苗長云，王有璽，高 華，苗春澆

（1.天津工業(yè)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，天津 300387；2.北京交通大學(xué)電子信息工程學(xué)院，北京 100044）

Duffing系統(tǒng)中微弱信號(hào)起始點(diǎn)的檢測

苗長云1，王有璽1，高 華1，苗春澆2

（1.天津工業(yè)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，天津 300387；2.北京交通大學(xué)電子信息工程學(xué)院，北京 100044）

為從時(shí)域上檢測微弱信號(hào)在系統(tǒng)中出現(xiàn)的時(shí)間點(diǎn)，提出了一種基于Duffing系統(tǒng)的微弱信號(hào)起始點(diǎn)的間接檢測方法.首先將微弱信號(hào)與Duffing系統(tǒng)自身的信號(hào)相疊加，混合測量后剔除其中Duffing系統(tǒng)產(chǎn)生的信號(hào)，再利用dmey小波對(duì)待測信號(hào)加入系統(tǒng)造成的軌道偏離過程進(jìn)行時(shí)域分析，可較準(zhǔn)確測出微弱信號(hào)的起始點(diǎn).由于混沌系統(tǒng)本身對(duì)高斯噪聲的自免疫特性，因此本方法具有一定的抗噪性.仿真結(jié)果顯示：該方法能有效地從時(shí)域上檢測到微弱信號(hào)的起始點(diǎn)，其相對(duì)誤差可達(dá)到10-3s，可應(yīng)用于心動(dòng)信號(hào)特征參數(shù)的提取.

Duffing系統(tǒng)；微弱信號(hào)；起始點(diǎn)檢測；dmey小波分析

近年來，微弱信號(hào)的檢測已在很多領(lǐng)域大量應(yīng)用.目前，采用Duffing振子利用混沌、大尺度周期的相態(tài)變化對(duì)驅(qū)動(dòng)信號(hào)幅值的敏感性進(jìn)行微弱信號(hào)的檢測已成為研究的熱點(diǎn)[1-4].周玲等[5]采用Duffing混沌振子系統(tǒng),通過判斷相軌跡的狀態(tài)變化對(duì)微弱信號(hào)進(jìn)行檢測研究.Wang等[6]提出了一種利用諧振與混沌之間過渡檢測微弱信號(hào)的方法，并且利用Melnikov的方法確定了混沌的閾值，該方法是從頻域上展開分析的.Liu等[7]等闡述微弱信號(hào)在高斯白噪聲的影響下引起系統(tǒng)由混沌態(tài)進(jìn)入大尺度周期態(tài)的過程，改進(jìn)了檢測系統(tǒng)降低信噪比的方法，研究了噪聲對(duì)Lyapunov指數(shù)的影響.但是以往采用Duffing系統(tǒng)對(duì)微弱信號(hào)檢測的研究重點(diǎn)放在混周漸變的狀態(tài)變化上，利用混周漸變的狀態(tài)變化實(shí)現(xiàn)對(duì)微弱信號(hào)的檢測.一方面，由于混周漸變的閾值無法準(zhǔn)確求出，目前只能求得近似值，對(duì)測量精度有一定的影響；另一方面，缺少從時(shí)域上對(duì)暫態(tài)微弱信號(hào)的變化過程進(jìn)行分析.實(shí)際上，采用Duffing振子的微弱信號(hào)檢測，不應(yīng)僅局限于對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)變化進(jìn)行分析，還需要在時(shí)域上對(duì)微弱信號(hào)加入系統(tǒng)后系統(tǒng)的軌道偏離過程進(jìn)行分析，以準(zhǔn)確判斷出待檢測信號(hào)在系統(tǒng)中出現(xiàn)的時(shí)間點(diǎn).本文提出了一種基于Duffing系統(tǒng)的微弱信號(hào)起始點(diǎn)檢測方法.采用間接測量的方法，將微弱信號(hào)與Duffing系統(tǒng)產(chǎn)生的信號(hào)相疊加，混合測量后剔除其中Duffing系統(tǒng)產(chǎn)生的信號(hào)，再利用dmey小波對(duì)待測信號(hào)加入系統(tǒng)造成的軌道偏離過程進(jìn)行時(shí)域分析，由于混沌系統(tǒng)本身對(duì)高斯噪聲的自免疫特性，因此本方法具有一定的抗噪性，能夠準(zhǔn)確檢測出微弱信號(hào)的起始點(diǎn)，這對(duì)于心動(dòng)信號(hào)特征參數(shù)的提取[8-9]具有重要意義.

1 檢測原理

Duffing振子方程為

式中：（-x+x3）為非線性系統(tǒng)恢復(fù)力項(xiàng)；k為系統(tǒng)阻尼比；γ為周期策動(dòng)力的幅值；ω為策動(dòng)力的角頻率.

一般來說，在系統(tǒng)的阻尼比k和策動(dòng)力的角頻率ω一定的條件下，系統(tǒng)的狀態(tài)會(huì)隨著周期策動(dòng)力γ的幅值變化而變化[10].隨著γ的逐漸增大，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)有規(guī)律的變化，要?dú)v經(jīng)同宿軌道、分叉軌道、混沌軌道、臨界周期狀態(tài)和大尺度周期狀態(tài)等.

當(dāng)γ0＜γd（系統(tǒng)由混沌態(tài)躍遷至大尺度周期態(tài)的臨界閾值）時(shí)，系統(tǒng)會(huì)處于混沌態(tài)，其相態(tài)表現(xiàn)出無窮嵌套自相似結(jié)構(gòu)和內(nèi)在的隨機(jī)性，每一時(shí)刻所處的狀態(tài)和位置均不相同.

當(dāng)輸入信號(hào)摻雜高斯白噪聲的干擾時(shí)，由于混沌系統(tǒng)本身具有一定的抗噪能力，得到的相態(tài)圖會(huì)變成具有一定鋸齒狀的混沌態(tài)，但其狀態(tài)并未發(fā)生變化.

本文利用系統(tǒng)的混沌態(tài)對(duì)微弱信號(hào)進(jìn)行檢測，其檢測系統(tǒng)的方程為

式中：γsin（ωt）為待檢測微弱信號(hào)；μ（t-ts）為階躍信號(hào)，使待檢測微弱信號(hào)在t=ts時(shí)刻加入系統(tǒng)；s（t）為高斯白噪聲.檢測原理如下：調(diào)整系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)幅值γ0，使得系統(tǒng)處于混沌態(tài)，在不加入待測微弱信號(hào)的情況下，對(duì)系統(tǒng)（1）進(jìn)行仿真，得到相平面的軌跡（x1（t），y1（t））；固定驅(qū)動(dòng)幅值γ0，加入待測微弱信號(hào)γsin（ωt）μ（t-ts），再次對(duì)系統(tǒng)（1）進(jìn)行仿真，再次得到相平面的軌跡（x2（t），y2（t））.由Duffing方程的性質(zhì)可知，該信號(hào)的加入，不一定會(huì)改變系統(tǒng)（1）所處的相態(tài)，但會(huì)在該信號(hào)加載的時(shí)刻起，使相平面的軌道偏離原有軌跡，即Δx=|x2-x1|＞0，Δy=|y2-y1|＞0.檢測該軌跡的偏移值，利用dmey小波[11]對(duì)Δx、Δy信號(hào)進(jìn)行時(shí)域分析，可準(zhǔn)確得出待檢測信號(hào)的起始點(diǎn).

本文采用四階R-K來分析加入待測信號(hào)前后的Duffing方程軌跡的偏離值.

當(dāng)沒有待檢測信號(hào)γ0sin（ωt）時(shí)，系統(tǒng)的方程如式（1）所示，令y=x′，則方程可轉(zhuǎn)化為

采用四階的R-K法進(jìn)行分析，設(shè)f（t，x，y）=x′，g（t，x，y）=y′，則方程轉(zhuǎn)化為

將（4）式代入（5）式化簡，由于采用RK的步長較小，可約去步長h的高階小量，可得

當(dāng)存在待檢測信號(hào)γsin（ωt）時(shí)，則（3）式變?yōu)?/p>

同理采用四階RK法可得

由（2）式中μ（t-ts）為階躍函數(shù)，則可以設(shè)階躍信號(hào)在ts時(shí)刻加入系統(tǒng)，即當(dāng)t=ts時(shí)刻待檢測信號(hào)γsin（ωt）開始加入系統(tǒng)，滿足

如果在t=ts+1時(shí)刻待測信號(hào)未加入系統(tǒng)，則滿足（6）式，即

當(dāng)t=ts+1時(shí)，階躍信號(hào)μ（t-ts）=1，待檢測信號(hào)加入系統(tǒng)，則滿足（8）式，即

將（11）式與（10）式相減，可得待測信號(hào)對(duì)系統(tǒng)造成的軌跡偏離

由（12）式可知，因Δxs中含有h的高階項(xiàng)，利用時(shí)域分析方法對(duì)Δys進(jìn)行分析會(huì)比較容易獲取起始點(diǎn)值.

因此，本文利用dmey小波對(duì)Δys進(jìn)行時(shí)域分析，以獲取系統(tǒng)軌道偏離的起始位置，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)待檢測信號(hào)的起始點(diǎn)進(jìn)行檢測.

文中采用dmey小波即meyer小波[12-13]的表達(dá)式為

其中ν（a）函數(shù)的表達(dá)式為

因文中采用的ω=10 rad/s值并不在上述范圍內(nèi)，故要讓跳變點(diǎn)出現(xiàn)在第一層的話，需要對(duì)（ω）函數(shù)進(jìn)行平移[14].對(duì)ω向右平移2π后可符合（13）式中的第1式，則第1式可變?yōu)?/p>

則相應(yīng)的ν（a′）可變?yōu)?/p>

聯(lián)合（15）式和（16）式，將 ω=10 rad/s代入，可得（10）=26.198 14ei.當(dāng)ω的取值不在（15）式范圍內(nèi)時(shí)，例如ω=1 rad/s時(shí)，（1）=0，因此利用meyer小波對(duì)此進(jìn)行時(shí)域分析會(huì)得到較好的階躍現(xiàn)象，容易獲取跳頻點(diǎn).

則相應(yīng)的ν（a′）可變?yōu)?/p>

2 仿真分析

按照方程（1）建立混沌態(tài)微弱信號(hào)測量系統(tǒng)，為確保系統(tǒng)處于混沌態(tài)，就要先確定系統(tǒng)的閾值γd[15].利用melnikov的定義對(duì)（3）式進(jìn)行分析，可得γ0的下限為γ0＞0.376 5，利用相態(tài)圖進(jìn)行實(shí)驗(yàn)估計(jì)，可得出其閾值上限γd在0.725 616 119 2～0.725 616 119 3之間，即當(dāng)0.725 6＞γ0＞0.376 5時(shí)，系統(tǒng)將處于混沌態(tài)，故仿真中可令γ0=0.625 5＜γd.

當(dāng)k=0.5，ω=10 rad/s時(shí)，仿真得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)，利用MATLAB分別保存此狀態(tài)下不同時(shí)刻各信號(hào)的位置，記為x1，y1.

設(shè)待檢測微弱信號(hào)和高斯白噪聲的混合信號(hào)在ts=37 s時(shí)加入，再次仿真，保存此狀態(tài)下的不同時(shí)刻信號(hào)的位置，記為x2，y2.然后分別求得兩組信號(hào)的差值Δx=|x2-x1|，Δy=|y2-y1|，其時(shí)域圖如圖1所示，由圖中可以準(zhǔn)確得到待檢測微弱信號(hào)的存在.

圖1 待檢測信號(hào)加入系統(tǒng)后軌道前后的偏離時(shí)域圖Fig.1 Time domain chart of track deviation as signal to be adding into system

再利用dmey小波對(duì)信號(hào)的差值進(jìn)行時(shí)域分析，如圖2（a）所示，可以清晰地看到在某時(shí)刻信號(hào)的Δy發(fā)生跳躍，將變化點(diǎn)圖像放大得到圖2（b），讀取數(shù)值可知，信號(hào)在ts=37.001 s時(shí)加入系統(tǒng)，這與初始設(shè)定值基本吻合.

同理，令ω分別取值10、7、1 rad/s時(shí)，當(dāng)ts=21、15、9 s時(shí)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示.

由表1可以看出，采用dmey小波分解方式進(jìn)行時(shí)域分析，能比較準(zhǔn)確地測量出待檢測信號(hào)的起始點(diǎn).測量精度在實(shí)驗(yàn)中能到達(dá)毫秒級(jí)別，實(shí)驗(yàn)誤差較小，證實(shí)了本文方法的有效性.

圖2 經(jīng)dmey小波分析后的時(shí)域圖Fig.2 Time domain chart after dmey wavelet analysis

表1 dmey小波分析結(jié)果Tab.1 Results of dmey wavelet analysis

3 結(jié)束語

本文提出了基于Duffing系統(tǒng)的微弱信號(hào)起始點(diǎn)檢測方法.由于微弱信號(hào)本身不易被直接測量，故采用間接測量的方法，首先將微弱信號(hào)與Duffing系統(tǒng)自身的信號(hào)相疊加，混合測量后剔除其中Duffing系統(tǒng)產(chǎn)生的信號(hào)，再利用dmey小波對(duì)待測信號(hào)加入系統(tǒng)造成的軌道偏離過程進(jìn)行時(shí)域分析.由于混沌系統(tǒng)本身對(duì)高斯噪聲的自免疫特性，因此本方法具有一定的抗噪性.仿真結(jié)果顯示，該方法能有效的從時(shí)域上檢測到微弱信號(hào)的起始點(diǎn)，其相對(duì)誤差可達(dá)到10-3s.這對(duì)于心動(dòng)信號(hào)中第一心音和第二心音的特征提取具有重要意義.

[1] 賴志慧，冷永剛，孫建橋，等.基于Duffing振子的變尺度微弱特征信號(hào)檢測方法研究 [J].物理學(xué)報(bào)，2012，61（5）：050503-1-9.

[2] 何穎.一種新的弱信號(hào)混沌檢測判據(jù)[J].電腦知識(shí)與技術(shù)，2012，8（8）：1891-1893.

[3] 韓振榕.基于混沌振子的微弱信號(hào)測頻研究 [J].蘇州大學(xué)學(xué)報(bào)：工科版，2009，29（6）：55-57.

[4] 范劍，趙文禮，王萬強(qiáng).基于Duffing振子的微弱周期信號(hào)混沌檢測性能研究[J].物理學(xué)報(bào)，2013，62（18）：180502-1-6.

[5] 周玲，田建生，劉鐵軍.Duffing混沌振子用于微弱信號(hào)檢測的研究[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2006，28（10）：1477-1479.

[6] WANG J X，HOU X L.A method of weak signal detection based on duffing oscillator[C]//International Conference on e-Education，e-Business，e-Management and e-Learning.Sanya：IEEE Press，2010.

[7] LIU D W，YAO L.Influence of gauss white noise on the weak signal detection based on chaotic oscillator[C]//Wireless Communications Networking and Mobile Computing（WiCOM）. Chengdu：IEEE Press，2010.

[8] 龐春穎，韓立喜，劉記奎.HHT和提升小波包相結(jié)合的心音信號(hào)識(shí)別研究[J].信號(hào)處理，2014，30（1）：112-118.

[9] 劉萌萌，王敏，熊慧，等.基于EMD方法的心電信號(hào)帶內(nèi)噪聲濾除[J].天津工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，33（4）：62-66.

[10]王永生，姜文志，趙建軍.一種Duffing弱信號(hào)檢測新方法及仿真研究[J].物理學(xué)報(bào)，2008，57（4）：2053-2059.

[11]何坤，李健，喬強(qiáng)，等.非平穩(wěn)環(huán)境下基于小波變換的信號(hào)去噪[J].信號(hào)處理，2005，21（3）：244-248.

[12]GONG J.Application of constructed complex wavelet in power quality disturbances detection[C]//Computing，Control and Industrial Engineering（CCIE）.Wuhan：IEEE Press，2011.

[13]YANG Zhanying，YU Yunxia.A new decomposition of multidimensional tensorial meyer mavelets[J].Journal of Southwest University：Natural Science Edition，2012，34（2）：74-77.

[14]王麗寧，徐妮妮.一種基于標(biāo)準(zhǔn)正交基的小波分解與重構(gòu)的計(jì)算方法[J].天津工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，25（6）：51-53.

[15]張剛，王穎，王源.基于鎖相環(huán)的Duffing振子弱信號(hào)時(shí)域檢測方法研究[J].科學(xué)技術(shù)與工程，2014，14（6）：13-19.

Starting point detection of weak signal in Duffing system

MIAO Chang-yun1，WANG You-xi1，GAO Hua1，MIAO Chun-jiao2
（1.School of Electronics and Information Engineering，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China；2.School of Electronics and Information Engineering，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China）

In order to detect the starting point where a weak signal appears in the system from the time domain，an indirect method which can detect the starting point of weak signal based on Duffing system is propsed.Firstly，the weak signal is added with Duffing signal together，after the mixed signal is measured，the Duffing signal is eliminated from the mixed signal.Sencondly，the dmey wavelet is used to analyze the process of track deviation from the time domain，the starting point can be detected accurately.Because of the immune characteristics of chaotic system itself to Gauss noise，the proposed method has a certain anti-noise.The simulation results show that the proposed method can detect the starting point of the weak signal from time domain effectively，the relative error can reach 10-3s.It can be used to extract the characteristic parameters of heart sounds.

Duffing system；weak signal；starting point detection；dmey wavelet analysis

TN 911.7

A

1671－024X（2015）02－0080－04

2014-10-11

天津市高等學(xué)校科技發(fā)展基金計(jì)劃項(xiàng)目（20110626）

苗長云（1962—），男，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)楝F(xiàn)代通信網(wǎng)絡(luò)與系統(tǒng)、光電檢測技術(shù).E-mail：miaochangyun@tjpu.edu.cn