黃志英,吳江,唐濤,王云龍

(解放軍信息工程大學信息系統(tǒng)工程學院, 450001, 鄭州)

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非一致噪聲下的多陣列直接定位算法

黃志英,吳江,唐濤,王云龍

(解放軍信息工程大學信息系統(tǒng)工程學院, 450001, 鄭州)

針對實際無源定位系統(tǒng)中多個陣列分散分布以及單個陣列各陣元之間差異造成的噪聲功率分布不均勻導致直接定位(DPD)算法精度下降的問題,提出了一種非一致高斯白噪聲場中的多陣列最大似然DPD(UN-ML-DPD)算法,并推導出該條件下的克拉美羅界。首先計算各陣列輸出協(xié)方差矩陣;再將計算結果傳到數(shù)據(jù)處理中心;然后由數(shù)據(jù)中心通過迭代的方式同時對目標位置與非一致噪聲功率進行最大似然聯(lián)合估計,以收斂后得到的結果作為目標位置精確估計值,從而減弱了非一致噪聲對DPD算法的影響;最后在多目標條件下用交替投影法降低算法復雜度。較之傳統(tǒng)算法,UN-ML-DPD算法能夠提高多陣列在低信噪比下的定位精度。仿真結果表明:UN-ML-DPD算法在-15 dB的低信噪比下估計誤差小于15 km,與DPD算法相比定位精度提高15%以上;能較為準確地估計各陣列噪聲協(xié)方差矩陣,在標準噪聲功率小于30 W時估計誤差小于3.5 W;在高信噪比下定位精度能夠逼近克拉美羅下界。

無源定位;多陣列;非一致噪聲;直接定位;最大似然估計

傳統(tǒng)的多陣列角度交叉定位方法需要2步:各站首先利用各自的固定陣列對窄帶信號到達方向(direction of arrival, DOA)進行估計,并將DOA估計值通過網(wǎng)絡傳輸?shù)饺诤现行?融合中心根據(jù)各站的DOA估計值進行聯(lián)合交叉定位[1-2]。這種方式對DOA的估計由各站孤立完成,忽略了各站收到的信號都是來自同一個輻射源的約束,而且參數(shù)估計與位置解算相分離造成了測量的參數(shù)與真實目標位置失配,導致數(shù)據(jù)處理過程中信息不可避免的損失,從而無法獲得最優(yōu)的估計性能[3]。

針對傳統(tǒng)2步定位模型的缺點,近年來學者們提出了對輻射信號的一步直接定位(direct position determination, DPD)算法,其思想是不預先估計信號到達方向(DOA)或者到達時間差(TDOA),直接用原始數(shù)據(jù)通過最大似然等方式對目標的位置進行非線性估計。這些算法在低信噪比下較傳統(tǒng)的2步定位方法具有較高的精度,且能夠在低信噪比下逼近相應的克拉美羅下界(Cramér-Rao lower bound, CRLB)。根據(jù)處理的目標數(shù)據(jù),該類算法可以分為頻域數(shù)據(jù)DPD[4-7]與時域數(shù)據(jù)DPD[8-9]2種。頻域數(shù)據(jù)DPD精度最高,但不適用于超視距定位模型;時域數(shù)據(jù)DPD精度比頻域數(shù)據(jù)DPD精度稍低,但仍高于傳統(tǒng)2步定位法,且適用于超視距定位。

傳統(tǒng)的DPD算法都基于一個基本假設,即各陣列的接收噪聲都符合均值為零方差為δ2的高斯分布,然而實際中并非如此。對于多個分布在不同位置的陣列,由于各陣列間相隔較遠,不同的電磁環(huán)境下陣列的接收噪聲是有差異的;此外,在同一個陣列中,由于接收通道間的互耦、分布源引起的隨機散射、回聲以及非期望干擾等原因,也有可能造成各陣元之間噪聲的非均勻分布[12]。對噪聲建模的誤差將會導致DPD算法性能的下降。

針對上述問題,本文對多陣列接收噪聲進行建模,為了與傳統(tǒng)的單陣列非均勻噪聲相區(qū)分[12],定義多陣列非一致接收噪聲為:

(1)各陣列的接收噪聲為相互獨立的高斯白噪聲,功率未知且不相等;

(2)同一陣列不同陣元之間的接收噪聲相互獨立,功率未知且不相等。

基于文獻[12]在非均勻噪聲下的DOA與陣列噪聲協(xié)方差矩陣聯(lián)合估計的算法,本文提出了一種基于多陣列的非一致噪聲下的最大似然直接定位算法(unknown nonuniform noise maximum likelihood direct position determination, UN-ML-DPD),該算法通過交替迭代的方式對各陣列的噪聲協(xié)方差矩陣以及目標位置進行聯(lián)合估計。本文算法屬于時域數(shù)據(jù)處理方式,與文獻[8-9]算法相比,在非一致噪聲下能夠取得更好的定位效果。在信噪比較高的條件下,本文算法的定位性能接近相應的克拉美羅下界。

1 觀測模型

圖1 多站聯(lián)合定位示意圖

多陣列典型的定位場景如圖1。假設多陣列聯(lián)合定位系統(tǒng)中,sn,k,q表示k時刻入射到第n個陣列的第q個源信號,其中n=1,…,N,N為聯(lián)合定位系統(tǒng)中陣列的個數(shù),q=1,…,Q,Q為輻射源個數(shù),k=1,…,K,K為采樣個數(shù)。令zn,k∈CMn×1表示第n個站k時刻的接收矩陣,Mn為第n個陣列的陣元個數(shù),則有

(1)

式中:wn,k∈CMn×1為第n個站的噪聲矩陣;an(pq)∈CMn×1為陣列流型矢量;pq=[xq,yq]T為第q個輻射源的二維平面位置。令

(2)

則有

(3)

再令

(4)

(5)

由此,接收信號與輻射源的位置關系可由式(5)確定,則多陣列聯(lián)合定位的問題可以歸結為:利用接收矩陣vk估計所有輻射源的位置p。為了解決上述聯(lián)合定位問題,需要以下2個基本假設。

假設1 多陣列接收噪聲與接收信號相互獨立,且為非一致噪聲,接收噪聲矩陣wk的協(xié)方差矩陣為

(6)

(7)

假設2sn,k是一組待估計的確定信號序列(確定信號數(shù)據(jù)模型),接收信號zk符合正態(tài)分布

(8)

(9)

2 算法原理

2.1 定位算法原理

在信號波形為未知確定信號序列的假設下,對于第n個陣列,n=1,…,N,令

(10)

則(3)式可以寫成

Zn=An(p)Sn+Wn

(11)

再令

(12)

式中cn,k∈CMn×1(k=1,…,K)和rn,m∈C1×K(m=1,…,Mn)分別表示矩陣Gn的第k列和第m行,則在固定其他參數(shù)的情況下,第n個陣列的噪聲協(xié)方差矩陣的最大似然估計為[12]

(13)

在固定其他參數(shù)的情況下,sn,k的最大似然估計為

(14)

式中

(15)

時域數(shù)據(jù)DPD算法的最大似然估計器可將下式最小化[9]

(16)

將式(14)代入式(16),得到目標位置p的最大似然估計為

(17)

式中

(18)

(19)

在聯(lián)合定位系統(tǒng)中,定義非一致噪聲下的多陣列最大似然DPD的代價函數(shù)為

(20)

式(20)并不能同時對噪聲的協(xié)方差矩陣和目標位置進行估計。因為根據(jù)該式的形式可知,目標位置p的估計依賴于根據(jù)式(13)對各陣列協(xié)方差矩陣Φn的估計;反之,Φn的估計也通過式(14)依賴于目標位置p。通過迭代的方式,可以實現(xiàn)Φn和p的聯(lián)合估計。

2.2 交替投影算法

本文提出的UN-ML-DPD算法是一個非線性的多維最優(yōu)化問題,需要全局極值的多維搜索。在單目標的情況下,該算法只需要在二維平面上對目標位置進行搜索,而在多目標條件下,則需要2Q維的搜索,在目標數(shù)增多的時候算法的計算量會隨著搜索維數(shù)的增多而急劇增大。為了降低算法的搜索維數(shù),本文采用文獻[9]提出的交替投影DPD(alternative projection DPD,AP-DPD)算法來解決本文算法的多維優(yōu)化問題,其基本思想是通過迭代的方式將多維優(yōu)化問題進行簡單求解,在每一次迭代的每一步中,均相對于一個目標進行優(yōu)化,而其他參數(shù)保持不變。于是迭代過程中的每一步均只需要進行一次二維的搜索。

(21)

(22)

對于任意具有相同行數(shù)的矩陣E和F,P[E,F]為矩陣[E,F]的列張成的子空間投影矩陣,則根據(jù)分塊Hermite矩陣的求逆公式可得

(23)

式中:FE=(I-PF)E。于是

(24)

(25)

則式(21)可以表示為

(26)

綜上所述,UN-ML-DPD算法的主要步驟如下。

(4)重復步驟2和步驟3直至得到最后目標位置p的估計值。

(27)

同時,為了考察算法在不同噪聲環(huán)境下的定位性能,定義非一致噪聲條件下的信噪比

(28)

式中:Pn=E[|sn,k|2]為第n個陣列接收信號功率。

假設傳統(tǒng)時域數(shù)據(jù)DPD算法對目標定位搜索的平均計算量為Cp。本文算法需要聯(lián)合估計目標位置p和噪聲協(xié)方差矩陣Φ,并需要一定次數(shù)的迭代,假設估計Φ的計算量為CΦ,算法收斂所需要的平均迭代次數(shù)為L,則本文算法定位平均計算量為L(Cp+CΦ)。由于Φn估計的計算量主要集中在式(14)的矩陣計算中,式(17)的計算與式(14)相當,若采用QPSO算法實現(xiàn)p的最優(yōu)化,假設使用u個粒子進行搜索,QPSO算法收斂需要的平均迭代次數(shù)為v,則式(17)計算就需要進行uv次,因此在通常情況下Cp?CΦ,即本文算法定位平均計算量約為傳統(tǒng)算法的L倍。

3 定位誤差的克拉美羅下界

本章將分析非一致噪聲下多陣列DPD算法的克拉美羅下界(CRLB)。待估計的所有未知參數(shù)組成的矢量為

(29)

CRLB由Fisher信息矩陣的逆給出,有

(30)

式中

(31)

(32)

(33)

使用類似于文獻[12]的計算方法,可得

(34)

式中

(35)

(36)

(37)

其中?表示Kronecker積。

4 仿真實驗

為了驗證本文算法的性能,對于不同的場景均做1 000次Monte-Carlo實驗,并與文獻[8]中SDF-DPD以及文獻[9]中ML-DPD這2種時域數(shù)據(jù)DPD算法性能進行比較。本文的所有仿真均將采用以下典型定位場景:假設目標位置為(300 km,200 km)。多陣列聯(lián)合定位系統(tǒng)有4個測量站,其坐標分別為(0 km,80 km)、(150 km,0 km)、(0 km,200 km)、(100 km,300 km),目標與測量站的位置關系如圖2所示。

圖2 目標與測量站位置關系圖

聯(lián)合定位系統(tǒng)中所有陣列都是陣元個數(shù)為10的平行于y軸的均勻直線陣,陣元間距與信號波長的比值d/λ=0.5。信噪比為-5 dB,快拍數(shù)為32,信噪比范圍為-15～0 dB,用定位均方誤差eRMSE考察算法在不同信噪比下的定位性能,固定各陣列接收噪聲協(xié)方差矩陣為

(38)

圖3 不同信噪比下3種算法的性能對比

考察算法在不同最劣噪聲功率比下的定位性能,其他仿真條件不變,信噪比固定為-5dB,陣列的噪聲協(xié)方差矩陣設置如下

(39)

采用二次迭代后得到的位置估計值作為算法定位的最終估計值,得到的結果如圖4所示?？梢钥吹?最劣噪聲功率比越大,本文算法的精度較其他2種算法的提升效果越明顯。

圖4 不同最劣噪聲功率比下3種算法的定位性能對比

(40)

圖5 不同迭代次數(shù)下陣元噪聲功率估計誤差隨最大噪聲隨機功率的變化曲線

假設監(jiān)測區(qū)域內存在2個目標,其位置分別為(300 km,200 km)和(300 km,100 km),內外層各迭代3次,其他條件與圖3相同,得到的2個目標條件下的定位均方誤差與信噪比之間的關系如圖6和圖7所示?？梢钥吹?在2個目標且噪聲非均勻的條件下,SDF-DPD算法受非一致噪聲的影響最大,性能最為不穩(wěn)定,而采用交替投影方式的本文算法與ML-DPD依然可以同時對2個目標較為穩(wěn)定的進行位置估計,定位精度均高于SDF-DPD算法。經(jīng)過3次迭代本文算法的精度趨于穩(wěn)定,精度比均勻噪聲假設的ML-DPD算法高。且在信噪比較高時對2個目標的定位性能均能逼近克拉美羅下界。

圖6 不同信噪比下3種算法的定位性能對比(目標1)

圖7 不同信噪比下3種算法的定位性能對比(目標2)

5 結 論

考慮各陣列之間與單個陣元之間的差異造成的接收噪聲非均勻的情況,本文的多陣列直接定位算法通過迭代的方法對陣列接收噪聲協(xié)方差矩陣與目標位置進行聯(lián)合估計,降低了非一致噪聲對時域數(shù)據(jù)DPD算法的影響,提高了該算法的精度,且在信噪比較低及最劣噪聲功率比較大的情況下提升效果較為明顯。本文算法在信噪比較高的條件下可以逼近克拉美羅下界。在單目標條件下,由于需要的迭代次數(shù)不多,本文算法較之傳統(tǒng)DPD算法的計算量并未顯著增加,但在多目標條件下,由于本文算法的定位解算過程需要2層迭代,實現(xiàn)較為復雜,因此計算量較大。

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(編輯 劉楊)

A Direct Position Determination Algorithm Based on Multi Arrays in the Presence of Unknown Nonuniform Noise

HUANG Zhiying,WU Jiang,TANG Tao,WANG Yunlong

(Institute of Information System Engineering, Information Engineering University of PLA, Zhengzhou 450001, China)

A multi-array based maximum likelihood direct position determination (DPD) algorithm in the presence of unknown nonuniform noise (UN-ML-DPD) is proposed and an expression of Cramér-Rao lower bound (CRLB) is derived to solve the problem that the position accuracy of the DPD algorithm decreases due to dispersed multi-array distribution and nonuniform noise power distribution caused by difference among array elements in passive localization systems. The covariance matrixes of the array data are calculated and the results are transmitted to the process center. Then, the power of the nonuniform noise and the position of the targets are co-estimated simultaneously using the maximum likelihood method with iteration, and the converged result is taken as the target position estimation, so that the effect of the nonuniform noise is reduced. The alternative projection method is utilized to lower the algorithm complexity when multi targets exist. Compared with the traditional method, the UN-ML-DPD algorithm can improve the position accuracy under low signal-to-noise ratio (SNR). Simulation results show that the estimation error is lower than 15 km for SNR is -15 dB, and the accuracy of the position estimation is increased by 15% compared with the DPD method. The noise covariance matrix is well estimated, and the estimation error is less than 3.5 W when the standard power of the noise is lower than 30 W. Moreover, the position accuracy approaches the CRLB when the SNR are high.

passive localization; multi-array; nonuniform noise; direct position determination; maximum likelihood estimation

2015-01-09。

黃志英(1987—),男,碩士生;吳江(通信作者),男,副教授,碩士生導師。

國家自然科學基金資助項目(61201381)。

時間:2015-07-23

10.7652/xjtuxb201510022

TN911.7

A

0253-987X(2015)10-0136-07

網(wǎng)絡出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20150723.0922.010.html