顧芬華，趙小山，龔漢坤，孔德富

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

分?jǐn)?shù)階R-F系統(tǒng)的混沌行為及其同步研究

顧芬華，趙小山，龔漢坤，孔德富

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

針對R-F系統(tǒng)和Lorenz系統(tǒng)，研究了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)間的混合投影同步?；诜?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的Routh-Hurwitz條件，分析了分?jǐn)?shù)階R-F系統(tǒng)的平衡點的穩(wěn)定性；設(shè)計合理的控制器使分?jǐn)?shù)階R-F系統(tǒng)和Lorenz系統(tǒng)達(dá)到同步，并基于分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論，給予嚴(yán)格證明。最后，借助于預(yù)估-矯正方法，利用數(shù)值模擬驗證了該方法的有效性。

分?jǐn)?shù)階微分；投影同步；預(yù)估矯正；控制器

近十幾年來，分?jǐn)?shù)階混沌現(xiàn)象引起了人們的廣泛關(guān)注，尤其是人們發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階Chua′s電路、分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)、分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)[1]、分?jǐn)?shù)階Liu系統(tǒng)等系統(tǒng)之后，對分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的研究更是成為近幾年的熱點。而混沌系統(tǒng)之間的同步研究也逐漸受到關(guān)注，并且已取得了一些成果[2-7]。投影同步是Mainieri和Rechacek在1999年研究部分三維混沌系統(tǒng)時觀察的現(xiàn)象，Xu[8]又分別給出了三維和任意維部分線性系統(tǒng)實現(xiàn)投影同步的條件，并應(yīng)用于數(shù)字安全通信領(lǐng)域。之后投影同步受到廣泛關(guān)注并被推廣到其他情形，如全狀態(tài)混合投影同步、修正投影同步、廣義投影同步等。

本文基于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，分析了分?jǐn)?shù)階Rabinocich-Fabrikant系統(tǒng)（分?jǐn)?shù)階R-F系統(tǒng)）在平衡點的穩(wěn)定性，通過設(shè)計合理的控制器，實現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階R-F混沌系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)間的混合投影同步。

1 分?jǐn)?shù)階微分定義

在研究分?jǐn)?shù)階微積分時，對微分和積分的概念提出了許多種定義，應(yīng)用較多的是Caputo定義和Riemann-Liouville（R-L）定義，本文應(yīng)用的是Caputo定義[9]：

式中：m=[α]+1；Jθ為θ階Riemann-Liouville積分算子，其定義為：

其中，Γ（·）為Gamma函數(shù)。

2 分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的混合投影同步

分?jǐn)?shù)階驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)可寫成如下形式：

式中：A∈Rn×n，B∈Rn×n均系統(tǒng)的線性部分；F∶Rn→Rn，G∶Rn→Rn均為系統(tǒng)的非線性部分；U為響應(yīng)系統(tǒng)的控制器。

定理1 考慮如下三維分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)：

若系統(tǒng)（5）在平衡點處的Jacobian矩陣（6）的特征值滿足，則系統(tǒng)（5）就是漸近穩(wěn)定的。

系統(tǒng)在平衡點處的Jacobian矩陣（6）的特征多項式為：

則它的判別式為：

則平衡點處的穩(wěn)定性由以下分?jǐn)?shù)階 Routh-Hurwitz條件決定：

（a）如果D（P）＞0，那么平衡點全局漸近穩(wěn)定的充分必要條件為a1＞0，a3＞0，a1a2-a3＞0。

（b）如果D（P）＜0，a1≥0，a2≥0，a3＞0，則當(dāng)α＜2/3時，平衡點是全局漸近穩(wěn)定的；如果D（P）＜0，a1＜ 0，a2＜0，α＞2/3則（5）所有的特征值都滿足απ/2。

（c）如果D（P）＜0，a1＞0，a2＞0，a1a2-a3=0，那么對于所有的0＜α＜1，平衡點都是全局漸近穩(wěn)定的。

（d）平衡點全局漸近穩(wěn)定的必要條件是a3＞0。

定理2 定義系統(tǒng)（3）和系統(tǒng)（4）的誤差為e=y-Cx，其中實矩陣C∈Rn×n是縮放矩陣，C=diag（[c1，c2，…，cn]），其中ci（i=1，2，…，n）為不全相等的實數(shù)，e=（e1，e2，…，en）T，ei=yi-Cxi（i=1，2，…，n）。如果，則誤差系統(tǒng)穩(wěn)定，也即驅(qū)動系統(tǒng)（3）和響應(yīng)系統(tǒng)（4）實現(xiàn)了混合投影同步。

命題1 為系統(tǒng)（3）和系統(tǒng)（4）選取合適的控制器

其中K∈Rn×n是增益矩陣，如果矩陣B+K的特征值λi滿足：

則系統(tǒng)（3）和系統(tǒng)（4）實現(xiàn)了混合投影同步。

證明 已知系統(tǒng)（3）和系統(tǒng)（4）的誤差系統(tǒng)為：

將式（9）代入式（10），得到誤差系統(tǒng)為：

3 數(shù)值模擬

3.1 分?jǐn)?shù)階R-F系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性分析

分?jǐn)?shù)階R-F系統(tǒng)為：

式中：x1、x2、x3為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；a、b、c為系統(tǒng)的參數(shù)。

可解得R-F系統(tǒng)有5個平衡點：E1（0，0，0），E2（-1.479 7，0.743 4，0.542 2），E3（1.479 7，-0.743 4，0.542 2），E4（0.518 266 7，-2.122 46，0.943 84），E5（-0.518 266 7，2.122 46，0.943 84）。

當(dāng)a=0.87，b=0.87，c=1.1時的特征多項式為：

系統(tǒng)在平衡點E1（0，0，0）處的特征多項式（14）變?yōu)椋?/p>

解得式（15）的特征值為λ1=-2.2，λ2，3=0.87±i，λ1是負(fù)實根，arg（λ2，3）的絕對值為0.854 8，所以，對于任意的α＜0.544 186，E1（0，0，0）都是穩(wěn)定的。

系統(tǒng)在平衡點E2（-1.479 7，0.743 4，0.542 2）處的特征多項式（14）變?yōu)椋?/p>

解得式（16）的特征值為λ1=-0.554694，λ2，3=0.0473469 ±3.666 29i，λ1是負(fù)實根，arg（λ2，3）的絕對值為1.557 88，所以，對于任意的α＜0.991，E2（-1.479 7，0.743 4，0.542 2）是穩(wěn)定的。同理當(dāng)α＜0.991，E3（1.479 7，-0.743 4，0.542 2）也是穩(wěn)定的。

系統(tǒng)在平衡點E4（0.518 266 7，-2.122 46，0.943 84）處的特征多項式（14）變?yōu)椋?/p>

P（λ）=λ3+0.46λ2+8.224 9λ-12.981 3 （17）

解得式（17）的特征值為λ1=1.252 01，λ2，3=-0.856± 3.104i，λ1是正實根，所以，對于任意的0＜α＜1，E4（0.518 2667，-2.122 46，0.943 84）是不穩(wěn)定的。同理當(dāng)0＜α＜1時，E5（-0.518 266 7，2.122 46，0.943 84）也是不穩(wěn)定的。

經(jīng)過上述分析可知，當(dāng)a=0.87，b=0.87，c=1.1，α=0.993時，系統(tǒng)存在混沌吸引子，其混沌吸引子圖如圖1所示，吸引子在x-y平面、x-z平面和y-z平面的投影如圖2所示。

圖1 分?jǐn)?shù)階R-F系統(tǒng)的混沌吸引子

3.2 分?jǐn)?shù)階R-F系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的同步分析

分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)為：

式中：δ=10，γ=28，β=8/3，α=0.993時系統(tǒng)出現(xiàn)混沌，其混沌吸引子如圖3所示。

圖2 分?jǐn)?shù)階R-F混沌系統(tǒng)的吸引子相圖

圖3 分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的混沌吸引子

令分?jǐn)?shù)階R-F系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)分別做驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)，它們可以分別寫成系統(tǒng)（3）和（4）的形式，其中

由命題1，選擇控制器U=CAx+CF（x）-BCx-G（y）+Ke，K∈Rn×n，則誤差系統(tǒng)為：

由命題1存在一個增益矩陣K使得系統(tǒng)（12）和系統(tǒng)（18）實現(xiàn)投影同步，令：

圖4 分?jǐn)?shù)階R-F混沌系統(tǒng)的吸引子相圖

4 結(jié)束語

基于分?jǐn)?shù)階微積分理論，介紹預(yù)估-矯正算法，基于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，設(shè)計控制器，并給出理論證明，從而使得分?jǐn)?shù)階R-F混沌系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)達(dá)到混合投影同步，最后基于預(yù)估-矯正算法，數(shù)值模擬證明了該同步方法的有效性。

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Chaos in fractional order R-F system and its synchronization

GU Fen-hua，ZHAO Xiao-shan，GONG Han-kun，KONG De-fu
（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

In view of the fractional order R-F system and the fractional order Lorenz system，the hyper projective synchronization between them are studied in this paper.First，the stability of its equilibrium points based on the fractional order Routh-Hurwitz stability conditions is analyzed.Then，a reasonable controller is designed to synchronize the two systems and proved by using the fractional stability theory.At last，numerical simulation results show that the method is effective and reliable for synchronizing the systems.

fractional derivative；projective synchronization；Adams-Boshforth-Moulton；controller

O415.5

A

2095－0926（2015）01－0035－04

2014-12-05

國家自然科學(xué)基金資助項目（11302148，11302158）.

顧芬華（1989—），女，碩士研究生；趙小山（1967—），男，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向為非線性動力系統(tǒng)分析.