童　騫，李鴻艷，毛少鋒，焦　玲，黃明軍

(空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西 西安　710077)

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基于區(qū)間平滑的粒子概率假設(shè)密度濾波算法

童騫，李鴻艷，毛少鋒，焦玲，黃明軍

(空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西 西安710077)

0引言

2003年，Mahler提出了概率假設(shè)密度(Probability Hypothesis Density， PHD)濾波器，該濾波器是一種基于隨機(jī)有限集(RFS)理論的次最優(yōu)多目標(biāo)貝葉斯濾波器[1-2]，它在貝葉斯框架下通過遞推形式傳遞目標(biāo)的概率假設(shè)密度，以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)狀態(tài)和目標(biāo)數(shù)目的估計(jì)，其顯著特點(diǎn)是繞過數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)，有效降低計(jì)算量。

當(dāng)前，PHD濾波的實(shí)現(xiàn)主要基于兩種方法：一是將概率假設(shè)密度的預(yù)測和遞推都表示為若干高斯分量的和，通過求解高斯分量的權(quán)值、均值和協(xié)方差陣來估計(jì)多個(gè)目標(biāo)的狀態(tài)和目標(biāo)數(shù)目，即GM-PHDF[3]；二是將一組加權(quán)的隨機(jī)樣本逼近概率假設(shè)密度分布，利用樣本均值運(yùn)算代替多重積分運(yùn)算，即P-PHDF[4-6]。前者建立在目標(biāo)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移密度和似然函數(shù)均服從高斯分布的假設(shè)條件下，只適用于高斯模型；后者不受系統(tǒng)模型約束，適用于非線性、非高斯情況，運(yùn)用前景更加可觀。然而在P-PHDF算法中，由于使用經(jīng)典的粒子濾波器實(shí)現(xiàn)，僅把系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率密度作為重要性密度函數(shù)，忽略了觀測值的修正作用，使得重要性密度函數(shù)嚴(yán)重依賴模型，從而引起從重要性密度函數(shù)中采樣的樣本與真實(shí)的后驗(yàn)概率假設(shè)密度(PHD)分布產(chǎn)生的樣本存在較大的偏差，導(dǎo)致該算法存在估計(jì)精度不高、粒子退化、濾波發(fā)散等問題。

針對(duì)以上問題，在深入分析P-PHDF的基礎(chǔ)上，引入?yún)^(qū)間平滑算法(Rauch Tung Striebel smoother)[7-10]，提出基于區(qū)間平滑的粒子概率假設(shè)密度濾波(RTSP-PHDF)算法。

1粒子PHD濾波

1.1運(yùn)動(dòng)模型建立

設(shè)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型如下所示：

(1)

式(1)中：xk∈Rm和zk∈Rm分別為狀態(tài)向量和量測向量，f(·)和h(·)分別表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和量測方程，wk-1、vk分別為系統(tǒng)過程噪聲和量測噪聲，服從均值為零，方差分別為Qk-1，Rk的高斯分布。

1.2PHD濾波描述

PHD濾波其本質(zhì)是基于隨機(jī)集(RSF)理論在Bayes框架下的一種擴(kuò)展應(yīng)用，其主要的區(qū)別在于PHD濾波是在遞推運(yùn)算概率假設(shè)密度，而Bayes濾波在遞推運(yùn)算后驗(yàn)概率密度。因此類比于Bayes濾波的預(yù)測方程以及更新方程：

PHD濾波預(yù)測方程：

Dk|k-1(xk|Zk-1)=γk(xk)+

∫[βk|k-1(xk|xk-1)+ek|k-1(xk-1)fk|k-1(xk|xk-1)]×

Dk-1|k-1(xk-1|Zk-1)dxk-1

(2)

PHD濾波更新方程：

(3)

式(2)、式(3)中：D(·)表示多目標(biāo)概率假設(shè)密度，其在狀態(tài)域上的積分為目標(biāo)的個(gè)數(shù)，γk(xk)是新生目標(biāo)強(qiáng)度，βk|k-1(xk|xk-1)源自xk-1的衍生目標(biāo)強(qiáng)度，fk|k-1(xk|xk-1)是單目標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)移密度函數(shù)，ek|k-1(xk-1)是目標(biāo)存活概率，gk|k(zk|xk)為目標(biāo)似然函數(shù)，PD(xk)為目標(biāo)檢測概率，Λk(z)=κk(z)+Ck(z)為量測z的強(qiáng)度，κk(z)是雜波強(qiáng)度，Ck(z)=∫pD(xk)gk|k(zk|xk)Dk|k-1(xk|Zk-1)dx表示似然函數(shù)的強(qiáng)度。

1.3P-PHDF濾波實(shí)現(xiàn)

初始化：PHD濾波預(yù)測方程(2)經(jīng)采樣以后生成的粒子為：

(4)

權(quán)值更新：對(duì)于量測集中的每個(gè)量測z∈Zk，

(5)

重采樣：

對(duì)所有粒子權(quán)重求和得到目標(biāo)個(gè)數(shù)：

(6)

將粒子集進(jìn)行歸一化：

(7)

對(duì)歸一化粒子集進(jìn)行重采樣得到新的粒子集：

(8)

2RTSP-PHDF算法

2.1RTSP-PHDF算法基本思想

本算法針對(duì)P-PHDF重要性密度函數(shù)中沒有包含量測提供的信息的問題，提出利用RTS引入k-T~T的所有量測值，對(duì)k-T時(shí)刻的粒子均值mk-T以及方差Pk-T進(jìn)行修正，由此生成更加逼近系統(tǒng)真實(shí)PHD函數(shù)的重要性密度函數(shù)，以此來提高采樣的質(zhì)量，改善濾波算法的性能。

2.2RTSP-PHDF算法實(shí)現(xiàn)流程

RTSP-PHDF算法實(shí)現(xiàn)流程包括以下幾個(gè)部分：狀態(tài)向量擴(kuò)維、初始化、單個(gè)粒子進(jìn)行RTS、優(yōu)化粒子權(quán)值更新以及重采樣。

2.2.1狀態(tài)向量擴(kuò)維

擴(kuò)維后的狀態(tài)向量為：

(9)

(10)

(11)

狀態(tài)方程和量測方程變化為如下：

(12)

(13)

因此，可將平滑后的目標(biāo)模型用下式表示：

(14)

(15)

通過以上擴(kuò)維將濾波和平滑結(jié)合在一起。

2.2.2初始化

2.2.3單個(gè)粒子進(jìn)行RTS

考慮到處理的往往是非線性濾波的問題，本文采用擴(kuò)展卡爾曼(Extended Kalman Filter，EKF)對(duì)每一個(gè)粒子進(jìn)行濾波。

狀態(tài)預(yù)測和預(yù)測協(xié)方差為：

(16)

(17)

通過式(14)、式( 16)和式(17)，可得：

(18)

(19)

(20)

其中：i=1,2,…,T。

卡爾曼增益為：

(i=0,1,2,…,T)

(21)

殘差和殘差協(xié)方差為：

(22)

(23)

輸出狀態(tài)和協(xié)方差為：

(24)

(25)

(i=1,2,…,T) (26)

2.2.4優(yōu)化粒子權(quán)值更新

利用2.2.3中的得到的經(jīng)優(yōu)化的粒子：

(27)

通過式(5)更新權(quán)值。

2.2.5重采樣

綜上所述整個(gè)算法流程如下：

步驟二：初始化，選取重要性函數(shù)并進(jìn)行抽樣。

步驟三：單個(gè)粒子進(jìn)行RTS，獲得每個(gè)粒子優(yōu)化估計(jì)后的狀態(tài)向量及其協(xié)方差。

步驟四：利用步驟三得到的優(yōu)化粒子進(jìn)行權(quán)值更新。

步驟五：重采樣后回到步驟三進(jìn)行下一時(shí)刻的粒子濾波運(yùn)算，如此循環(huán)直到計(jì)算結(jié)束。

3仿真實(shí)驗(yàn)與對(duì)比分析

為了驗(yàn)證算法的有效性，利用Matlab對(duì)P-PHDF算法以及RTSP-PHDF算法進(jìn)行仿真比較實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)在二維直角坐標(biāo)系下觀測區(qū)域?yàn)椋篬0,8 000]m×[-4 000,4 000]m，采樣周期t=1s，仿真時(shí)間為50 s，觀測雷達(dá)位于平面點(diǎn)[0,0]，平滑步長T=2，目標(biāo)存活概率為1，檢驗(yàn)概率為0.95，過程噪聲w(k)為高斯白噪聲，方差為5(m/s2)2，v(k)為量測噪聲，方位角誤差方差為0.05rad2，每個(gè)目標(biāo)分配的粒子個(gè)數(shù)為1 000。

表1　目標(biāo)初始位置和狀態(tài)

目標(biāo)跟蹤模型如下：

X(k)=FX(k-1)+w(k)

(28)

式(28)為系統(tǒng)狀態(tài)方程，X(k)為目標(biāo)狀態(tài)，F(xiàn)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，w(k)為過程噪聲。

(29)

式(29)為量測方程， 其中v(k)為量測噪聲，xst、yst為觀測點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)。

(30)

仿真結(jié)果如圖1-圖5所示。

圖1為目標(biāo)實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡和仿真環(huán)境。圖2為目標(biāo)實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡和P-PHDF估計(jì)值，可以明顯看到P-PHDF 算法估計(jì)值偏離實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡較大。圖3為目標(biāo)實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡和RTSP-PHDF估計(jì)值，與圖2相比較，可以明顯看出RTSP-PHDF估計(jì)值更貼近于實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡。圖4為P-PHDF和RTSP-PHDF目標(biāo)數(shù)目估計(jì)，在此方面兩種算法都能準(zhǔn)確估計(jì)目標(biāo)數(shù)目。圖5為P-PHDF和RTSP-PHDF多目標(biāo)OSPA誤差，從中可以看出P-PHDF多目標(biāo)OSPA 誤差距離均在50 m之上，甚至達(dá)到200 m，同時(shí)非常不穩(wěn)定，波動(dòng)性比較大；而RTSP-PHDF算法多目標(biāo)OSPA 誤差距離均在50 m以下，同時(shí)相比較而言比較平穩(wěn)。表2為具體數(shù)值的比較，可以更清晰地看出RTSP-PHDF算法的平均OSPA誤差相比較于P-PHDF算法，有很大減小，雖然在運(yùn)行時(shí)間上有所增加，也在可承受范圍內(nèi)。綜上所述，從各方面仿真結(jié)果比較看出，本文提出的RTSP-PHDF算法在雜波環(huán)境中，就估計(jì)精度以及跟蹤系統(tǒng)穩(wěn)定性兩個(gè)方面而言，具有巨大的優(yōu)勢。

圖1　目標(biāo)實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡和觀測值Fig.1　True movement trajectoryand measurement value of target

圖2　目標(biāo)實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡和P-PHDF估計(jì)值Fig.2　True movement trajectory andP-PHDF estimating value of target

圖3　目標(biāo)實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡和RTSP-PHDF估計(jì)值Fig.3　True movement trajectory andRTSP-PHDF estimating value of target

圖4　P-PHDF和RTSP-PHDF目標(biāo)數(shù)目估計(jì)Fig.4　Target number estimationof P-PHDF and RTSP-PHDF

圖5　P-PHDF和RTSP-PHDF多目標(biāo)OSPA誤差Fig.5　Multi-target OSPA errorof P-PHDF and RTSP-PHDF

表2性能比照表

Tab.2　Performance comparation

4結(jié)論

本文提出了基于區(qū)間平滑的粒子概率假設(shè)密度濾波算法,在P-PHDF算法的基礎(chǔ)上，結(jié)合RTS算法，將量測引入以優(yōu)化重要性密度函數(shù)，構(gòu)建優(yōu)化重要性密度函數(shù)，使采樣粒子分布更接近系統(tǒng)真實(shí)PHD分布，從而有效解決了P-PHDF算法僅僅在轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)中采樣引起的濾波精度低、濾波發(fā)散等一些問題。仿真實(shí)驗(yàn)表明了RTSP-PHDF算法保持了良好的濾波性能，是一種估計(jì)精度高的跟蹤方法，具有較高的實(shí)用價(jià)值和廣泛的應(yīng)用前景。

需要指出的一點(diǎn)是，本文結(jié)合的RTS算法，在帶來估計(jì)精度、穩(wěn)定性的同時(shí)，也增加了計(jì)算強(qiáng)度，尤其在平滑步數(shù)增加的時(shí)候，計(jì)算強(qiáng)度增加更大，因此如何將RTS算法本身進(jìn)行改進(jìn)，在計(jì)算強(qiáng)度以及濾波精度之間尋找最佳的平衡點(diǎn)，是以后值得研究的問題。

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本 刊 聲 明

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本刊編輯部

摘要:針對(duì)雜波情況下，粒子概率假設(shè)密度濾波(P-PHDF)算法存在估計(jì)精度低、濾波發(fā)散以及粒子退化等問題，提出基于區(qū)間平滑的粒子概率假設(shè)密度濾波(RTSP-PHDF)算法。該算法利用區(qū)間平滑算法(RTS)引入觀測值優(yōu)化重要性密度函數(shù)，使粒子分布更逼近多目標(biāo)概率假設(shè)密度的分布，進(jìn)而得到優(yōu)化的采樣結(jié)果，改善濾波性能。仿真結(jié)果表明，與P-PHDF算法相比，該算法在有效提高估計(jì)精度同時(shí)，進(jìn)一步提高了跟蹤系統(tǒng)穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞:隨機(jī)有限集；區(qū)間平滑；粒子概率假設(shè)密度濾波

Particle Probability Hypothesis Density Filtering Algorithm Based on Interval SmoothingTONG Qian, LI Hongyan, MAO Shaofeng，JIAO Ling，HUANG MingJun

(Information and Navigation College, Air Force Engineering University, Xi’an 710077, China)

Abstract:In the presence of clutters, particle-probability hypothesis density filtering (P-PHDF) algorithm may cause low estimation precision, filter divergence and particle degeneracy, to solve these problems, a Rauch Tung Striebel smoother particle-probability hypothesis density filtering (RTSP-PHDF) algorithm was proposed. This algorithm exploited Rauch Tung Striebel smoother and introduced observation optimization importance density function, making particle distribution closer to multiple targets probability hypothesis density distribution and thus deducing optimized samples with improved filtering performance. The simulation revealed that, in comparison with P-PHDF algorithm, the proposed algorithm had increased estimation precision with further improved stability of tracking system.

Key words:random finite set; interval smoothing; particle-probability hypothesis density filtering

中圖分類號(hào):TN953

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1008-1194(2015)06-0087-05

作者簡介:童騫(1991—)，男，湖南婁底人，碩士研究生，研究方向：目標(biāo)跟蹤。E-mail：tongqian866@sohu.com。

基金項(xiàng)目:CEMEE國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金項(xiàng)目資助(2014K0304B)；陜西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(2015JM6332)

*收稿日期:2015-06-03