魏 來，贠 超 ，楊學(xué)兵

(北京航空航天大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京100191)

0 引 言

在工業(yè)生產(chǎn)線上，工業(yè)機(jī)械臂的應(yīng)用可以提高工作效率，保證產(chǎn)品的穩(wěn)定性，并改善工人的工作條件，因此，目前工業(yè)機(jī)械臂已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用在自動(dòng)化生產(chǎn)過程中。為了滿足自動(dòng)化生產(chǎn)中更加精細(xì)的作業(yè)需求，如何提高機(jī)械臂的控制精度成為當(dāng)今該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。針對(duì)軌跡型機(jī)械臂，例如焊接機(jī)器人，對(duì)如何提高其軌跡精度進(jìn)行研究是重點(diǎn)之一。

機(jī)械臂是一個(gè)非線性的時(shí)變系統(tǒng)，在非線性控制理論中，計(jì)算力矩法［1-2］是一種比較適用于機(jī)械操作臂的控制方案。通過這種方法建立的控制器能夠抑制擾動(dòng)，并能保證機(jī)械臂在任何姿態(tài)下都能夠跟蹤目標(biāo)軌跡。通過建立機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程，機(jī)械臂系統(tǒng)被解耦和線性化，最終各個(gè)關(guān)節(jié)表現(xiàn)為獨(dú)立的二階系統(tǒng)。實(shí)現(xiàn)這種控制方法的前提是能夠建立足夠精確的動(dòng)力學(xué)模型，然而在實(shí)際中很難做到這一點(diǎn)，例如，難以確定摩擦模型的結(jié)構(gòu)。此外，隨著機(jī)器人老化，動(dòng)力學(xué)參數(shù)會(huì)變得不具有重復(fù)性，而且當(dāng)機(jī)械臂抓持不同工具或工件時(shí)，工具或工件的慣量也會(huì)改變機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)特性。

有缺陷的動(dòng)力學(xué)模型會(huì)造成機(jī)械臂的伺服誤差，導(dǎo)致控制精度下降。針對(duì)這一問題的研究，已經(jīng)有部分學(xué)者取得了一定的成果。

文獻(xiàn)［3］應(yīng)用了一種自適應(yīng)方法，并證明了這種方法的全局穩(wěn)定性。這種方法依據(jù)機(jī)械臂的狀態(tài)和伺服誤差，系統(tǒng)調(diào)整動(dòng)力學(xué)模型中的參數(shù)值，學(xué)習(xí)系統(tǒng)本身的動(dòng)力學(xué)特性。隨著人工智能技術(shù)的發(fā)展，后續(xù)的研究中人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊控制［4-8］等技術(shù)被逐漸應(yīng)用在機(jī)械臂控制技術(shù)中，以減小有缺陷模型帶來的影響。Miyamoto［9］將反饋誤差學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用在機(jī)械臂軌跡控制中。文獻(xiàn)［10］中，設(shè)計(jì)了一個(gè)魯棒模糊控制器用來穩(wěn)定一類可解的非線性廣義系統(tǒng)，這種方法對(duì)于機(jī)械臂適用。文獻(xiàn)［11-13］將模糊PID 控制器應(yīng)用到機(jī)械臂上。這些方法都能夠在沒有精確模型和參數(shù)的條件下處理高度復(fù)雜的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。

線性二次型(LQR)易于實(shí)現(xiàn)且具有工程性，計(jì)算和實(shí)現(xiàn)更為容易［14］，已被廣泛運(yùn)用在工程中，運(yùn)用線性二次調(diào)節(jié)器［15-16］，通過收集先前動(dòng)作中的伺服誤差信息生成誤差修正項(xiàng)，消除動(dòng)力學(xué)模型不精確引起的伺服誤差。整個(gè)學(xué)習(xí)型控制器保持了原有基于動(dòng)力學(xué)模型的非線性控制器結(jié)構(gòu)，經(jīng)過反復(fù)訓(xùn)練，通過提高機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間的運(yùn)動(dòng)精度，達(dá)到提高軌跡精度的目的。該方法適用于做重復(fù)性工作的機(jī)械臂，當(dāng)其需要完成新的任務(wù)時(shí)，之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)將失去作用。

筆者的研究過程包括一個(gè)兩關(guān)節(jié)機(jī)械臂的仿真過程，以及在實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，經(jīng)驗(yàn)證該方法能夠起到抑制伺服誤差、提高軌跡精度的作用。

1 機(jī)械臂控制器

具有學(xué)習(xí)功能的控制器是在基于動(dòng)力學(xué)模型的非線性控制方法的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)的。

機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程可以表述為如下形式:

式中:τ—n ×1 的關(guān)節(jié)力或力矩組成的矢量;Q—n ×1的關(guān)節(jié)當(dāng)前位置矢量;M(Q)—機(jī)械臂的n ×n 慣量矩陣;V(Q，)—n×1 的離心力和科氏力矢量;G(Q)—n×1 的重力矢量;F—n×1 的摩擦力矢量;n—機(jī)器人的自由度數(shù)［17］。

當(dāng)本研究控制機(jī)械臂時(shí)，基于模型參數(shù)建立的動(dòng)力學(xué)方程為:

由于很難建立正確的摩擦模型，一般的控制器不包含摩擦模型。

采用線性化解耦控制律，令:

其中:

式中:Qd—n×1 的關(guān)節(jié)目標(biāo)位置矢量;E，—n ×1 維的位置誤差和速度誤差矢量;矩陣Kv，Kp—n ×n 的對(duì)角矩陣，對(duì)角線元素分別為表示為kvi和kpi。

E 的表達(dá)式為:

將式(1，3)聯(lián)立，可得到系統(tǒng)的閉環(huán)特性的誤差方程為:

在基于模型的非線性控制方法中，通常將模型考慮為絕對(duì)精確，因此式(8)的右側(cè)為零，此時(shí)閉環(huán)特性的誤差方程變?yōu)?

由于Kv和Kp是對(duì)角陣，此時(shí)機(jī)械臂可以被很好地解耦和線性化。式(9)可寫成各關(guān)節(jié)獨(dú)立的形式:

最終得到的控制系統(tǒng)如圖1 所示。

光滑的目標(biāo)軌跡是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，以關(guān)節(jié)角度Qd、角速度、角加速度矩陣的方式給出，整個(gè)系統(tǒng)可以準(zhǔn)確地跟蹤期望軌跡。

圖1 基于模型的具有學(xué)習(xí)功能的機(jī)械臂控制器

上述便是基于模型的線性化解耦控制律，也稱為計(jì)算力矩法。

然而通常情況下，精確的動(dòng)力學(xué)模型很難得到。由于實(shí)際參數(shù)與模型參數(shù)的不一致，即式(8)右側(cè)不為零，這將會(huì)引起伺服誤差，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)。可以考慮在控制系統(tǒng)中增加一個(gè)誤差修正項(xiàng)U，此時(shí)閉環(huán)特性的誤差方程變?yōu)?

式中:誤差修正項(xiàng)U—n ×1 的向量，形式為U =［u1，…，un］T。

如果修正項(xiàng)U 能夠與式(8)右側(cè)相等，便能補(bǔ)償模型與實(shí)際的偏差，閉環(huán)特性的誤差方程仍能保持為式(9)的形式，系統(tǒng)仍舊能夠得到很好地解耦和線性化。

因此，如圖1 所示，本研究要在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，引入線性二次調(diào)節(jié)器以生成誤差修正項(xiàng)U。

2 線性二次調(diào)節(jié)器

機(jī)械臂的控制系統(tǒng)以一定的頻率運(yùn)行，機(jī)器人的各個(gè)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角度Qd、角速度、角加速度矩陣以離散點(diǎn)的形式以一定的頻率發(fā)送。因此，誤差補(bǔ)償項(xiàng)U 也是離散發(fā)送的，可以將其考慮成離散時(shí)間決策的有限階段馬爾可夫決策過程模型。

模型包含4 個(gè)元素(S，A，Psa，R):

S—可能的狀態(tài)集合，

A—可能的動(dòng)作集合，

Psa—狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率分布函數(shù)，

R—懲罰函數(shù)。

由于LQR 可以應(yīng)用在有缺陷的模型中，只要調(diào)節(jié)次數(shù)足夠多，仍能夠起到理想的效果。LQR 的這一特性很好地解決了難以得到機(jī)械臂精確動(dòng)力學(xué)方程的問題。

在有缺陷的模型中忽略模型誤差，閉環(huán)特性的誤差方程可表示為:

換成獨(dú)立關(guān)節(jié)的形式，第i 個(gè)關(guān)節(jié)的誤差方程為:

將該二階系統(tǒng)設(shè)計(jì)為臨界阻尼系統(tǒng)，即保證二階系統(tǒng)的極點(diǎn)是兩個(gè)相等的實(shí)根。此時(shí)，系統(tǒng)將以最短的時(shí)間運(yùn)動(dòng)到平衡位置而不出現(xiàn)震蕩。因此，控制增益設(shè)定為:

此時(shí)，微分方程(12)的通解為:

若初始條件為ei(0)和(0)，可得:

將式(16)代入式(15)，得到特解:

將式(17)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得:

式中:

在b 和Δt 確定后矩陣A 和B 是常數(shù)矩陣，因此機(jī)械臂控制系統(tǒng)是一個(gè)離散的線性系統(tǒng)，且在當(dāng)前狀態(tài)xk-1和動(dòng)作uk-1確定的條件下，下一時(shí)刻狀態(tài)xk是確定的，即狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率分布函數(shù)Psa=1。

利用LQR 產(chǎn)生最優(yōu)控制策略，其中懲罰函數(shù)是狀態(tài)xk和動(dòng)作uk的函數(shù)，即:

因此，機(jī)械臂單關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)過程性能指標(biāo)可以表示為:

通過運(yùn)算求最優(yōu)控制動(dòng)作序列uk(k =1，…，N)，使性能指標(biāo)最小。式(22)中可以起到抑制伺服誤差的作用;另一項(xiàng)用來抑制動(dòng)作幅度，以防止過度調(diào)節(jié)。

使性能指標(biāo)最小的動(dòng)作序列可以用下面的公式求得:

其中:

Pk可以通過逆向迭代的方式，用Riccati 方程［18］求得，即:

初始條件是:

線性二次型調(diào)節(jié)器對(duì)每個(gè)關(guān)節(jié)分開運(yùn)算，通過提高每個(gè)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)空間軌跡精度，以提高機(jī)械臂末端的軌跡精度。當(dāng)機(jī)械臂重復(fù)同一動(dòng)作時(shí)，每運(yùn)行一次便可采集k 關(guān)節(jié)的伺服誤差eik與ik，并生成一組誤差修正項(xiàng)。

值得注意的是，新生成的誤差修正項(xiàng)要累加到之前的誤差修正項(xiàng)的和中，在下次運(yùn)行時(shí)對(duì)模型誤差做出修正。這樣通過重復(fù)訓(xùn)練，整個(gè)機(jī)械臂可以逐漸接近于式(9)中理想的系統(tǒng)，直到伺服誤差足夠小時(shí)可以停止訓(xùn)練。

3 算例仿真

用ADAMS 軟件進(jìn)行仿真，建立一個(gè)簡(jiǎn)單的兩個(gè)自由度(2DOF)機(jī)械臂。兩自由度機(jī)械臂仿真如圖2 所示。

圖2 兩自由度機(jī)械臂仿真

兩個(gè)連桿質(zhì)量均勻分布且參數(shù)相同，均為:

長(zhǎng)l=0．4 m，

寬0．04 m，

厚0．02 m，

質(zhì)量m=2．693 kg，

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量CI=4．2 ×10-2kg·m2，

控制增益設(shè)定為kpi=100，kvi=20。

為了驗(yàn)證控制算法對(duì)動(dòng)力學(xué)模型誤差的補(bǔ)償，本研究設(shè)定有誤差參數(shù)包括:將兩桿質(zhì)量設(shè)置為3 kg，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)置為CI=3．8 ×10-2kg·m2。

如圖2 所示，控制機(jī)械臂末端從點(diǎn)(400，400)沿直線運(yùn)動(dòng)到(-400，400)，經(jīng)過軌跡規(guī)劃，關(guān)節(jié)角度、角速度、角加速度如圖3 所示。

將該機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程表示為式(1)的形式，其中:

本研究建立如圖1 中所示的控制系統(tǒng)，并進(jìn)行多次運(yùn)動(dòng)仿真，并采集前一次運(yùn)動(dòng)過程中的速度與位置偏差在下次運(yùn)行時(shí)進(jìn)行誤差修正。

ADAMS 動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果如圖2 所示，可以看出兩自由度(2DOF)機(jī)械臂末端軌跡逐漸接近目標(biāo)軌跡。這是由于經(jīng)過四次調(diào)節(jié)，在關(guān)節(jié)空間實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡與目標(biāo)軌跡的角度偏差逐漸減小，使得機(jī)械臂末端在笛卡爾空間中的軌跡精度得到提高。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖4 所示。這是一個(gè)典型的機(jī)器人關(guān)節(jié)，由交流伺服電機(jī)通過同步齒形帶驅(qū)動(dòng)諧波減速器帶動(dòng)負(fù)載進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。

由于該算法分別針對(duì)單個(gè)關(guān)節(jié)進(jìn)行調(diào)節(jié)，單關(guān)節(jié)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)可以用于驗(yàn)證算法的可行性。

圖4 算法實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

本研究將關(guān)節(jié)角度目標(biāo)軌跡設(shè)定為q =40·［1-cos(πt/3)］。關(guān)節(jié)角度軌跡誤差隨著調(diào)節(jié)次數(shù)增加的變化情況如圖5 所示。

圖5 伺服誤差

最終得到的電機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如圖6 所示。整個(gè)過程電機(jī)速度較為接近標(biāo)準(zhǔn)的正弦曲線。參考圖5 和圖6可以看到，當(dāng)正向運(yùn)動(dòng)時(shí)伺服誤差為負(fù)，反向運(yùn)動(dòng)時(shí)伺服誤差為正。經(jīng)分析，該誤差是由于在動(dòng)力學(xué)模型中忽略了摩擦想所致。

調(diào)解中的關(guān)節(jié)角度誤差如表1 所示。

圖6 電機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

由圖5 和表1 可知，經(jīng)過了4 次調(diào)節(jié)，由于動(dòng)力學(xué)模型偏差被逐漸補(bǔ)償了，伺服誤差大約減小了1/3，軌跡精度逐漸提高。實(shí)驗(yàn)結(jié)果很好地證明了該方法能夠提高機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)精度。

表1 調(diào)解過程中的關(guān)節(jié)角度誤差

5 結(jié)束語

本研究提供了一種補(bǔ)償機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型誤差的方法，將誤差修正項(xiàng)的確定歸納為有限階段馬爾可夫決策過程模型，并利用線性二次調(diào)節(jié)器(LQR)確定了最優(yōu)的控制方案。該方法適用于機(jī)械臂的計(jì)算力矩控制法，能夠有效地提高機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間的軌跡精度，可應(yīng)用于做重復(fù)工作的機(jī)械臂中。但是，該方法對(duì)于經(jīng)常執(zhí)行新任務(wù)的機(jī)械臂不適用。

本研究經(jīng)過對(duì)兩自由度機(jī)械臂仿真以及在機(jī)械臂單關(guān)節(jié)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上的實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了該方法的可行性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，伺服誤差的減小速度很快。

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