陳尚弟，張小連

（中國民航大學理學院，天津 300300）

基于有限域上射影空間構造分裂認證碼

陳尚弟，張小連

（中國民航大學理學院，天津 300300）

傳統(tǒng)的認證碼中，報文由信源和編碼規(guī)則唯一確定，但現(xiàn)實情況中，信源在同一編碼規(guī)則作用下能夠產(chǎn)生不止一個報文。分裂認證碼正是基于這種現(xiàn)狀而產(chǎn)生。本研究的目的是構造新的分裂認證碼。運用有限域上射影空間的子空間結構和相關計數(shù)定理，構造了兩個分裂認證碼，并計算其參數(shù)。當所有規(guī)則都按等概率分布選取時，計算了敵方的假冒攻擊和替代攻擊成功的概率。結果表明，所構造的碼能有效地抵抗敵方的假冒和替代攻擊。

有限域；射影空間；分裂認證碼

1 預備知識

定義1 設S、E、M為3個非空有限集合。f：S× E→M為滿足下列條件的映射。四元組（S，E，M；f）稱為一個認證碼[1]，如果：

1）f：S×E→M是滿射；

2）對任意的m∈M，任意的e∈E，若存在一個s∈S滿足f（s，e）=m，則這樣的s由給定的m和e唯一確定。

分別稱S、E、M為信源集合、編碼規(guī)則集合和報文集合，f為編碼映射?；鶖?shù)稱為這個碼的參數(shù)。

定義2 設（S，E，M；f）為一個認證碼，若一個信源s∈S在相同的編碼規(guī)則e∈E的作用下能夠產(chǎn)生不止一個報文，即報文m∈M不是由信源s∈S和編碼規(guī)則e∈E唯一確定的，則稱該認證碼是分裂的[2]。

此時報文m∈M是由m=e（s，r）計算而得，其中r是某個特定有限集合中的隨機數(shù)。令對于某些r使得e（s，r）=m成立}，則分裂認證碼中必有

定義3 在分裂認證碼中，若對任意的信源s∈S和編碼規(guī)則e∈E都有則稱該認證碼是c-分裂的[2]。

在分裂認證模型中包括3個參加方：發(fā)方、收方和敵方。發(fā)方與收方事先約定好編碼規(guī)則e∈E，發(fā)方欲傳送信源信息s∈S給收方。發(fā)方將信源s用編碼規(guī)則e編譯成報文e（s）∈M并隨機地選取其中一個報文m∈e（s）將其發(fā)送給收方，收方收到報文m后利用編碼規(guī)則e判定m是否合理。若合理則可由消息m得到信源s，若不合理，則拒絕消息m。敵方在發(fā)方未發(fā)送任何報文的前提下，通過信道發(fā)送一個他偽造的報文給收方，稱為假冒攻擊。若收方將其作為合理報文并接收，則稱敵方假冒攻擊成功。將敵方假冒攻擊的最大概率記為PI。敵方在截獲到報文m后，用另一報文m′代替原來的報文并發(fā)送給收方，稱為替代攻擊。若收方以m′為合法報文，且m與m′代表不同的信源，則稱敵方替代攻擊成功，記這種攻擊成功的最大概率為PS。

認證碼是用于在公用信道實現(xiàn)消息認證的編碼辦法，多年來，人們通過有限域上的典型群幾何學構造了多種多樣參數(shù)優(yōu)良的認證碼，如Chen在文獻[3]中基于奇異辛空間構造了多重多接收認證碼，在文獻[4]中基于偽辛空間構造了帶仲裁的認證碼。又如Gao于文獻[5]基于射影空間構造了A3-code。然而基于有限域上典型群的幾何學上研究分裂認證碼的文獻寥寥無幾。分裂認證碼最先是由Simmons于文獻[6]引入的。在分析帶仲裁認證碼參數(shù)和攻擊概率方面，分裂認證碼作用顯著。特別地，Kurosawa和Obana[7]給出了一個分裂認證碼和帶仲裁的認證碼之間的弱等價關系。王永傳、楊義先在文獻[8]中發(fā)現(xiàn)，分裂認證碼與糾錯碼也有密切聯(lián)系。另外，Huber[9]也刻畫了分裂認證碼的組合論界。進而，杜北梁和梁淼[2]創(chuàng)造性地將構造最優(yōu)分裂碼的問題轉化為構造相應的帶約束的部分平衡區(qū)組t-設計的問題，運用組合設計的思維方式拓寬了分裂認證碼的構造。本文旨在探究基于有限域上典型群的幾何學特別是射影空間經(jīng)過創(chuàng)新性加工構造具有可行性的、參數(shù)較優(yōu)的分裂認證碼。

2 有限域的射影空間

由文獻[10]得到以下內(nèi)容。

定理1 在PG（n，F(xiàn)q）中：

2）包含在給定m-flat的k-flat（0≤k≤m≤n）的數(shù)量為

3）包含在給定k-flat的m-flat（0≤k≤m≤n）的數(shù)量為

這里

是高斯系數(shù)，其中0≤m≤n為正整數(shù)，q為素數(shù)冪。

3 分裂認證碼的構造

3.1 構造Ⅰ

3.1.1 構造方案

在PG（3，F(xiàn)q）中固定一條直線L，令

給定編碼規(guī)則e與信源s，取e上任意一點α。由信源s和點α兩點唯一地確定一條直線，該直線是與L相交于一點的直線。由于α的任意性，c=q+1。3.1.2 認證碼的參數(shù)

定理2 該認證碼的參數(shù)為

證明1）直線L上有q+1個點，故信源的個數(shù)為

固定L上一點α，則在PG（3，F(xiàn)q）中包含點α的直線的個數(shù)為

2）在射影空間PG（3，F(xiàn)q）中直線總數(shù)為

從而與L相交于一點的直線有與L不相交的直線有

（q4+q3+2q2+q+1）-（q3+2q2+q）-1=q4即編碼規(guī)則個數(shù)為

3）從上述編碼規(guī)則個數(shù)計算過程可知，與L交于一點的直線條數(shù)為q3+2q2+q，即信息的個數(shù)為

3.1.3 欺騙攻擊類型和攻擊成功概率

定理3 該方案中欺騙攻擊成功的概率為

證明1）假設m為報文，則m是與L交于一點的直線，且交點為信源s。對報文m有效的編碼規(guī)則集合記為E（m），則即E（m）是與L不相交且與m只交于一點的直線的集合。由定理2可知，與m相交于一點的直線的個數(shù)為q3+2q2+ q，與m、L相交于同一點的直線的個數(shù)為q2+q-1，與m、L相交于不同兩點的直線的個數(shù)為q2，從而則

2）設m、m′是同時對編碼規(guī)則e有效的不同報文，令s、s′分別是m、m′對應的信源。不失一般性，設e與m相交于點A，與m′相交于點B，則同時對m、m′有效的編碼規(guī)則e只能是直線AB，即因此替代攻擊成功最大的情形是m、m′相交于一點P，編碼規(guī)則是過點P與L不相交的直線。由于s、s′、P三點不共線，從而唯一地確定一個平面Π，則對m、m′同時有效的編碼規(guī)則e為與平面Π只交于點P的直線。在PG（3，F(xiàn)q）中除去平面Π的共有點的個數(shù)為q3，又任意q點共線，從而

3.2 構造Ⅱ

在PG（4，F(xiàn)q）中固定一直線L，令

給定編碼規(guī)則e與信源s，取e上兩點α1、α2，信源s為α3。由于L與e不相交，從而L不包含在α1、α2、α3所生成的平面T上。由于在射影空間內(nèi)，一個平面內(nèi)的任意兩條直線相交，從而不在T上的任意一點與T生成一個包含e和s的超平面。

不在T上的點共有

在一個包含e和s的超平面中，不包含在T上的點有

包含e和s的超平面中有一個超平面包含L。因此

定理4 該認證碼的參數(shù)為

證明1）在直線L上有q+1個點，故信源的個數(shù)為

2）在射影空間PG（4，F(xiàn)q）中直線總數(shù)為

又由于通過一固定點的直線的個數(shù)為

從而與L相交的直線有

編碼規(guī)則是與L不相交的直線，因此編碼規(guī)則的個數(shù)為

3）固定L上一點α，則包含α的超平面?zhèn)€數(shù)為

在PG（4，F(xiàn)q）中，包含L的超平面的個數(shù)為

從而與L相交于點α的超平面的個數(shù)為q3。

由α的任意性可知

定理5 該方案中欺騙攻擊成功的概率為

證明1）假設m為報文，對報文m有效的編碼規(guī)則集合記為E（m），則E（m）中元素為超平面m中不過點s的直線。超平面m中直線總數(shù)為

超平面m中過點s的直線個數(shù)為

Construction splitting of authentication codes from projective space over finite field

CHEN Shang-di，ZHANG Xiao-lian
（College of Science，CAUC，Tianjin 300300，China）

In traditional authentication codes，messages are determined by source state and encoding rule.However，the source state can produce more than one messages under the same encoding rule in reality.Splitting authentication codes are produced in this situation.The main focus of this research is the construction of new splitting authentication codes.Based on subspace structures from projective space over finite fields and basic counting theories，two splitting authentication codes splitting are constructed，and their size parameters are computed. Assuming that the encoding rules are chosen according to a uniform probability distribution，the probabilities of a successful impersonation and a successful substitution by the opponent are computed.Results indicate that the newly constructed codes can effectively resist the enemy’s impersonation and substitution attack.

finite field；projective space；splitting authentication codes

O157

：A

：1674－5590（2015）06－0047－03

2014-09-12；

：2014-11-12

國家自然科學基金項目（61179026）；中國民航大學學生科技立項項目（152A035473026）

陳尚弟（1964—），男，山西應縣人，教授，博士，研究方向為代數(shù)、圖論、編碼與密碼.