陶思言，林 達，曾曉輝

（四川理工學院自動化與電子信息學院，四川 自貢 643000）

一種新的多翼蝴蝶超混沌吸引子及其電路設計*

陶思言，林 達，曾曉輝

（四川理工學院自動化與電子信息學院，四川 自貢 643000）

在Lorenz系統(tǒng)的基礎上，通過增加一個狀態(tài)方程，并設計一種新的分段線性函數(shù)，構(gòu)造了一個新的四維超混沌系統(tǒng)。通過數(shù)值仿真，對系統(tǒng)的相圖、Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖進行了研究。結(jié)果表明新的四維超混沌系統(tǒng)能產(chǎn)生六翼蝴蝶超混沌吸引子。最后，設計了相應的電路，電路仿真結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果相一致，驗證了該系統(tǒng)的可實現(xiàn)性。

混沌，Lorenz系統(tǒng)，多翼蝴蝶超混沌吸引子，電路設計

0 引言

自1963年Lorenz構(gòu)造第一個混沌系統(tǒng)以來［1］，人們對構(gòu)造不同數(shù)量和不同形狀的混沌吸引子產(chǎn)生了極大的興趣。目前，人們已能很容易地構(gòu)造出多渦卷混沌吸引子［2-3］、兩翼［4-5］和四翼蝴蝶混沌吸引子［6-8］，但對于構(gòu)造多翼蝴蝶混沌吸引子的相關(guān)報道還較少［9-12］。而多翼蝴蝶混沌吸引子較兩翼、四翼蝴蝶混沌的動力學行為更復雜，因此，研究多翼蝴蝶混沌吸引子具有重要意義。目前，構(gòu)造多翼蝴蝶混沌吸引子已成為國內(nèi)外研究熱點。

2013年，文獻［12］提出一種新的構(gòu)造多翼蝴蝶混沌吸引子的方法，即在三維Lorenz系統(tǒng)的基礎上，通過增加一個狀態(tài)方程和一個分段線性函數(shù)得到了多翼蝴蝶混沌吸引子。而對于該文獻構(gòu)造的混沌系統(tǒng)，其增加了系統(tǒng)的維數(shù)，卻不能產(chǎn)生超混沌吸引子。而超混沌吸引子較混沌吸引子，其動力學行為更復雜。因此，構(gòu)造多翼蝴蝶超混沌吸引子具有重要意義。為此，本文首先設計一個新的關(guān)于狀態(tài)變量x的分段線性函數(shù)，然后在三維Lorenz系統(tǒng)的基礎上，利用該分段線性函數(shù)代替了狀態(tài)變量x，并增加了一個關(guān)于狀態(tài)變量w的一階微分方程，得到了一個能產(chǎn)生六翼蝴蝶超混沌吸引子的超混沌系統(tǒng)。分析了該超混沌系統(tǒng)的基本動力學行為。最后，設計了相應的電子電路，使用Mutltisim 10.0電路仿真軟件進行了電路仿真，電路仿真結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果相一致。

2 多翼蝴蝶超混沌吸引子的構(gòu)造

Lorenz系統(tǒng)的數(shù)學模型如下:

其中a=10,b=8/3,c=28.

在式（1）的基礎上，增加了一個一階微分方程w˙=-hx，并利用符號函數(shù)設計了一個新的分段線性函數(shù)f（x），利用分段線性函數(shù)f（x）代替式（1）和新增加的一階微分方程w˙=-hx的狀態(tài)變量x，得到了一個新的系統(tǒng)：

其中，a,b,c,h,k為系統(tǒng)參數(shù)，分段線性函數(shù)

取 a=10,b=8/3,c=28,h=4.7,k=16，式（2）的 4個Lyapunov指數(shù)值分別為LE1=0.469 8,LE2=0.218 4,LE3=-0.011 7≈0，LE4=-14.343 2，顯然式（2）有兩個大于零的Lyapunov指數(shù)。式（2）處于超混沌狀態(tài)。此時式（2）能產(chǎn)生六翼蝴蝶超混沌吸引子，其在x~z相平面和x~y相平面的相圖如圖1所示。

圖1 六翼蝴蝶超混沌吸引子

3 基本動力學行為

圖2給出了式（2）隨系統(tǒng)參數(shù)h變化的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖。從圖2（a）的Lyapunov指數(shù)譜可以看出，當 h∈［4，5］時，LE1>0，LE2>0，LE3≈0，LE4<0，此時式（2）有兩個 Lyapunov指數(shù)大于零，因此，式（2）處于超混沌狀態(tài)。圖2（b）的分岔圖與Lyapunov指數(shù)譜反映相一致。

圖2 式（2）隨系統(tǒng)參數(shù)h變化的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖

4 多翼蝴蝶超混沌吸引子的電路設計

利用電阻、電容、增益為0.1乘法器AD633JN和運算放大器UA741CN對多翼蝴蝶超混沌式（2）進行電路設計，其電路圖如圖3所示。其中運算放大器的電源電壓E=±15V，輸出飽和值Vsat≈±13.5V。

圖3 多翼蝴蝶超混沌式（2）的電路圖

根據(jù)圖3，可得

取 R1=1 kΩ，根據(jù)式（3）、式（5），可得 R11=R12=14 kΩ，RVI=13.5 kΩ。

取 R=10 kΩ，R0=10 kΩ，C0=10 nF根據(jù)式（2）和式（6），可得 R2=R3=10 kΩ，R4=3.57 kΩ，R5=R9=625 Ω，R6=R7=100 kΩ，R8=37.5kΩ，R10=21.28 kΩ。

根據(jù)圖3，使用Mutltisim 10.0電路仿真軟件進行電路仿真，其電路仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 電路仿真結(jié)果

比較圖4和圖1可知，在系統(tǒng)特性上電路仿真結(jié)果和數(shù)值仿真結(jié)果相一致，驗證了該系統(tǒng)的可實現(xiàn)性。

5 結(jié)論

本文使用符號函數(shù)設計了一個新的分段線性函數(shù)，并利用該分段線性函數(shù)構(gòu)造了一個能產(chǎn)生六翼蝴蝶超混沌吸引子的四維超混沌系統(tǒng)。對該系統(tǒng)進行了數(shù)值仿真和電路仿真，都得到了六翼蝴蝶超混沌吸引子。由于超混沌吸引子較混沌吸引子的動力學行為更復雜，因此，與一般的多翼混沌系統(tǒng)相比，該六翼蝴蝶超混沌系統(tǒng)在工程上具有更大的應用價值。

［1］Lorenz E N.Deterministic Nonperiodic Flow［J］.J.Atmos.Sci.，1963（20）：130-141.

［1］王春華，尹晉文，林愿.基于電流傳輸器的網(wǎng)格多渦卷混沌電路設計與實現(xiàn)［J］.物理學報，2012，61（21）：114-121.

［3］黃沄，羅小華，張鵬.一種新的具有光滑二次函數(shù)多渦卷混沌系統(tǒng)及其FPGA實現(xiàn)［J］.重慶郵電大學學報（自然科學版），2012，24（4）：479-482.

［4］李春來，禹思敏，羅曉曙.一個新的混沌系統(tǒng)的構(gòu)建與實現(xiàn)[J].物理學報，2012，61（11）：127-136.

［5］周小勇.一個新混沌系統(tǒng)及其電路仿真［J］.物理學報，2012，61（3）：71-79.

［6］Yu S，Tang K S.Tetrapterous Butterfly Attractors in Modified Lorenz Systems［J］.Chaos,Solitons,Fractals,2009，41（4）：1740-1749.

［7］Hu G，Yu B.A Hyperchaotic with a Four-wing Attractor［J］.Int.J.Bifurcation and Chaos，2009，20（2）：323-335.

［11］黃沄.一類多翼蝴蝶混沌吸引子及其電路實現(xiàn)［J］.物理學報，2014，63（8）：080505.

［12］羅明偉，羅小華，李華青.一類四維多翼混沌系統(tǒng)及其電路實現(xiàn)［J］.物理學報，2013，62（2）:153-158.

A NovelM ulti-w ing Butterfly Hyper-chaotic Attractorsand Circuit Design

TAOSi-yan，LINDa，ZENGXiao-hui
（School of Automation and Electronic Information Engineering，Sichuan University of Science&Engineering，Zigong 643000，China）

Based on Lorenz system，a novel four-dimension hyper-chaotic system is presented via adding a state equation and designing a new piecewise linear function in this paper.Through the numerical simulation，the phase diagrams，Lyapunov exponential spectrums and bifurcation diagrams of the system are studied.The numerical simulation result shows that the four-dimension hyper-chaotic system is able to generate six-wing butterfly hyper-chaotic attractors.Furthermore，an electronic circuit is designed to implement the system.The circuit simulation results are in agreementwith the numerical simulation results，which verify the realizability of the system.

chaos，Lorenzsystem，multi-wingbutterfly hyper-chaotic attractors，circuitdesign

O415.5

A

1002-0640（2015）11-0170-03

2014-09-16

2014-10-07

四川省人工智能重點實驗室（2011RZJ02）；四川省自貢市科技局重點基金資助項目（2012D09）

陶思言（1981- ），女，四川人，碩士，講師。研究方向：混沌同步及其應用。