黃朝陽 張曉君

廣義量詞理論：自然語言推理的簡便工具*

黃朝陽 張曉君

廣義量詞理論的基礎是集合論。該理論注重廣義量詞的語義性質和推理特征的研究，比一階邏輯具有更為強大的表達力。利用廣義量詞理論既能證明亞里士多德三段論的有效性，也能證明廣義三段論的有效性，還能證明廣義三段論的不同推理模式之間有可化歸關系。由于廣義量詞普遍存在于自然語言中，廣義量詞理論的成果將有利于計算機科學中的知識表示和知識推理。

廣義量詞理論 廣義量詞 集合 廣義三段論

在一階邏輯中，量詞只有兩個：全稱量詞 “所有的”和存在量詞 “有的”，分別用?和?表示。然而，在自然語言中還存在著大量無法刻畫為一階邏輯的標準量詞?和?，又相當有趣的數學性質的量詞，如 “大多數的” “許多” “無窮多個的” “至少三分之二的” “少數的”等。因而，一階邏輯僅僅能夠處理自然語言中小部分量化語句的推理，卻無法處理其中大部分量化語句的推理。對一階邏輯加以擴展勢在必行，廣義量詞理論應運而生。廣義量詞理論既適用于一階邏輯中的標準量詞，又使得非標準量詞的定義和表達成為可能。

20世紀五六十年代，在莫斯托韋斯基 （Mostowski，1957）[1]和林茲卓姆 （Lindstr?m，1966）[2]工作的基礎上，廣義量詞理論得以萌芽。20世紀80年代以來，在巴懷斯和庫伯爾 （Barwise and Cooper,1981）、[3]肯南 （Keenan，1997）、[4]彼特斯和魏斯特斯塔爾 （Peters and Westerst hl，2006）、[5]塞曼尼克 （Szymanik，2009）[6]等人工作的基礎上，廣義量詞理論獲得了很大的發(fā)展，成果豐碩。廣義量詞理論主要研究的是廣義量詞的語義普遍性和邏輯推理性質，及其邏輯推演的可計算性 （computability）、復雜性 （complexity）。廣義量詞理論以集合論為基礎。

較之一階邏輯，廣義量詞理論的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在：（1）它可以合理地解釋自然語言中許多直觀上成立的推理，幫助計算機更好地進行知識推理。這是僅憑公理和推理規(guī)則去判斷推理有效性的一階邏輯難以比擬的；（2）利用它可以將邏輯句法與自然語言的句法密切對應起來，幫助計算機進行有效的知識表示；（3）它給出了廣義量詞一些重要的語義普遍特征，大大提高了我們進行自然語言信息處理的能力；（4）它處理現(xiàn)實問題的方式直觀簡潔，其成果有很大的普適性。[7]正因為如此，廣義量詞理論逐漸走進國內外一些著名邏輯學家的視野，得到重視并有深入研究。

一、廣義量詞理論的相關基礎知識

廣義量詞既包括限定詞a，an，the，還包括以限定詞或其他量化關系指稱而形成的一切名詞短語NP。我們把表示

廣義量詞的名詞短語稱為量化表達式，把包含量化表達式的語句稱為量化語句。不難看出，廣義量詞是一階邏輯中的標準量詞?和?的推廣，而后者僅僅是前者的兩個特例。[8]正如廣義量詞是四個亞氏量詞的自然推廣一樣，廣義三段論（generalized syllogisms）是亞氏三段論的自然推廣。本文中，由廣義量詞所涉論元組成的集合用A，B，C表示，所涉論域用E表示，集合的基數用|X|表示，廣義量詞之間的關系用標準的集合論符號表示，廣義量詞則用其所對應的英語表示。

根據廣義量詞在集合論運算中有多少論元并且論元是什么的標準，可以把廣義量詞劃分為 〈1〉類型量詞、〈1,1〉類型量詞、〈1,1,1〉類型量詞等等。自然語言中存在最普遍的是 〈1〉類型量詞和 〈1,1〉類型量詞，它們分別表示集合的性質和集合之間的二元關系。常見的名詞短語屬于前一量詞，大多數限定詞屬于后一量詞。 “……比……更多”是〈1,1,1〉類型量詞，該類量詞具有三個論元，表示的是三個集合之間的三元關系。[9]

由于 〈1〉類型量詞常?？梢杂善渌鶎挠H緣量詞來表示，〈1,1〉類型量詞因此成為我們研究的重點對象。以〈1,1〉類型量詞開頭的語句存在有如Q（A,B）一般的三分結構，這種結構在自然語言中常?？梢?。比如：在 “至少一半以上的青年人常常入不敷出”中，“至少一半以上的青年人”是 〈1〉類型量詞，它在此表示 “至少一半以上的青年人”的對應集合具有 “常常入不敷出”的性質；而 “至少一半以上的”則是 〈1,1〉類型量詞，此量詞就是 “至少一半以上的青年人”是 〈1〉類型量詞的親緣量詞。 “至少一半以上的青年人常常入不敷出”這一語句可以表示為 （atleast-half-of-the）E（A,B）這樣的三分結構，其中的E表示所涉及的論域，A表示論域E中所有青年人所組成的集合，B表示論域中 “常常入不敷出”的個體所組成的集合。

下面我們給出本文中將用到的定義和定理。

定義1：令Q是任意的 〈1,1〉類型量詞，E是任意的論域，且A?E，則Q的外否定量詞┐Q可以定義為：（┐Q）E（A,B）?非QE（A,B）。

定義2：對一個 〈1,1〉類型的廣義量詞Q及任意論域E而言：

（1）Q是右單調遞增的，當且僅當：如果A?B?E，那么QE（C,A）?QE（C,B）；

（2）Q是右單調遞減的，當且僅當：如果A?B?E，那么QE（C,B）?QE（C,A）。

在廣義量詞的單調性和其三種否定量詞的單調性之間，存在如下可轉換關系：

定理1[10]：對于一個 〈1,1〉類型的廣義量詞Q來說，Q是右單調遞增的，當且僅當：Q的外否定量詞┐Q是右單調遞減的。

證明：假設對于一個 〈1,1〉類型的廣義量詞Q而言，Q是右單調遞增的，根據定義2（1），如果A?B?E，那么QE（C,A）?QE（C,B）。由此可得：如果A?B?E，那么 （┐Q）E（C,B）? （┐Q）E（C,B），再根據定義2（2）可知：┐Q是右單調遞減的。反方向的證明與此類似。結論由此得證。

二、廣義量詞的基本思想

廣義量詞理論研究廣義量詞的語義普遍性，是以廣義量詞的論元所涉及的集合的性質或集合之間的關系為主要根據的。比如：根據廣義量詞理論，“所有的 （all）” “并非所有的 （not all）” “沒有 （no）” “有些 （some）”這四個亞里士多德量詞的真值定義分別為定義3：[11]

（1）allE（A,B）?A?B （2）not allE（A,B）?A□B

（3）noE（A,B）?A∩B=? （4）someE（A,B）?A∩B≠?

例如：語句 “有些學生上課愛打瞌睡”可以形式化為some（A,B）。其意思是學生組成的集合A與愛打瞌睡的個體組成的集合B之間的交集是非空，因此量詞 “some”表示的是集合A與集合B之間存在重疊關系。

我們認為，廣義量詞理論的基本思想就在于利用其真值定義去揭示其論元集合之間的關系，以達到對廣義量詞的普遍語義性質加以描述的目的。比如，〈1,1〉類型的廣義量詞的真值定義，正是通過揭示兩個集合，即其限制論元的集合與其轄域論元的集合之間存在的關系，達到描述其普遍語義性質的目的。一些 〈1,1〉類型量詞的真值定義如定義4：

（1）（all but three）E（A,B）?|A-B|=3；

（2）（at most six）E（A,B）?|A∩B|≤7；

（3）mostE（A,B）?|A∩B|＞|A-B|；

（4）（the seven）E（A,B）?|A|=7且A?B；

（5）（between two and five）E（A,B）?2≤|A∩B|≤5；

（6）MOE（A,B）?|A|＞|B|；

（7）（at least half of the）E（A,B）?|A∩B|≥1/2·|A|；

（8）（exactly five）E（A,B）?A∩B=5；

（9）（just finitely many）E（A,B）?存在一個自然數n，使得|A∩B|=n；

（10）（at least n）E（A,B）?|A∩B|≥n（其中n是自然數）；

（11）（infinite many）E（A,B）?A∩B是無窮的；

（12）IE（A,B）?|A|=|B|（H?rtig量詞或等基數量詞）。

例如，定義4（7）表示的是 “至少一半以上的” 這一 〈1,1〉類型的廣義量詞的真值定義。具體地說，在 “至少一半以上的青年人常常入不敷出”這一語句中，其真值定義 （at least half of the）E（A,B）?|A∩B|≥1/2·|A|表示 “青年人”所對應的集合A與 “常常入不敷出”所對應的集合B之間具有|A∩B|≥1/2·|A|的性質，即論域中所有青年人所組成的集合與常常入不敷出的個體所組成的集合的交集的基數，大于或等于論域中所有青年人所組成的集合的二分之一。

在廣義量詞理論中，“……比……更多”這一 〈1,1,1〉類型量詞的真值定義是：（more than）E（A,B,C）?|A∩C|＞| B∩C|。例如：語句 “買房子的人比買期貨的人更多”可以形式化為 （more than）E（A,B,C）。其中A表示論域E中所有買房子的人所組成的集合，B表示論域E中所有買期貨的人所組成的集合，C表示具有 “……比……更多”的性質的個體所組成的集合。此真值定義表示A與C交集的基數大于B與C交集的基數。

“至少一半以上的”“……比……更多”“絕大多數的”“許多”“無數個的”等廣義量詞是無法用一階邏輯的標準量詞?和?來加以表示的?？梢姡蛯ψ匀徽Z言的表達能力而言，廣義量詞理論比經典一階邏輯更加強大。

三、廣義量詞理論對自然語言推理的處理

目前，國內外關于自然語言信息處理的理論有很多，比如蒙太格語法、動態(tài)蒙太格語法、動態(tài)謂詞邏輯、組合范疇語法、類型論、廣義量詞理論等等。我們認為，在這些理論中，就自然語言推理而言，廣義量詞理論應當是最為簡便的工具了。這從以下廣義量詞理論對自然語言推理的一些處理中可以窺見一斑。

（1）利用廣義量詞理論對四個亞里士多德量詞的真值定義，可以證明亞氏三段論的有效性。[12]例如，第一格EIO式的一個傳統(tǒng)三段論：

大前提：沒有A是B。

小前提：有些C是A。

結論：并非所有的C是B。

利用廣義量詞理論，可形式化為：noE（A,B）且someE（C,A）? not allE（C,B）。證明：假設兩前提noE（A,B）和someE（C,A）成立。對任意論域E而言，根據本文定義3（3）中 “no”的真值定義noE（A,B）?A∩B=?，且noE（A, B）成立，可得：A∩B=?。再根據定義3（4）中 “some”的真值定義someE（A,B）?A∩B=?，且someE（C,A）成立，可得：C∩A=?。假設C?B，由A∩B=?推知：A∩C=?，據∩的交換律得：C∩A=?，這與C∩A=?矛盾，所以C□B。再根據定義3（2）中 “not all”的真值定義not allE（A,B）?A□B，可得：not allE（C,B）成立。故結論得證。

（2）利用廣義量詞理論對于相應廣義量詞的真值定義，能夠證明含有廣義量詞的廣義三段論的有效性。例如，對于如下廣義三段論而言：

前提1：所有數學不及格的學生都是留守兒童。

前提2：至少三個學生數學不及格。

結論：至少三個學生是留守兒童。

利用廣義量詞理論，此廣義三段論可形式化為：allE（A,B）& （at least n）E（C,A）? （at least n）E（C,B）（其中的n是自然數，這里的n=3）。這里的A表示所涉及的論域E中所有數學不及格的學生所組成的集合，B表示論域E中所有的留守兒童組成的集合，C表示論域E中所有學生所組成的集合。筆者在此給出此廣義三段論的有效性證明：假設兩前提allE（A,B）和（at least n）E（C,A）都成立。對任意論域E而言，根據本文定義3（1）中的 “all”的真值定義allE（A,B）?A?B，且allE（A,B）成立，可得：A?B。再根據定義4(10)中 “at least n”的真值定義 （at least n）E（C,A）?|C∩A|≥n，且 （at least n）E（C,A）成立，可得：|C∩A|≥n。由A?B且|C∩A|≥n可得：|C∩B|≥n。再根據定義4（10）中 “at least n”的真值定義，可得 （at least n）E（C,B）成立。故結論得證。這就證明了allE（A,B）& （at least n）E（C, A）? （at least n）E（C,B）這一廣義三段論是有效的，其中的A、B、C可以是任何論元組成的集合，n可以是任何的自然

數。對于其他廣義三段論的有效性也可以做類似處理。由此可見，利用廣義量詞理論，可以成批量地進行自然語言信息的處理。這是一階邏輯和其他語義理論和邏輯理論很難做到的。

（3）利用廣義量詞理論，可以證明廣義三段論的不同推理模式之間的可化歸關系。[13]例如，前面所列舉的廣義三段論的有效性等價于如下的廣義三段論的有效性：

前提1：所有數學不及格的學生都是留守兒童。

前提2：不到三個學生是留守兒童。

結論：不到三個學生數學不及格。

利用廣義量詞理論，此廣義三段論可形式化為：allE（A,B）& （least than n）E（C,B）? （least than n）E（C,A）（其中的n是自然數，這里的n=3）。這也是說，這兩個廣義三段論的相異推理模式之間實際上存在可化歸關系。形式化地說：

allE（A,B）& （at least n）E（C,A）? （at least n）E（C,B），當且僅當，allE（A,B）& （least than n）E（C,B）? （least than n）E（C,A）。

在此給出其證明：此前已經證明allE（A,B）& （at least n）E（C,A）? （at least n）E（C,B）的有效性。再結合定義3（1）中 “all”的真值定義allE（A,B）?A?B可知，A?B且 （at least n）E（C,A）? （at least n）E（C,B）。根據定義2（1）右單調遞增的定義可知，at least n這一廣義量詞是右單調遞增的，根據定理1可知at least n的外否定量詞least than n則是右單調遞減的。根據定義2（2）右單調遞減的定義可知，A?B且 （least than n）E（C,B）? （least than n）E（C,A）。再結合定義3（1）中 “all”的真值定義allE（A,B）?A?B可知，allE（A,B）&（least than n）E（C,B）? （least than n）E（C,A）的有效性成立。反方向的證明與此類似，故結論得證。

綜上所述，與其他相關理論相比，廣義量詞理論具有更強大的表達能力，并且對自然語言信息的處理顯得非常直觀簡潔，因而是處理自然語言推理的簡便工具。但令人遺憾的是，廣義量詞理論的諸多成果目前還沒有引起專門研究知識表示和知識推理的計算機專家的足夠重視。當然，廣義量詞理論的潛能也還有待于進一步挖掘。

[1]A.Mostowski,“On a Generalization of Quantifiers”，F(xiàn)und.Math.,1957,（44），pp.12-36.

[2]P.Linstr?m,“First-order Predicate Logic with Generalized Quantifiers”，Theoria,1966,（32），pp.186-195.

[3]J.Barwise and R.Cooper,“Generalized Quantifiers and Natural Language”，Linguistics and Philosophy,1981,4（2），pp.159-219.

[4]E.L.Keenan,“The Semantics of Determiners”，The Handbook of Contemporary Semantic Theory,Blackwell Publishing,1997.

[5][9][10][11]S.Peters and D.Westerst hl,Quantifiers in Language and Logic,Oxford:Claredon Press,2006,pp.11-52;pp. 11-15;p.170,p.62.

[6]J.Szymanik,Quantifiers in Time and Space,Polen:Geboren te Warschau,2009.

[7]張曉君：《廣義量詞的各種單調性之間的關系》，《安徽大學學報 （哲學社會科學版）》2012年第5期。

[8]張曉君：《廣義量詞的相關性質研究》，《邏輯學研究》2010年第3期。

[12]張曉君、黃朝陽：《基于廣義量詞理論的亞氏三段論的研究》，《重慶理工大學學報 （社會科學版）》2012年第10期。

[13]張曉君：《擴展三段論的可化歸性與廣義量詞的語義性質之間的關系》，《邏輯學研究》2012年第2期。

責任編輯：羅 蘋

B81

A

1000-7326（2015）07-0022-04

*本文系教育部人文社會科學研究規(guī)劃基金項目 “面向自然語言信息處理的廣義量詞理論研究”（12YJA72040001）的階段性成果。