，所提算法能夠?qū)崿F(xiàn)非均勻線陣條件下相干信源的波達(dá)方向估計(jì)。

總結(jié)ULA-OMP算法步驟如下：

（1）根據(jù)待測(cè)信源角度范圍將空間角度均勻劃分成為 β份。

（2）利用m元非均勻線陣接收 β×1維的 n稀疏信號(hào)S，將非均勻線陣陣列流形陣A的導(dǎo)向矢量擴(kuò)充為 β個(gè)。

（3）將A作為觀測(cè)矩陣 Φ，對(duì)信號(hào) S進(jìn)行投影測(cè)量，得到信號(hào)的觀測(cè)值y=AS+ξ，初始化殘差向量r0=y。

（4）將A中每一個(gè)列向量記作一個(gè)原子，計(jì)算每個(gè)原子與殘差的內(nèi)積，記錄內(nèi)積最大值時(shí)所對(duì)應(yīng)的原子序號(hào)：

更新原子集合 Δg=Δg-1∪｛a（μf）｝以及原子序號(hào)索引集合Ωg=Ωg-1∪｛f｝，其中，g為迭代次數(shù)。

（5）利用最小二乘法得到逼近信號(hào)：

（6）更新殘差rg=y-ΔgSg，g=g+1。

（7）判斷迭代次數(shù)g與信號(hào)稀疏度n的關(guān)系，若g＜n則返回步驟（4），若 g≥n，則輸出信號(hào)譜峰對(duì)應(yīng)的空間網(wǎng)格，即為入射信源的方位估計(jì)值

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)1 獨(dú)立信源DOA估計(jì)成功概率

獨(dú)立信源分別從7°和13°的方向入射到5陣元非均勻線陣上，入射信號(hào)波長(zhǎng)為λ，非均勻線陣陣元擺放位置為噪聲為零均值高斯白噪聲，噪聲與信號(hào)相互獨(dú)立，掃描間隔為0.1°。當(dāng)快拍數(shù)為50時(shí)，分別在上述非均勻線陣和5陣元均勻線陣的條件下利用OMP算法和MUSIC算法對(duì)獨(dú)立信源進(jìn)行DOA估計(jì)，蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)為500次。

圖1為上述算法對(duì)獨(dú)立信源進(jìn)行DOA估計(jì)的成功概率（成功概率單位為1）。其中，NLA-OMP為本文所提基于非均勻線陣的OMP算法；ULA-OMP為均勻線陣條件下的OMP算法；ULA-MUSIC為均勻線陣條件下的MUSIC算法；NLA-MUSIC為非均勻線陣條件下的MUSIC算法。

圖1 獨(dú)立信源DOA估計(jì)的成功概率

仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，ULA-MUSIC算法和NLAMUSIC算法均需要較高的信噪比才能得到較大的成功概率。當(dāng)信噪比降低到5 dB時(shí)，ULA-MUSIC算法完全失效，NLA-MUSIC算法的估計(jì)成功概率降低到0.7以下。當(dāng)信噪比降低到3 dB時(shí)，ULA-OMP算法的成功概率降低到0.9以下，NLA-OMP算法的成功概率仍能達(dá)到0.9以上，明顯高于其他3種算法。可見(jiàn)，在上述4種算法中，NLA-OMP算法在低信噪比的條件下處理獨(dú)立信源時(shí)具有最高的測(cè)角分辨力。

實(shí)驗(yàn)2 小快拍、大陣列孔徑獨(dú)立信源DOA估計(jì)成功概率

圖2為當(dāng)快拍數(shù)較小、陣列孔徑較大時(shí)，上述算法對(duì)獨(dú)立信源進(jìn)行DOA估計(jì)的成功概率。

圖2 小快拍、大陣列孔徑獨(dú)立信源DOA估計(jì)的成功概率

當(dāng)快拍數(shù)較小時(shí)，ULA-MUSIC算法即使在高信噪比條件下估計(jì)成功概率依然在0.7以下。NLAMUSIC算法由于獲得了較大的陣列孔徑，當(dāng)信噪比達(dá)到12 dB時(shí)能夠獲得0.9以上的估計(jì)成功概率。當(dāng)信噪比降低到2 dB時(shí)，ULA-MUSIC算法和NLAMUSIC算法均失效。此時(shí)，ULA-OMP算法能夠?qū)崿F(xiàn)獨(dú)立信源的DOA估計(jì)，但其成功概率僅能達(dá)到0.7，而NLA-OMP算法由于充分?jǐn)U展了陣列孔徑，成功概率能夠達(dá)到0.9以上?？梢?jiàn)由于獲得了更大的陣列孔徑，NLA-OMP算法在小快拍數(shù)、低信噪比的惡劣條件下仍能以較高的成功概率估計(jì)獨(dú)立信源的方位信息。

實(shí)驗(yàn)3 相干信源DOA估計(jì)成功概率

相干信源分別從6°和11°的方向入射到5陣元非均勻線陣上，入射信號(hào)波長(zhǎng)為λ，非均勻線陣陣元擺放位置為噪聲為零均值高斯白噪聲，掃描間隔為0.1°。當(dāng)快拍數(shù)為50時(shí)，分別在上述非均勻線陣和5陣元均勻線陣的條件下利用OMP算法進(jìn)行DOA估計(jì)。由于SS-MUSIC算法僅適用于均勻線陣，因此分別在5陣元的均勻線陣以及與上述與非均勻線陣等價(jià)的12陣元均勻線陣條件下對(duì)相干信源進(jìn)行 DOA估計(jì)。蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)為500次。

圖3為上述算法對(duì)相干信源進(jìn)行DOA估計(jì)的成功概率。其中，ULA-SS-MUSIC（5）為5陣元均勻線陣條件下的基于空間平滑的MUSIC算法；ULASS-MUSIC（12）為12陣元均勻線陣條件下的基于空間平滑的MUSIC算法。由圖3可知，由于空間平滑算法嚴(yán)重?fù)p失了陣列孔徑，即使在高信噪比的條件下ULA-SS-MUSIC（5）算法仍然完全失效。ULASS-MUSIC（12）算法通過(guò)大量增加陣元數(shù)，實(shí)現(xiàn)了高信噪比條件下相干信源的DOA估計(jì)，但其成功概率較低，可見(jiàn)這種以損失陣列孔徑為代價(jià)的解相干算法嚴(yán)重地降低了算法的測(cè)角分辨力。當(dāng)信噪比達(dá)到12 dB時(shí)，ULA-OMP算法的成功概率能夠達(dá)到0.9以上，但當(dāng)信噪比降低時(shí)，該算法的成功概率急劇下降，NLA-OMP算法在4 dB時(shí)成功概率就能達(dá)到0.9以上，可見(jiàn)NLA-OMP算法在低信噪比的條件下處理相干信源時(shí)仍有較好的DOA估計(jì)性能。

圖3 相干信源DOA估計(jì)的成功概率

實(shí)驗(yàn)4 小快拍相干信源DOA估計(jì)成功概率

實(shí)驗(yàn)3的條件不變，當(dāng)快拍數(shù)為15時(shí)，對(duì)實(shí)驗(yàn)3中的信號(hào)進(jìn)行DOA估計(jì)。

圖4為快拍數(shù)較少時(shí)，上述算法對(duì)相干信源進(jìn)行DOA估計(jì)的成功概率。由圖4可知，ULA-SSMUSIC（5）算法ULA-SS-MUSIC（12）算法完全失效；ULA-OMP算法在信噪比達(dá)到16 dB時(shí)，成功概率才能達(dá)到0.9以上，而NLA-OMP算法在信噪比為9 dB時(shí)，成功概率能達(dá)到0.9以上，可見(jiàn)，本文所提算法能夠在小快拍數(shù)、低信噪比的惡劣條件下以高概率精確重構(gòu)相干信號(hào)并實(shí)現(xiàn)相干信源的DOA估計(jì)。

圖4 小快拍數(shù)相干信源DOA估計(jì)的成功概率

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出一種基于非均勻線陣的正交匹配追蹤算法。該算法利用非均勻線陣作為接收陣列，并將觀測(cè)矩陣更新為經(jīng)過(guò)角度劃分的非均勻線陣陣列流形陣。仿真結(jié)果表明，與均勻線陣條件下的 SSMUSIC算法和OMP算法以及非均勻線陣條件下的MUSIC算法相比，該算法具有更高的測(cè)角分辨力、抗噪能力和解相干能力，實(shí)現(xiàn)了非均勻線陣條件下相干信源的DOA估計(jì)。然而該算法仍存在一定的改進(jìn)空間，如在陣元數(shù)不變的情況下，如何設(shè)計(jì)陣元的擺放方式，得到固定條件下壓縮感知DOA估計(jì)性能最優(yōu)的陣列結(jié)構(gòu)，從而進(jìn)一步提高壓縮感知DOA估計(jì)的陣列利用率。

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編輯 劉 冰

Direction of Arrival Estimation Using Com pressed Sensing Based on Non-uniform Linear Array

DIAO Ming1，GAO Lu1，GAO Hongyuan1，F(xiàn)ENG Pinghui2
（1.College of Information and Communication Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China；2.State Grid Zhejiang Electric Power Corporation，Hangzhou 310000，China）

In order to improve the array utilization rate of Direction of Arrival（DOA）estimation using Com pressing Sensing（CS），this paper proposes an Orthogonal Matching Pursuit（OMP）algorithm based on Non-uniform Linear Array（NLA）.For the proposed algorithm，the observation space which is divided into a plurality of parts according to the rough range of DOA by using uniform angle division and uniform sine division.It uses the NLA to accept the signal，and makes the angle divided NLA manifold as measuring matrix.It projects and measures the signal with measuring matrix to achieve the observation value which has lower dimension，reconstructs the sparse signal and estimates the DOA from the observed values.Simulation results show that this algorithm needs fewer number of snapshots，achieves excellent antinoise performance，and gets higher array utilizable rate com pared with Multiple Signal Classification（MUSIC）algorithm. It also achieves higher angular resolution and the ability of dealing with coherent sources compared with OMP algorithm and MUSIC algorithm based on Spatial Smoothing（SS）under the Uniform Linear Array（ULA）.

Non-uniform Linear Array（NLA）；Orthogonal Matching Pursuit（OMP）；Compressing Sensing（CS）；Direction of Arrival（DOA）estimation；array utilization rate；angular resolution

刁 鳴，高 璐，高洪元，等.基于非均勻線陣的壓縮感知波達(dá)方向估計(jì)［J］.計(jì)算機(jī)工程，2015，41（10）：83-87.

英文引用格式：Diao Ming，Gao Lu，Gao Hongyuan，et al.Direction of Arrival Estimation Using Com pressed Sensing Based on Non-uniform Linear Array［J］.Computer Engineering，2015，41（10）：83-87.

1000-3428（2015）10-0083-05

A

TN911.7

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61102106）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)基金資助項(xiàng)目（HEUCF140809）；中國(guó)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2013M 530148）；黑龍江省博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目（LBH-Z13054）。

刁 鳴（1960-），男，教授、博士生導(dǎo)師，主研方向：移動(dòng)通信，陣列信號(hào)處理；高 璐，碩士研究生；高洪元，副教授；馮平輝，助理工程師。

2014-11-04

2014-12-01E-mail：gaolu-hrbeu@foxmail.com