蘇　靜湖南第一師范學(xué)院信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙　410205

一種盲均衡算法的定量分析法

蘇靜
湖南第一師范學(xué)院信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410205

摘要盲均衡算法目前常用的性能分析方法有兩種：接收信號(hào)的性能曲線和星座恢復(fù)圖。這兩種方法歸根結(jié)底是用樣本分析來代替了理論分析，有一定的局限性。本文經(jīng)過研究，提出一種能進(jìn)行定量分析的新的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)：穩(wěn)態(tài)剩余調(diào)整量。通過一系列公式推導(dǎo)，得出了經(jīng)典恒模盲均衡算法穩(wěn)態(tài)剩余調(diào)整量的理論極小值，及取得極小值的條件，從而對(duì)該算法的性能進(jìn)行了定量分析。通過比較，此新的定量分析結(jié)果與傳統(tǒng)的理論定性分析結(jié)果是一致的。

關(guān)鍵詞恒模算法；穩(wěn)態(tài)剩余調(diào)整量；盲均衡

0　引言

盲均衡算法的性能評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)主要有：收斂速度，穩(wěn)態(tài)剩余誤差，星座恢復(fù)圖，實(shí)現(xiàn)難易程度，運(yùn)算復(fù)雜度，代價(jià)函數(shù)的凸性，穩(wěn)態(tài)剩余調(diào)整量，計(jì)算量等。算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)剩余誤差一般通過分析算法的某些性能指標(biāo)收斂曲線來定性分析，穩(wěn)態(tài)剩余誤差是一個(gè)寬泛的概念，對(duì)不同的指標(biāo)，代表不同的意義。最常用的是穩(wěn)態(tài)均方誤差指標(biāo)，還包括一些算法自定義的性能指標(biāo)，像文獻(xiàn)[1]提出的閉眼測(cè)度指標(biāo)，文獻(xiàn)[2]提出的標(biāo)準(zhǔn)化的根均方誤差指標(biāo)等。傳統(tǒng)的盲均衡算法性能指標(biāo)均只能對(duì)算法的性能進(jìn)行定性分析，并且這些指標(biāo)的取得都與具體的接收信號(hào)有關(guān)，歸根結(jié)底是用樣本分析來代替了理論分析，具有隨機(jī)性和局限性，因此急需一種能定量分析算法性能的、與具體接收信號(hào)無關(guān)的指標(biāo)。

本文就提出了這樣一種能進(jìn)行定量分析的新的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)：穩(wěn)態(tài)剩余調(diào)整量，它其實(shí)就是穩(wěn)態(tài)誤差函數(shù)的幅度，反映了均衡器抽頭權(quán)向量值的調(diào)整動(dòng)態(tài)范圍，性能優(yōu)良的算法其誤差函數(shù)的幅度應(yīng)該是隨著均衡的進(jìn)行而逐漸減小，當(dāng)算法收斂后其值應(yīng)趨于零。本文通過一系列公式推導(dǎo)，得出了經(jīng)典恒模盲均衡算法（CMA算法）的穩(wěn)態(tài)剩余調(diào)整量的理論極小值，及取得極小值的條件。

1　盲均衡原理

圖1展示的是盲均衡的原理。如圖所示的通信過程大致可描述如下：信號(hào)發(fā)送端從S集（如式1所示）等概率取N次數(shù)據(jù)，構(gòu)成{x(n)}，通過某一未知的時(shí)變離散時(shí)間信道h(n)傳輸，混入噪聲n(n)，最終被均衡器接收（{y(n)}），在{w(n)}的作用下，得到{z(n)}。

因?yàn)榇a間干擾對(duì)通信系統(tǒng)的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過噪聲的影響[3]，故而本文不考慮噪聲的影響，只專注于盲均衡來減小或者消除碼間干擾。其中S和z(n)的定義分別為：

2　CMA算法

2.1 CMA算法原理

CMA算法是最為經(jīng)典的盲均衡算法之一，其權(quán)向量更新迭代式為：

eCMA( n)= z( n)( R2-｜z( n )｜2)稱為CMA算法的誤差函數(shù)。

誤差函數(shù)的幅度為：

理想的情況是：算法收斂時(shí)，z( n)= x( n- nt)，nt為正整數(shù)，表示時(shí)延。

定義φCMA=E{｜eCMA( n )｜}為算法的穩(wěn)態(tài)剩余調(diào)整量。

2.2 CMA算法性能分析

CMA算法最早提出是為了解決電信信道中語音信號(hào)傳輸?shù)亩鄰剿ヂ鋯栴}[4-5]，研究對(duì)象為模值恒定的信號(hào)，如4QAM信號(hào)。

隨著通信技術(shù)的發(fā)展，高階QAM調(diào)制方式因頻帶利用率高，已經(jīng)成為現(xiàn)代通信的重要手段[6]，雖然高階QAM并不是恒模信號(hào)，CMA算法對(duì)高階QAM信號(hào)還是能起作用，但效果很不理想，收斂速度很慢，存在相移問題，同時(shí)MSE對(duì)整個(gè)系統(tǒng)達(dá)到一個(gè)足夠的符號(hào)誤差率（SER）性能來說是不夠低的[7]。

2.2.1定性分析

CMA算法的基本思想是使輸出信號(hào)z(n)的模方值（即幅度）與輸入信號(hào)的某個(gè)統(tǒng)計(jì)量R2的差值最小，即使輸出信號(hào)z(n)調(diào)整靠近半徑為R2的圓[8]。若信號(hào)源是4QAM，則R2即為星座圖上符號(hào)點(diǎn)的模方值，由迭代式3可知，當(dāng)z(n)距離半徑為R2的圓較遠(yuǎn)時(shí)，每次迭代的均衡器調(diào)整量就較大，反之較小，當(dāng)算法收斂后，調(diào)整量應(yīng)趨向于0。而當(dāng)信號(hào)為MQAM時(shí)，R2則表示發(fā)送信號(hào)的高階統(tǒng)計(jì)量，而由于MQAM信號(hào)的模值是不恒定，而CMA算法要把z(n)調(diào)整到恒定的模值，必定會(huì)導(dǎo)致這樣的結(jié)果：即使算法達(dá)到收斂，每次的抽頭調(diào)整量也會(huì)很大。所以CMA算法對(duì)恒模信號(hào)收斂性能較好，而對(duì)于多模信號(hào)收斂效果差。

2.2.2 穩(wěn)態(tài)剩余調(diào)整量定量分析

1）穩(wěn)態(tài)剩余調(diào)整量達(dá)下限值的條件。

根據(jù)期望的定義：

我們知道

當(dāng)且僅當(dāng)xi30( i= 1,..., N ) 或xi￡0( i= 1,..., N )時(shí)，取等號(hào)。

與由此可得：

當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于所有的x( n)滿足R2x( n- nt)- x( n- nt)330或者R2x( n- nt)- x( n- nt)3￡0時(shí)，上述式子取等號(hào)。也就是說，對(duì)于所有的x( n)需要滿足R23 x( n- nt)2或者R2￡ x( n- nt)2，E{ e( n)}才能取到下限值。再形象一點(diǎn)來說， 就是所有的發(fā)送信號(hào)都在半徑為R2的圓之內(nèi)（或之外），而對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活中的通訊信號(hào)，上述條件往往是難以達(dá)到的，僅有恒模信號(hào)4QAM能達(dá)到上述條件。

2）穩(wěn)態(tài)剩余調(diào)整能達(dá)到的理論極小值。

根據(jù)期望的定義可得：

當(dāng)且僅當(dāng)x( i)= x( j),( i= 1,..., N ; j= i+ 1,..., N )時(shí)，上式等于0，也就是說，當(dāng)且僅當(dāng)發(fā)送信號(hào)是恒模信號(hào)時(shí)，上式為0。綜上推導(dǎo)：

當(dāng)且僅當(dāng)發(fā)送信號(hào)模值恒定時(shí)，算法的穩(wěn)態(tài)調(diào)整量能達(dá)到最小值，且最小值為0，反之則將會(huì)是比較大的值.而這個(gè)結(jié)果與前述定性分析是一致的。

3　結(jié)論

本文通過對(duì)CMA算法分別進(jìn)行理論定性分析和定量分析，均得出CMA算法對(duì)恒模信號(hào)的均衡效果很好，穩(wěn)態(tài)調(diào)整量能達(dá)到最小值，且最小值為0。而對(duì)于多模值信號(hào)的均衡效果差，穩(wěn)態(tài)調(diào)整量很大。由此可見，本文的定量分析方法，突破了以往只能對(duì)盲均衡算法進(jìn)行定性分析的瓶頸，使得性能分析更具數(shù)據(jù)性。

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作者簡(jiǎn)介：蘇靜，碩士，助教，湖南第一師范學(xué)院信息科學(xué)與工程學(xué)院實(shí)驗(yàn)中心實(shí)驗(yàn)教師，研究方向：盲信號(hào)處理、實(shí)驗(yàn)室管理

基金項(xiàng)目：湖南第一師范學(xué)院2013年度科學(xué)研究項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：XYS13N09；項(xiàng)目主持人：蘇靜）

中圖分類號(hào)TP3

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

文章編號(hào)1674-6708（2015）139-0152-02