唐普英，陳鵬宇

(電子科技大學(xué) a.光電信息學(xué)院;b.通信與信息工程，成都 610054)

·課程教學(xué)改革·

線性時(shí)不變系統(tǒng)特性的教學(xué)方法探討

唐普英a，陳鵬宇b

(電子科技大學(xué) a.光電信息學(xué)院;b.通信與信息工程，成都 610054)

線性時(shí)不變LTI系統(tǒng)是一種很重要的系統(tǒng)，它具有4個(gè)特性：無(wú)記憶性、因果性、穩(wěn)定性和可逆性。按常用的信號(hào)與系統(tǒng)教材中介紹的方法講授LTI系統(tǒng)特性，學(xué)生不容易理解所講授的內(nèi)容。授課過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，若利用卷積和的交換律，把LTI系統(tǒng)的輸出分為3個(gè)部分：與將來(lái)的輸入有關(guān)的輸出、與當(dāng)前的輸入有關(guān)的輸出和與過(guò)去的輸入有關(guān)的輸出；然后根據(jù)LTI系統(tǒng)特性的定義，結(jié)合系統(tǒng)的輸出與輸入關(guān)系，先推導(dǎo)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的特性，再將其結(jié)論應(yīng)用到連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)，則LTI系統(tǒng)特性教師既容易講解清楚，學(xué)生也容易理解透徹，取得了良好的教學(xué)效果。

線性時(shí)不變系統(tǒng)系統(tǒng); 系統(tǒng)特性; 離散時(shí)間; 連續(xù)時(shí)間

在信號(hào)與系統(tǒng)課程中，LTI系統(tǒng)是一類非常重要的系統(tǒng)。LTI系統(tǒng)具有4個(gè)特性：無(wú)記憶性、因果性、穩(wěn)定性和可逆性。LTI系統(tǒng)又分連續(xù)的和離散的，按常用的信號(hào)與系統(tǒng)教材[1-6]中介紹的方法講授LTI系統(tǒng)特性時(shí)，學(xué)生不容易理解所講授的內(nèi)容。

已知離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的單位數(shù)字沖激序列響應(yīng)為h[n]，若輸入序列為x[n]，則系統(tǒng)的輸出序列等于單位數(shù)字沖激序列響應(yīng)h[n]和輸入序列的卷積和x[n]*h[n],即：

x[-2]h[n+2]+x[-1]h[n+1]+x[0]h[n]+x[1]h[n-1]+x[2]h[n-2]+…

(1)

對(duì)于連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)，已知其單位沖激響應(yīng)為h(t)，若輸入為x(t)，則系統(tǒng)的輸出信號(hào)等于x(t)與h(t)的卷積積分，即：

(2)

常用的信號(hào)與系統(tǒng)教材根據(jù)式(1)和式(2)的表示，就直接給出LTI系統(tǒng)特性對(duì)系統(tǒng)沖激響應(yīng)h[n]或h(t)應(yīng)該滿足的條件，學(xué)生覺(jué)得不容易理解這些條件。授課過(guò)程中每次講授到此部分內(nèi)容時(shí)，總有學(xué)生提出疑問(wèn)。

在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：若利用“卷積和”的交換律，則可以把式(1)的系統(tǒng)輸出分為3個(gè)部分(如式(4)所示)：與將來(lái)的輸入有關(guān)的輸出、與當(dāng)前的輸入有關(guān)的輸出和與過(guò)去的輸入有關(guān)的輸出。

實(shí)際上，利用“卷積和”的交換律，式(1)可以表示為：

y[n]=x[n]*h[n]=h[n]*x[n]=

(3)

把式(2)右邊的“求和表達(dá)式”展開(kāi)后，得到：

(4)

由式(4)可以很容易地識(shí)別出，LTI系統(tǒng)的輸出由3個(gè)部分組成：第1部分是與將來(lái)的輸入有關(guān)的輸出；第2部分是與當(dāng)前的輸入有關(guān)的輸出；第3部分是與過(guò)去的輸入有關(guān)的輸出。

然后根據(jù)LTI系統(tǒng)特性的定義，結(jié)合系統(tǒng)的輸出與輸入關(guān)系，先推導(dǎo)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的特性，其次再將其結(jié)論推廣到連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)，則教師容易講解清楚LTI系統(tǒng)特性，學(xué)生也容易理解這些特性。

1 LTI系統(tǒng)的無(wú)記憶性

根據(jù)LTI系統(tǒng)無(wú)記憶性的定義：若系統(tǒng)的輸出僅僅與當(dāng)前時(shí)刻的輸入有關(guān)，則該系統(tǒng)是無(wú)記憶系統(tǒng)。也就是說(shuō)：無(wú)記憶系統(tǒng)的輸出與過(guò)去的輸入，以及將來(lái)的輸入均無(wú)關(guān)。那么LTI系統(tǒng)的無(wú)記憶性對(duì)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的要求條件是什么？

從式(4)可以看出，為了使得系統(tǒng)的輸出y[n]只與x[n]有關(guān)，則式(4)等號(hào)右邊的第1部分和第3部分應(yīng)該不出現(xiàn)，即要求：h[n]=0，n≠0。因此，離散時(shí)間LTI無(wú)記憶系統(tǒng)的輸出y[n]=h[0]x[n]，其中h[0]表示某一參量，可用K來(lái)表示。所以離散時(shí)間LTI無(wú)記憶系統(tǒng)的輸出也可以表示為y[n]=Kx[n]。故離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的無(wú)記憶性應(yīng)滿足條件：

h[n]=Kδ[n]

(5)

式中，δ[n]表示離散時(shí)間的單位沖激信號(hào)。把上述結(jié)論推廣到連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)，得到連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的無(wú)記憶性應(yīng)滿足條件：

h(t)=Kδ(t)

(6)

式中，δ(t)表示連續(xù)時(shí)間的單位沖激信號(hào)。

2 LTI系統(tǒng)的因果性

根據(jù)LTI系統(tǒng)因果性的定義：若系統(tǒng)的輸出與當(dāng)前時(shí)刻的輸入和過(guò)去的輸入有關(guān)，或系統(tǒng)的輸出僅與當(dāng)前時(shí)刻的輸入有關(guān)則該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。也就是說(shuō)：因果系統(tǒng)的輸出與將來(lái)的輸入無(wú)關(guān)。那么LTI系統(tǒng)的因果性對(duì)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)有何要求？

從式(4)可以看出，為了使得系統(tǒng)的輸出y[n]與將來(lái)的輸入x[n]無(wú)關(guān)，則式(4)等號(hào)右邊的第1部分應(yīng)該不出現(xiàn)，即要求：h[n]=0，n<0，或h[n]=h[n]u[n]。因此，離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的因果性應(yīng)滿足條件：

h[n]=h[n]u[n]

(7)

式中，u[n]表示離散時(shí)間的單位階躍信號(hào)，把上述結(jié)論推廣到連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)，得到連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的因果性應(yīng)滿足的條件：

h(t)=h(t)u(t)

(8)

式中，u(t)表示連續(xù)時(shí)間的單位階躍信號(hào)。

3 LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性

根據(jù)LTI系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義：若當(dāng)系統(tǒng)的輸入有界時(shí)，系統(tǒng)的輸出也有界，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。那么LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性對(duì)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)有什么要求？

(9)

即離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是絕對(duì)可和的。

把上述結(jié)論推廣到連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)，得到連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性應(yīng)滿足的條件：

(10)

即連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是絕對(duì)可積的。

4 LTI系統(tǒng)的可逆性

根據(jù)LTI系統(tǒng)可逆性的定義：若LTI系統(tǒng)對(duì)不同的輸入得到不同的輸出，則該系統(tǒng)具有可逆性。若具有可逆性的LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是h[n]，可以找到該系統(tǒng)的逆系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h1[n]，則原系統(tǒng)與其對(duì)應(yīng)的逆系統(tǒng)級(jí)聯(lián)后的等效系統(tǒng)是一個(gè)恒等系統(tǒng)(逆系統(tǒng)的輸出就等于原系統(tǒng)的輸入，如圖1所示)。那么LTI系統(tǒng)的可逆性對(duì)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的要求是什么？

圖1 LTI系統(tǒng)可逆性的表示

h[n]*h1[n]=δ[n]

(11)

把上述結(jié)論推廣到連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)，得到連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的可逆性應(yīng)滿足的條件：

h(t)*h1(t)=δ(t)

(12)

5 結(jié)束語(yǔ)

利用“卷積和”的交換律，把離散時(shí)間LIT系統(tǒng)的輸出分為3個(gè)部分，然后根據(jù)LTI系統(tǒng)特性的定義，則比較容易討論清楚LTI系統(tǒng)的特性。為了能使學(xué)生容易理解和接受相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，就需要教師吃透教材，經(jīng)過(guò)對(duì)知識(shí)的深度加工處理，從學(xué)生的角度出發(fā)，整理出學(xué)生容易理解和接受的知識(shí)。這是對(duì)教師的最基本要求。

[1]OPPENHEIMAV,WILLSKYAS,NAWAHHS.SignalsandSystems[M].2ndEdition.北京：電子工業(yè)出版社，2002.

[2] 鄭君里，應(yīng)啟珩，楊為理. 信號(hào)與系統(tǒng)[M].2版.北京：高等教育出版社，2000.

[3] 陳后金，胡健，薛健. 信號(hào)與系統(tǒng)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4] 閔大鎰，朱學(xué)勇. 信號(hào)與系統(tǒng)分析[M].成都：電子科技大學(xué)出版社，2000.

[5] 呂幼新，張明友. 信號(hào)與系統(tǒng)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2007.

[6] 張小虹. 信號(hào)與系統(tǒng)[M].2版.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2008.

Exploration of Teaching Method on the Characteristics of Linear Time-Invariant System

TANG Puyinga,CHEN Pengyub

(a.School of Optoelectronic Information;b.School of Communication and Information Engineering,University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 610054, China)

Linear time-invariant (LTI) system is a kind of important system. It has four characteristics such as memoryless, causality, stability and invertibility. Students are not easy to understand the system characteristics taught by teachers according to the frequently-used “Signals and Systems” textbooks. It is shown that the output of LTI system can be divided into three parts, which are the outputs related to the future inputs, the outputs related to the current input, and the outputs related to the past inputs, if the commutative property of the convolution sum is used. The characteristics of the discrete-time LTI system are derived first, and the conclusion is applied to the continuous-time LTI system according to the definitions of the LTI system characteristics associated with the relationship between system outputs and system inputs. The characteristics of LTI system can be easily taught by teachers, and easy understand by students. The good teaching effect has been achieved.

LTI system; system characteristic; discrete time; continuous time

2015-01-15；修改日期:2015-02-25

電子科技大學(xué)教學(xué)改革研究項(xiàng)目(2013 XJYSL011)。

唐普英(1965-), 男, 博士, 副教授, 主要從事電子技術(shù)的教學(xué)與研究工作。

A

10.3969/j.issn.1672-4550.2015.06.056