湯 志 浩

(河南工業(yè)職業(yè)技術學院 基礎部， 河南 南陽 473009)

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基于Matlab的古塔傾斜數(shù)據(jù)分析及監(jiān)測

湯 志 浩

(河南工業(yè)職業(yè)技術學院 基礎部， 河南 南陽 473009)

利用Matlab對某古塔1986年、1996年、2009年和2011年的觀測數(shù)據(jù)進行了分析，依據(jù)觀測數(shù)值，找出了古塔每層的中心點 ，對古塔的扭曲、彎曲、傾斜等進行了分析，得出了隨著時間的推移，古塔的變形程度會進一步增加的結論.

古塔； 傾斜； 彎曲； 扭曲

文物是國家不可再生的文化資源，尤其是有上千年歷史和文化的古塔，更是我們國家需要重點保護的古建筑.長期以來因各種因素的影響，古塔可能發(fā)生如傾斜、彎曲、扭曲等形變.對古塔的這些變形數(shù)據(jù)進行分析和預測，對我國文化遺產(chǎn)的保護具有重要的意義.本文試用Matlab對這些數(shù)據(jù)進行分析.

1 問題提出

長期以來，古塔因為自身重力、寒暑交替、風化等各種因素的影響，偶爾還可能遭受地震、颶風等自然災害的破壞，可能發(fā)生如傾斜、彎曲、扭曲等各種損壞性形變.為了保護沉淀了上千年厚重歷史、文化的古塔，文物管理部門會定期觀測古塔，記錄不同時期的變形數(shù)據(jù)，以根據(jù)數(shù)據(jù)擬定合適的保護方案.

某地區(qū)有一年代久遠的古塔，屬于國家重點保護的古建筑.某測繪公司按照文物管理部門的要求對該塔進行了4次觀測，分別是1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月.依據(jù)對古塔四年的觀測數(shù)據(jù)，本文將對三個問題進行探討.

問題1：依據(jù)觀測數(shù)值，找出古塔每層的中心點，并給出通用的方法，且將古塔每層中心點的坐標用表格列出來.

問題2：根據(jù)觀測值對古塔的扭曲、彎曲、傾斜等變形程度進行分析.

問題3：結合問題1和問題2，分析和預測古塔的變形趨勢和方向.

2 問題分析

依據(jù)1986年觀測數(shù)據(jù)，在Matlab軟件中做出三維曲線圖[1]，見圖1.

圖1 由1986年數(shù)據(jù)得到的三維曲線

從圖1可以看出，該古塔為八角形，共有13層，外加一個塔尖層，各層的八個觀測點剛好取在古塔的八個角上.

2.1 模型的假設

(1)古塔初建成時，假設每層都與地面平行，八個測試點均在同一高度(z軸坐標相同)，且都在每層的地面上.

(2)在條件(1)的前提下，假設古塔的每層中心均在同一z軸上，即每層中心的x,y坐標相同(因為同一層八個觀測點的z值變化很小).

(3)假設在建塔時塔身嚴格垂直于大地的水平面，則分析該塔時可把塔看作標準的八臺，所以在建造時塔的八條棱等長.

(4)假設各層的觀測點都取在古塔的地面上，而不是在中間的某個點.

(5)假設古塔初建成時，沒有扭曲、彎曲、傾斜、下沉等現(xiàn)象.

(6)本文均以1986年的觀測數(shù)據(jù)作為基準考慮.

2.2 問題1模型的建立與求解

該部分要求依據(jù)觀測數(shù)據(jù)，將古塔每層的中心點找出來，并給出通用的方法，且將古塔每層中心點的坐標用表格列出來.本文取1986年第一層的八個觀測數(shù)據(jù)進行具體計算和分析，數(shù)據(jù)見表1.

表1 1986年第一層八個點的橫縱豎坐標 m

由表1可知，z坐標的數(shù)據(jù)基本接近，因此，可將1986年第一層中心位置的豎(z)坐標取這八個點的平均值，為1.78700，然后用Matlab軟件做出這八個觀測點的x,y(即橫縱坐標)的散點圖[1]，如圖2所示.

圖2 1986年觀測到的第一層數(shù)據(jù)的散點圖

圖1的散點圖，可用一個圓來擬合，如圖3所示.

圖3 第一層數(shù)據(jù)擬合圖

在Matlab軟件中調(diào)用circfit函數(shù)[2]可求出擬合圓的圓心的橫縱坐標和半徑，由表1的數(shù)據(jù)得到的結果如下：

xc=566.65180，

yc=522.69640，

R=2.83090.

其中，xc表示1986年第一層數(shù)據(jù)擬合圓圓心的橫坐標；yc表示1986年第一層數(shù)據(jù)擬合圓圓心的縱坐標；R表示1986年第一層數(shù)據(jù)擬合圓的半徑.

因此，由表1可以得出，1986年古塔第一層中心點的橫縱豎坐標為：(566.65180，522.69640,1.78700).1986年所有觀測點的平面俯視圖如圖4所示.

圖4 1986年觀測點的平面俯視圖

觀察圖4可以看出，每一層上的點都可以用一個圓來擬合，因此，對于1986年觀測的其他12層和塔尖，以及另外三年中的觀測數(shù)據(jù)全部可以采用上面的方法將古塔各層中心點的坐標確定出來.表2-表5給出了四年中各層中心點的坐標數(shù)據(jù).

表2 1986年每層中心點的橫縱豎坐標 m

表3 1996年每層中心點的橫縱豎坐標 m

表4 2009年每層中心點的橫縱豎坐標 m

表5 2011年每層中心點的橫縱豎坐標 m

2.3 問題2模型的建立與求解

2.3.1 傾斜

傾斜是指整體發(fā)生偏離豎向或者水平方向的偏斜.對于本題來說就是古塔偏離豎直方向的角度[3]，圖5為1986年中心點的散點圖.

圖5 1986年中心點的散點圖

由圖5可以看出，中心點基本在一條直線上，因此，本文以古塔中心線偏離豎直方向的角度作為古塔的傾斜角度.先取塔尖和第一層的中心點來進行探討.

再次，把四年的測量數(shù)據(jù)分別代入公式可得古塔四次測量時的傾斜角，見表6.

表6 四次觀測時古塔的傾角

2.3.2 彎曲

構件(經(jīng)常是線狀構件)在外力作用下與中軸線偏轉的狀態(tài)稱為彎曲.

先將問題1求出的結果即四次觀測的各層中點在Matlab中擬合出曲線，并將其方程列出，然后用曲率公式算出四種情況下的曲率作為古塔的彎曲值(曲率是反映曲線偏離直線程度的量).

在Matlab中用三元線性回歸[4]擬合出四條曲線如圖6所示.

圖6 四年中八個中心點的擬合圖

曲線方程如下：

f1(x)=p1*x^5+p2*x^4+p3*x^3+p4*x^2+p5*x+p6.

p1=-4.476，p2=1.068e+004，

p3=-9.828e+006，

p4=4.279e+009，p5=-8.464e+011，p6=5.438e+013.

f2(x)=p1*x^5+p2*x^4+p3*x^3+p4*x^2+p5*x+p6.

p1=-6.88，p2=7003，p3=4.149e+006，

p4=-8.16e+009，p5=3.697e+012，p6=-5.5e+014.

f3(x)=p1*x^5+p2*x^4+p3*x^3+p4*x^2+p5*x+p6.

p1=-1.182，p2=3545，p3=-4.239e+006，

p4=2.528，p5=-7.518e+011，

p6=8.923e+013.

f4(x)=p1*x^5+p2*x^4+p3*x^3+p4*x^2+p5*x+p6.

p1=-4.476，p2=1.068e+004，p3=-9.828e+006，p4=4.279e+009,p5=-8.464e+011，p6=5.438e+013 .

曲率能體現(xiàn)出曲線對直線的偏離程度.在數(shù)學上通常用來反映曲線在某個點處的彎曲幅度.曲率取值越大，曲線彎曲越厲害.因此，本文可以通過計算四條曲線的曲率，使用Matlab軟件計算出各層的彎曲角.結果見表7.

表7 各塔層三次測量的轉角 弧度

2.3.3 扭曲

幾何體因為外力作用發(fā)生橫截面方向的順(逆)時針扭轉的變形狀態(tài)稱為扭曲，從第一層開始幾乎每一層和其上一層都會有微小的傾角，這些小的角度加起來就是扭轉角度，圖7為1986年觀測點對角線連線的俯視圖，如果沒有扭轉，這些對角線的俯視圖應該重合在一條線上，而這些對角線連線的俯視圖呈分散狀態(tài)，說明古塔的扭曲可以用圖中八個分支的角度中最大的那個角度作為古塔的扭曲度.而且，隨著年份的增加，古塔的扭曲程度會越來越大.

圖7 1986年觀測點對角連線俯視圖

通過在Matlab中對數(shù)據(jù)的處理，給出了四年中對角線在水平面上投影產(chǎn)生的傾斜度的最大值，即古塔的扭曲度,見表8.

表8 古塔扭曲角度 弧度

2.4 問題3求解

問題3為分析該古塔的變形趨勢.從問題2的求解可以看出，古塔在四次測量傾角時，與z軸的夾角都達到了4.2度，這個角度隨著各種因素的作用會進一步變大.由圖7可以看出，整個塔身呈現(xiàn)順時針旋轉的扭曲狀態(tài)，四年中古塔在順時針方向上轉動的角度由0.0135變?yōu)?.0139，扭轉角度增加.而且由圖4可知，觀測點在左上角分布稀疏，右下角分布密集，這表明古塔在東南角有下沉的變化趨勢.從圖6對四年古塔的各層中心點的描繪可以看出，古塔的彎曲、扭曲、傾斜在各層、各個方向都存在.因為長期受自身重力、寒暑交替、風化等各種因素的影響，偶爾還要遭受地震、颶風的破壞，古塔的彎曲角度、扭曲角度、傾斜角度、下沉趨勢，如果不人為保護的話，都會進一步變大.

圖8是以1986年的數(shù)據(jù)為例做出的古塔第三層底面的三維圖，它進一步證明了對古塔的扭曲、彎曲、旋轉、傾斜、下沉的變化趨勢分析是正確的.

3 模型的評價與改進

(1)在問題1中用圓來擬合，取圓的中心作為古塔各層的中心位置，這在將來的研究中可以采用橢圓擬合，這樣會更具有一般性，因為圓是橢圓的特例.

(2)運用Matlab和Excel軟件畫圖，進行函數(shù)調(diào)用和編程求解，產(chǎn)生的誤差較小，結果準確、合理.

圖8 1986年古塔第三層底面三維圖

(3)采用函數(shù)擬合法建立的模型原理簡單，符合實際，簡化了算法，計算方便.

(4)所建模型和使用的方法通用性強，對類似的問題均有較強的參考意義.

(5)在計算中心坐標和扭轉角度時充分運用了垂直投影的數(shù)據(jù)處理方法.

[1] 顏文勇.數(shù)學建模[M].北京：高等教育出版社，2011：160-163.

[2] 張志涌,楊祖櫻.Matlab教程[M].北京：北京航空航天大學出版社，2010：130-135.

[3] 胡志曉.古塔傾斜觀測和數(shù)據(jù)分析[J].江蘇建筑,2011(6):34-44.

[4] 韓中庚．數(shù)學建模方法及其應用[M].北京：高等教育出版社，2009:122-123.

責任編輯：金 欣

The Matlab-based data analysis of an ancient tower

TANG Zhi-hao

(Department of Basic Teaching, Henan Polytechnic Institute, Nanyang, Henan 473009, China)

This study is based on the Matlab-based data analyses of a tower in 1986, 1996, 2009 and 2011 in relation to the center point of each of the ancient tower, distortion of the ancient tower, bending, and tilting.

ancient tower; tilting; bending; distortion

2015-05-27

湯志浩 (1980-)，女，湖北十堰人，河南工業(yè)職業(yè)技術學院講師，碩士，研究方向：應用數(shù)學.

1009-4873(2015)04-0015-06

O242.1

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