楊樹偉，王連堂，鞏星田

(1.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710127；2.湘潭大學(xué) 數(shù)學(xué)系，湖南 湘潭 411105)

?

·數(shù)理科學(xué)·

基于Kress變換的開弧問題數(shù)值解

楊樹偉1，王連堂1，鞏星田2

(1.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710127；2.湘潭大學(xué) 數(shù)學(xué)系，湖南 湘潭 411105)

關(guān)于Helmholtz方程開弧問題，首先通過位勢(shì)理論將其轉(zhuǎn)化為邊界積分方程問題，然后采用Kress變換將其化為近似閉區(qū)域上的問題。最后給出遠(yuǎn)場(chǎng)模式的數(shù)值解以檢驗(yàn)數(shù)值方法的有效性和可行性。

Helmholtz方程；Kress變換；Dirichlet邊界

關(guān)于Helmholtz方程開弧問題，因?yàn)樯婕暗介_弧邊界的特殊性，因而其具有一些與一般封閉曲線所不同的性質(zhì)，自從文獻(xiàn)[1]的作者做出Helmholtz方程開弧問題的論文之后，隨后有文獻(xiàn)[2-3]，而文獻(xiàn)[1-3]都是運(yùn)用一個(gè)余弦變換將開弧問題轉(zhuǎn)化為閉區(qū)域上的問題來解決，本文作者嘗試用另外一種辦法來求解Helmholtz方程開弧問題，即文獻(xiàn)[4]中用于求解Laplace方程有角閉區(qū)域的辦法，因?yàn)樗鼘?shí)質(zhì)上是通過一個(gè)變量替換，在最后數(shù)值求積的時(shí)候采用分級(jí)網(wǎng)格辦法來代替一般的等距網(wǎng)格辦法，從而提高數(shù)值收斂率，但此辦法不能簡(jiǎn)單的從Laplace方程推廣到Helmholtz方程，因?yàn)樯婕暗紿elmholtz方程基礎(chǔ)解的復(fù)雜性，我們?cè)侔凑瘴墨I(xiàn)[5]中對(duì)單層位勢(shì)的特殊分解方法，將得到的第一類算子方程的核進(jìn)行對(duì)數(shù)奇性分離，以便最后數(shù)值求積的時(shí)候利用權(quán)積分可以得到數(shù)值解，為此下面先簡(jiǎn)要介紹一下Kress變換。

1 Kress變換

(1)

對(duì)上式運(yùn)用梯形公式得

(2)

權(quán)函數(shù)和網(wǎng)格點(diǎn)由下式給出

取函數(shù)w(s)為[4]

(3)

0≤s≤2π。

這里p≥2，注意到三次多項(xiàng)式的選取使得v(0)=0,v(2π)=1，以及w′(π)=2。

2 邊界積分方程

考慮均勻介質(zhì)中傳播的聲波，此聲波碰到一個(gè)無限長(zhǎng)柱體，柱體截面D?R2，母線平行于z軸，入射波為平面波，此聲波碰到柱體后發(fā)生散射，在數(shù)學(xué)上此類問題可歸結(jié)為Helmholtz方程外邊值問題來解決。

Δu+k2u=0,inR2Γ，k>0

(4)

滿足Dirichlet邊界條件

u=0, onΓ

(5)

而全場(chǎng)u∈C2(R2Γ)∩C(R2)可以分解為u=ui+us入射場(chǎng)ui=eikx·d,|d|=1和未知散射場(chǎng)us，散射場(chǎng)必須滿足如下的Sommerfeld輻射條件

(6)

在所有方向上一致成立。

在對(duì)未知函數(shù)重新命名之后，上面的正散射問題可約化為下列開弧邊界的外Dirichle問題：給定函數(shù)f∈C(Γ)，找出Helmholtz方程的一個(gè)解u∈C2(R2Γ)∩C(R2)

Δu+k2u=0，inR2Γ，k>0

(7)

其滿足邊界條件

u=f,onΓ

(8)

以及Sommerfeld輻射條件。

定理1[1]開弧邊界上的外Dirichlet問題至多有一解。

通過尋求如下單層位勢(shì)形式的解來建立問題(6)～(8)解的存在性，因?yàn)槿魏我粋€(gè)Helmholtz方程的解均可表示為單，雙層位勢(shì)形式的組合。

(9)

這里Φ(x,y)為二維情形下Helmholtz方程基礎(chǔ)解

(10)

x∈Γ{z1}∪{z-1}。

(11)

(12)

假定邊界曲線是C3類弧線，即

Γ={x(t):t∈[0,2π]}。

這里x:[0,2π]→R2為一單值三次連續(xù)可微函數(shù)。

對(duì)式(12)參數(shù)化得

(13)

其中

(14)

Ψ(t):=φ(x(t))|x′(t)|，

g(t):=-2f(x(t))，

r(t,τ):=|x(t)-x(τ)|，

令t=w(s)，式(13)變?yōu)?/p>

0≤s≤2π，

(15)

其中φ(σ)=Ψ(w(σ))w′(σ)。

3 核的對(duì)數(shù)奇性分離

(16)

(17)

從Hankel函數(shù)的定義以及零階Neumann函數(shù)的級(jí)數(shù)表達(dá)式(17)，可將核K(w(s),w(σ))裂解為如下形式[5]。

(18)

其中

(19)

K2(s,σ)=K(w(s),w(σ))-

(20)

均是解析的，K2(s,σ)為剩余無奇性的全體。再次利用級(jí)數(shù)表達(dá)式(16)和式(17)，可以得到其對(duì)角項(xiàng)。

K1(s,s)=-k2[w′(s)x′(w(s))]2，

(21)

K2(s,s)=

(22)

4 數(shù)值積分辦法

(23)

(24)

事實(shí)上上面這兩個(gè)數(shù)值求積公式是將f(τ)用它的三角插值多項(xiàng)式來代替，然后積分得到，插值時(shí)基函數(shù)取為L(zhǎng)agrange三角插值基，詳細(xì)可參看文獻(xiàn)[6]。其中

(25)

(26)

對(duì)方程式(15)以及相應(yīng)的核分解式(18)，運(yùn)用數(shù)值積分公式(2)，(23)，(24)得

(27)

我們注意到這里下標(biāo)改從j=1開始，這是因?yàn)棣?0)=0的緣故。為了得到方程的近似解，將其投影到有限維的子空間上，利用配置法得

i=1,…,2n-1。

(28)

圖1 開弧邊界Fig.1 The boundary of open arc

對(duì)于數(shù)值算例，為了和文獻(xiàn)[1]中的例子做一比較，取入射平面波為ui(x)=eikx·d，指數(shù)p=8，開弧邊界為

用上面所敘述的散值積分公式求解出式(15)的密度函數(shù)以后，再用式(2)求解式(28)，表1給出了遠(yuǎn)場(chǎng)模式的一些逼近值，這里取入射波的方向?yàn)閐=(1,0)。注意到表1中的數(shù)據(jù)按指數(shù)級(jí)收斂，同時(shí)收斂速度明顯高于文獻(xiàn)[1]中的數(shù)據(jù)。對(duì)于以上方法的收斂性分析可參看相關(guān)文獻(xiàn)[6-8]。

表1 遠(yuǎn)場(chǎng)模式數(shù)值解Tab.1 Numerical results for the far-field pattern

[1] KRESS R.Inverse scattering from an open arc[J].Math Methods Appl Sci,1995,18:267-293.

[2] MONCH L.On the numerical solution of the direct scattering problem for a sound-hard openarc[J].Comput Appl Math,1996,71:343-356.

[3] KRESS R.Lee Kuo-ming.Integral equation methods for scattering from an impedance crack[J].Comput Appl Math,2003,161:161-177.

[4] KRESS R.A nystrom method for boundary integral equation in domains with corners[J].Numer Math,1990,58:145-161

[5] KRESS R.SLOAN L H. On the numerical solution of a logarithmic integral equation of the first kind for the Helmholtz equation[J].Numer Math,1993,66:199-214.

[6] KRESS R.Linear Integral Equations[M].Berlin:Spring-Verlag,1989.

[7] COLTON D,KRESS R.Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory [M].Berlin:Spring-Verlag,1992.

[8] COLTON D,KRESS R.Integral Equation Methods in Scattering Theory[M].New York:Wiley-Interscience Publication,1983.

(編 輯亢小玉)

On the numerical solution of open arc problem based on the Kress transformation

YANG Shu-wei1, WANG Lian-tang1,GONG Xing-tian2

(1.School of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127，China; 2.School of Mathematics, Xiangtan University, Xiangtan 411105, China)

The paper is on the open arc boundary problem of Helmholtz equation.Reduce it into boundary integral equation problem by potential theory, then using Kress transformation, the problem which is closely related to the integral equation for the case of a closed boundary is obtained.And numerical results of far-field pattern are presented to test the applicability and the effectiveness of the method.

Helmholtz equation; Kress transformation; Dirichlet boundary

2014-09-15

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11401144)

楊樹偉，男，甘肅定西人，從事數(shù)學(xué)物理方程反問題研究。

O241.8

：ADOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2015-03-005