羅亦泳，姚宜斌，張立亭，周世健，魯鐵定

基于高斯過程的GPS高程轉(zhuǎn)換模型

羅亦泳1，2，姚宜斌2，張立亭1，周世健3，魯鐵定1

( 1．東華理工大學測繪工程學院，江西南昌330013; 2．武漢大學測繪學院，湖北武漢430079; 3．江西省科學院，江西南昌330096)

一、引言

GPS定位技術(shù)具有精度高、速度快、全天候、測站間無須通視等優(yōu)點，能快速提供目標三維坐標，因此在各領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。但由于GPS采用WGS-84坐標系，得到的是目標的大地高H大地，而在實際工程應(yīng)用中采用的是正常高H正常，并且大地高與正常高之間存在高程異常ξ，導致GPS測量得到的高程數(shù)據(jù)不能服務(wù)于實際工程項目而造成數(shù)據(jù)浪費［1-2］。目前通常采用傳統(tǒng)水準測量獲得目標正常高，需要投入較大的人力、物力及財力，并且工作效率較低。因此，如何構(gòu)建GPS高程轉(zhuǎn)換模型，對利用GPS定位技術(shù)快速地為工程建設(shè)提供可靠的正常高數(shù)據(jù)具有重要的現(xiàn)實與理論意義，成為當前GPS研究的重要內(nèi)容。

當前GPS高程轉(zhuǎn)換模型研究成果較為豐富，主要包括多項式擬合、多面函數(shù)法及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等常規(guī)方法。由于這些擬合方法均基于傳統(tǒng)的統(tǒng)計理論，在具有較大的訓練樣本數(shù)據(jù)時，GPS高程轉(zhuǎn)換成正常高具有較好的精度［3-4］。但在實際工程領(lǐng)域，通常具有較少的訓練數(shù)據(jù)(即經(jīng)過水準測量聯(lián)測的GPS高程點較少)，嚴重影響GPS高程轉(zhuǎn)換精度。針對該問題，許多學者基于支持向量機構(gòu)建GPS高程轉(zhuǎn)換模型，對小樣本數(shù)據(jù)具有較好的高程轉(zhuǎn)換精度［5-6］。但是支持向量機存在核函數(shù)選擇及參數(shù)優(yōu)化問題，并且損失函數(shù)構(gòu)建對模型影響較大。綜上所述，當前GPS高程轉(zhuǎn)換模型對處理小樣本問題在精度、可靠性方面有待提高，并且很少對模型預測結(jié)果進行不確定分析。因此，如何構(gòu)建基于小樣本、參數(shù)自適應(yīng)、具有概率意義的GPS高程轉(zhuǎn)換模型具有重要研究價值。

高斯過程( Gaussian process，GP)是近期發(fā)展的基于統(tǒng)計學習理論的機器學習新方法，適合處理高維數(shù)、小樣本、非線性等復雜問題，并且模型參數(shù)自適應(yīng)化，具有概率式的預測結(jié)果，是當今國內(nèi)外機器學習領(lǐng)域研究熱點［7-8］。鑒于GP算法的以上特點，本文提出基于高斯過程的GPS高程轉(zhuǎn)換模型。通過與其他GPS高程轉(zhuǎn)換模型進行精度對比，以證實新方法的可行性及可靠性。

二、GPS高程轉(zhuǎn)換的GP方法建立

利用GP算法建立目標高程異常ξ與其對應(yīng)的平面坐標( x，y)之間的復雜函數(shù)關(guān)系，構(gòu)建基于GP 的GPS高程轉(zhuǎn)換模型。利用該模型求解其余GPS高程點對應(yīng)的高程異常ξ，實現(xiàn)大地高與正常高之間的轉(zhuǎn)換。

1．高斯過程學習回歸模型基本原理

GP算法定義任意一組隨機變量X = { xi∈Rd，i=1，2，…，N}及其對應(yīng)的過程函數(shù)f( X) = { f( xi)∈R，i= 1，2，…，N}的聯(lián)合概率密度分布服從N維高斯分布。因此，高斯過程f( X)完全由其均值函數(shù)m( X)與協(xié)方差函數(shù)K( X，X')確定［9-10］。高斯過程可表示為式中，核函數(shù)K( X，X')為正半定矩陣。

假設(shè)有觀測訓練數(shù)據(jù)集E = { ( xi，yi)，i = 1，2，…，n}，xi為模型輸入，yi為受到噪聲影響的模型輸出觀測值，噪聲服從分布ε～N( 0，σ2n)。則yi可表示為

從式( 1)、式( 2)可推導y的分布，具體概率分布見式( 3)，其中In為n階單位矩陣。

對于新的輸入X*，預測對應(yīng)的輸出為y*，y與y*的聯(lián)合概率分布為

由以上公式，可得到預測值y*的后驗概率分布

式中，u( X*)、σ2y*為y*的期望與方差，即

建立訓練樣本集E的對數(shù)邊緣似然函數(shù)，對超參數(shù)求偏導，采用共軛梯度優(yōu)化方法搜索出模型的超參數(shù)最優(yōu)解，自適應(yīng)確定模型參數(shù)，最終構(gòu)建高斯過程回歸模型。

2．GPS高程轉(zhuǎn)換模型建立

以GPS高程點平面位置( x，y)作為GP算法的輸入，對應(yīng)的高程異常ξ為模型輸出，構(gòu)建訓練數(shù)據(jù)集S={ Xi，ξi}，其中Xi=( xi，yi)，i= 1，2，…，n，n為訓練數(shù)據(jù)個數(shù)。通過GP模型對訓練數(shù)據(jù)的學習，確定對應(yīng)參數(shù)，建立高程異常ξ預測模型。通過GPS高程減去高程異常預測值將GPS高程轉(zhuǎn)換成正常高?；贛atlab語言和GP的GPS高程轉(zhuǎn)換模型具體建立過程如下:

1)建立訓練數(shù)據(jù)集S = { Xi，ξi}ni=1及測試數(shù)據(jù)集D={ Xj，ξj}Tj=1，并對S、D進行歸一化。

2)選擇協(xié)方差函數(shù)K( X，X')，確定模型超參數(shù)解算方法。依據(jù)文獻［7］對協(xié)方差函數(shù)的分析結(jié)果，通過反復試算選擇Materniso協(xié)方差函數(shù)，采用共軛梯度優(yōu)化方法搜索出模型的超參數(shù)最優(yōu)解。

3)訓練數(shù)據(jù)集S訓練GP算法，確定模型超參數(shù)。對S、D數(shù)據(jù)集的高程異常進行預測，獲得對應(yīng)的高程異常預測值ξi、ξj，以及對應(yīng)方差σ2ξ'i、σ2ξ'j。

4)將GPS高程減去高程異常預測值ξ'，預測GPS點的正常高

5)計算模型的內(nèi)附精度σ內(nèi)及外符精度σ外，評價模型精度

6)由GP算法估計得到的高程異常期望與方

差(ξi'、ξj'、σ2ξ'i、σ2ξ'j)可計算H常'的置信區(qū)間，分析預測結(jié)果的可靠性。以95%置信度的置信區(qū)間為例，建立GP算法置信區(qū)間估計公式( 11)，其中zθ/2= 1．96［11］。

三、實例分析

1．建模數(shù)據(jù)方案建立

以某沿江地形平緩區(qū)域的GPS控制網(wǎng)為例，控制網(wǎng)包含17個控制點，平均邊長約1 km，區(qū)域面積約10 km2［6］。按國家GPS網(wǎng)B級要求實測，采用二等水準聯(lián)測各GPS點，通過計算獲得17個GPS點的平面坐標、大地高、正常高、高程異數(shù)據(jù)，具體數(shù)據(jù)見表1。

表1 GPS點平面坐標、高程數(shù)據(jù) m

續(xù)表1

由于不同訓練數(shù)據(jù)集對GPS高程轉(zhuǎn)換模型精度具有較大影響，選擇不同數(shù)量的訓練數(shù)據(jù)集及測試數(shù)據(jù)集，構(gòu)建4種建模數(shù)據(jù)方案( plan1、plan2、plan3、plan4)，評價GP模型可靠性，具體方案見表2。本文同時采用平面擬合、二次曲面擬合、支持向量機( SVM)方法建立GPS高程轉(zhuǎn)換模型，并與GP方法進行精度對比，證實新方法的精度優(yōu)越性。

表2 建模數(shù)據(jù)方案

2．模型精度及可靠性分析

針對以上4種方案，分別基于平面擬合、二次曲面擬合、支持向量機、高斯過程算法建立GPS高程轉(zhuǎn)換模型，計算不同方案的各GPS高程轉(zhuǎn)換模型的內(nèi)附精度σ內(nèi)及外符精度σ外，對比評價模型預測精度，具體數(shù)據(jù)見表3。

表3 GPS高程轉(zhuǎn)換模型精度 mm

由表3可知，對于訓練數(shù)據(jù)較少的plan1、plan2方案，高斯過程模型的內(nèi)附精度及外符精度明顯優(yōu)于平面擬合、二次曲面擬合、支持向量機方法，證實高斯過程模型能很好地處理小樣本數(shù)據(jù)問題，具有很好的預測精度。當訓練數(shù)據(jù)較多時，對于plan3、plan4方案，高斯過程模型精度與支持向量機相當，略優(yōu)于二次曲面擬合，較大程度地優(yōu)于平面擬合。

由式( 11)可計算GP算法各方案的GPS高程轉(zhuǎn)換結(jié)果的置信區(qū)間。表4、表5、表6、表7分別為各方案的95%置信度的置信區(qū)間。

將各GPS高程點實測正常高與各方案的GP模型置信區(qū)間數(shù)據(jù)(表4、表5、表6、表7)進行對比，實測正常高均落在各方案GP算法估計得到的置信區(qū)間內(nèi)，證實基于GP的GPS高程轉(zhuǎn)換模型對不同數(shù)量特征訓練集具有可靠的建模精度，證實了新方法的可靠性。

表4 plan1方案置信區(qū)間 m

表5 plan2方案置信區(qū)間估計m

表6 plan3方案置信區(qū)間估計 m

表7 plan4方案置信區(qū)間估計m

四、結(jié)論

本文提出了基于GP的GPS高程轉(zhuǎn)換模型，并構(gòu)建了不同的建模方案。通過與多種GPS高程轉(zhuǎn)換模型進行精度對比及置信區(qū)間分析，得到以下結(jié)論:

1)基于GP的GPS高程轉(zhuǎn)換模型針對4種方案均取得很高精度。當訓練數(shù)據(jù)較少時，GP方法的內(nèi)附精度σ內(nèi)及外符精度σ外明顯優(yōu)于平面擬合、二次曲面擬合、支持向量機方法，證實GP模型處理小樣本GPS高程轉(zhuǎn)換問題具有很高的精度。

2)通過建立基于GP的GPS高程轉(zhuǎn)換結(jié)果的置信區(qū)間估計方法，計算4種方案的正常高轉(zhuǎn)換結(jié)果置信區(qū)間。實測正常高均在置信區(qū)間內(nèi)，證實新方法的結(jié)果具有很高的可靠性。同時彌補了當前GPS高程轉(zhuǎn)換方法很少對預測結(jié)果進行可靠性分析這一缺點。

［1］ 胡伍生，華錫生，張志偉．平坦地區(qū)轉(zhuǎn)換GPS高程的混合轉(zhuǎn)換方法［J］．測繪學報，2002，31( 2) : 128-134．

［2］ 胡伍生，高成發(fā)．GPS測量原理及其應(yīng)用［M］．北京:人民交通出版社，2004．

［3］ 楊明清，靳蕃，朱達成，等．用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法轉(zhuǎn)換GPS高程［J］．測繪學報，1999，28( 4) : 301-307．

［4］ 楊天宇．基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的GPS高程異常擬合及其在杭州灣跨海大橋中的應(yīng)用［D］．成都:西南交通大學，2006．

［5］ 吳兆福，宮鵬，高飛，等．基于支持向量機的GPS似大地水準面擬合［J］．測繪學報，2004，33( 4) : 303-307．

［6］ 叢康林，岳建平．基于SVR的GPS高程擬合模型研究［J］．測繪通報，2011( 2) : 8-12．

［7］ RASMUSSEN C E，VVILLIAMS K．Gaussian Process for Machine Learning［M］．［S．l．］: The MIT Press，2006．

［8］ GIBBS M N．Bayesian Gaussian Processes for Regression and Classification［D］．( PhD Thesis) Cambridge: Universityof Cambridge，1997．

［9］ KOCIAN J，AZMAN K．Gaussian Process Model Identification: a Process Engineering Case Study［J］．Systems Science，2008，34( 3) : 31-38．

［10］賀建軍．基于高斯過程模型的機器學習算法研究及應(yīng)用［D］．大連:大連理工大學，2012．

［11］盧獻健，晏紅波，梁月吉，等．各組合模型在GPS高程擬合中的應(yīng)用研究［J］．測繪通報，2015( 5) : 20-23．

［12］羅玉彬，牛冉雯．樣本數(shù)據(jù)歸一化對GPS高程轉(zhuǎn)化結(jié)果的影響分析［J］．測繪通報，2013( 8) : 33-35．

［13］ 盛驟，謝式千，潘承毅．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(新版) ［M］．北京:高等教育出版社，2010．

GPS Height Transformation Model Based on Gaussian Process

LUO Yiyong，YAO Yibin，ZHANG Liting，ZHOU Shijian，LU Tieding

針對GPS高程轉(zhuǎn)換的小樣本、非線性特點，基于高斯過程算法提出了具有概率意義的GPS高程轉(zhuǎn)換模型。利用高斯過程采用4種不同建模方案建立了GPS高程轉(zhuǎn)換模型，并與平面擬合、二次曲面擬合、支持向量機方法進行了精度對比。同時構(gòu)建了基于高斯過程的GPS高程轉(zhuǎn)換結(jié)果置信區(qū)間估計方法，分析了結(jié)果的可靠性。實例分析證實，高斯過程方法針對4種方案均獲得很高精度，并且精度指標優(yōu)于其余3種方法;各GPS點的實測正常高均在置信區(qū)間內(nèi)，證實高斯過程方法具有很好的可靠性。

高斯過程;高程轉(zhuǎn)換;高程異常

羅亦泳( 1982—)，男，博士生，講師，主要從事測繪數(shù)據(jù)處理理論與方法研究工作。E-mail: ecityyluo@ 163．com

羅亦泳，姚宜斌，張立亭，等．基于高斯過程的GPS高程轉(zhuǎn)換模型［J］．測繪通報，2015( 11) : 11-14．

10．13474/j．cnki．11-2246．2015．0335

P228．4

B

0494-0911( 2015) 11-0011-04

2015-04-17;

2015-07-10

國家自然科學基金( 41374007) ;江西省自然科學基金( 20151BAB213031)