姜美燕，　樸光日

( 延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 吉林 延吉 133002 )

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基于POD方法的BBM-Burgers方程向后歐拉有限元降維格式

姜美燕，樸光日*

( 延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 吉林 延吉 133002 )

摘要：利用特征正交分解(proper orthogonal decomposition,POD)方法討論了BBM-Burgers方程的降維模型.首先，簡要介紹了POD方法，并利用此方法把通常的向后歐拉有限元格式簡化為一個自由度極少的向后歐拉有限元格式.最后，給出了降維的向后歐拉有限元解的誤差估計. 降維模型； 向后歐拉有限元格式； 特征正交分解； 誤差分析； BBM-Burgers方程 O241.82

文獻標識碼：A

0引言

求解復(fù)雜的非線性流體方程時，為了得到足夠高的精度，任何形式的離散化格式(比如有限元、有限差分、譜元、有限體積等)都需要較多的自由度，從而使得在內(nèi)存和計算上需要付出很高的代價；因此，在保證其數(shù)值解具有足夠高精度的前提下，如何簡化計算和降低內(nèi)存要求具有重要意義.降維是解決該問題的有效方法之一，其中特征正交分解(proper orthogonal decomposition,POD)方法是普遍較為熟悉的一種降維方法[1].POD方法具備一種有效逼近大量數(shù)據(jù)的功能，其實質(zhì)是在最小二乘意義下可尋找能代表已知數(shù)據(jù)的一組正交基，是一種求已知數(shù)據(jù)的最優(yōu)逼近方法.同時，POD方法可與一些偏微分方程數(shù)值解法相結(jié)合，將無限維的微分方程降成低維模型，由此能極大地減少計算量和降低內(nèi)存要求，所以，POD方法已被廣泛地應(yīng)用于很多復(fù)雜的系統(tǒng)中[2-12].

當討論小振幅長波在非線性色散介質(zhì)中的傳播時，為準確反映其真實情況，往往要考慮耗散原理.因為Benjamin-Bona-Mahony-Burgers (BBM-Burgers)方程

ut-uxxt-α uxx+u ux+β ux=0

(1)

包含了非線性色散項和耗散項，因此其被視為一種長波傳播的模型方程來加以研究[13].在方程(1)中α>0, β是常數(shù)， u=u(x,t)是水平方向上的流體速度.近年來，許多研究者從數(shù)學(xué)理論和物理意義上研究了BBM-Burgers方程解的性態(tài)[13-17],而且還利用有限差分、有限元或區(qū)域分解方法討論了其方程的數(shù)值解[18-21].但是，對BBM-Burgers方程的降維模型研究得還較少，如文獻[22]雖然給出了基于POD方法的分布反饋控制的簡化有限元格式及其科學(xué)計算，但并沒有討論通常的有限元解和降維模型解之間的誤差分析.本文應(yīng)用POD方法把BBM-Burgers方程的通常的時間一階精度向后歐拉有限元格式簡化成維數(shù)較低的時間一階精度向后歐拉格式，并類似于文獻[23-24]進行了降維的向后歐拉有限元解的誤差分析.

本文考慮的BBM-Burgers方程如下：

(2)

1BBM-Burgers方程通常的歐拉有限元格式

對任意的t∈(0,T]， 求u∈X使得滿足

(3)

其中(·,·)表示L2-內(nèi)積.

Xh={Vh∈X∩C0(Ω);Vh|K∈Pm(K),Vh|?Ω=0,?K∈ξh}，

(4)

(5)

(6)

2POD基的生成

(7)

定義1POD方法是指求標準正交基ψj(j=1,2,…,l)使得對于每個d(1≤d≤l), 元素Zi(1≤i≤N)與式(7)的d項和之間的均方誤差最小，即求標準正交基ψj(i=1,2,…,l)使得

(8)

滿足

(ψi,ψj)X=δij， 1≤i≤d， 1≤j≤i，

(9)

(10)

(11)

選擇如下形式的一類特殊試驗函數(shù)ψ:

(12)

(Rψ,ψ)X=∫Ω(Rψ(x)·ψ(x)+Rψ(x)·ψ(x))dx=

∫Ωψ(x)dx=

∫ΩZi(x′)ψ(x′)dx′∫ΩZi(x)ψ(x)

則

(13)

進一步，有(Rφ,ψ)X=(φ,Rψ)X,?φ,ψ∈X.于是，R是X上的非負定對稱算子.由此求式(11)的最大值問題，等價于求式(14)的最大特征值：

(14)

即

(15)

其中λ與h和k有關(guān)(因為ν與h和k有關(guān)).將式(12)和G代入到式(15)可得

命題1設(shè)λ1≥λ2≥…≥λl>0， 為矩陣A的正的特征值，而且υ1,υ2,…,υl是對應(yīng)的特征向量，則秩d≤l的POD基為

其中(υi)j表示特征向量υi的第j個分量.進一步，有如下的誤差公式：

(16)

證明命題的前半部分已經(jīng)由上述討論給出.下面僅需證明公式(16).由于ψ1,ψ2,…,ψl滿足式(14)，所以從式(13)和(15)可得

(17)

(18)

命題1得證.

令Xd=span{ψ1,ψ2,…,ψd}.定義Ritz投影Ph∶X→Xh(如果Ph是被限制為從Xh到Xd的Ritz投影時記為Pd)， 使得Ph|Xh=Pd∶Xh→Xd和Ph∶XXh→XhXd如下：

(PhU,Vh)X=(U,Vh)+(U,Vh)，?Vh∈Xh，

(19)

引理1對于每個d(1≤d≤l)， 投影算子Pd滿足：

(20)

(21)

證明對于任意的U∈X， 由式(19)得

因此有

(22)

(W,V)X=(U-PhU,V),?V∈Xh.

(23)

取Wh=πhW為W在Xh上的差值，則由插值理論[27]和式(23)可得

于是有

(24)

3基于POD方法的簡化歐拉有限元格式及其誤差估計

利用Xd可以將方程(4)化為如下的基于POD方法的向后歐拉有限元降維格式：

(25)

對于BBM-Burgers方程向后歐拉有限元降維格式,式(25)有如下的解的誤差估計：

(26)

(27)

其次，證明誤差估計式(27).由于Xd?Xh， 在式(4)中取Vh=Vd并與式(25)相減可得

(28)

αk(,,

簡化后可得

(29)

上式對n從1到J(≤N)累加，即得(為了書寫方便用n代替J)

選取充分小的k， 使得當(1-Ck)≥0時，有

再由引理1和引理2，得

(30)

根據(jù)Sobolve嵌入定理、三角不等式、引理1和式(30)可得到式(27),定理2得證.

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A reduced-order backward Eular finite element scheme for the BBM-Burgers equation based on POD

JIANG Meiyan,PIAO Guangri*

(DepartmentofMathematics,CollegeofScience,YanbianUniversity,Yanji133002,China)

Abstract：In this paper, we study reduced-order modeling for the BBM-Burgers equation by using proper orthogonal decomposition (POD) method. First of all, brief review of the POD method are provided; secondly, the POD method is applied to a usual backward Euler finite element (BEFE) scheme such that it is reduced into a BEFE scheme with fewer degrees of freedom, and the errors of reduced-order BEFE solution are analyzed.

Keywords：reduced-order modeling； backward Euler finite element method； proper orthogonal decomposition； error analysis； BBM-Burgers equation

文章編號：1004-4353(2015)04-0267-08

*通信作者：樸光日(1968—)，男，博士，副教授，研究方向為數(shù)值計算.

收稿日期：2015-11-03