黨耀國,　王俊杰,　康文芳

(南京航空航天大學 經(jīng)濟與管理學院， 南京 210016)

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灰色預測技術研究進展綜述

黨耀國,王俊杰,康文芳

(南京航空航天大學 經(jīng)濟與管理學院， 南京 210016)

摘要:灰色預測技術是灰色系統(tǒng)理論的重要分支之一。分析了GM(1，1)模型的性質(zhì)、GM(1，1) 模型的改進與優(yōu)化、GM(1，1)模型參數(shù)估計、GM(1，1)模型初始條件優(yōu)化、GM(1,1)模型的擴展與應用及冪模型的研究進展；最后對灰色預測模型的未來研究方向提出了建議。

關鍵詞:灰色系統(tǒng)； GM(1,1)模型； 灰色預測； 優(yōu)化

20世紀60年代，鄧聚龍教授首先提出“去余控制”理論；隨后其在1982年提出灰色控制理論?；疑到y(tǒng)理論是一種解決信息不完備系統(tǒng)的數(shù)學方法，以控制論的觀點構建數(shù)學控制模型，用來分析樣本小、信息不完全的不確定系統(tǒng)問題。目前，該理論已被國內(nèi)外學者廣泛關注?；疑到y(tǒng)理論通過30多年的發(fā)展，理論體系不斷完善，分支結(jié)構越發(fā)清晰，實際應用面越來越寬泛，應用領域觸及到了水文、能源、經(jīng)濟、管理、工程、交通等諸多方面。

灰色預測理論作為灰色系統(tǒng)理論的重要內(nèi)容之一，同時也是一個新的現(xiàn)代預測方法?；疑A測方法在解決數(shù)據(jù)獲取性較差的問題時，以少量可獲取的信息為基礎，利用灰色算子提高序列的光滑度、準指數(shù)性，生成新序列，進而實現(xiàn)預測，提高了預測的精度，有效解決了經(jīng)濟社會系統(tǒng)中數(shù)據(jù)缺失、不真實等影響研究工作的瓶頸問題，彌補了大樣本建模要求的不足。

隨著灰色預測方法的不斷拓展，它越來越受到國內(nèi)外學者的廣泛認可。近期，在常用的中英文數(shù)據(jù)庫中以“grey forecasting”和“灰色預測”為關鍵詞進行搜索，共有13433篇中英文文獻被檢索到，其涉足領域包括了教育、能源、經(jīng)濟、環(huán)境、交通等多個領域(見表1)。

表1　灰預測論文常用數(shù)據(jù)庫收錄情況Tab.1　Search results of gray prediction papers from common databases

注：檢索時間為2015年1月20日

對檢索到的灰色預測論文進行分析，發(fā)現(xiàn)有關灰色預測方法的應用文獻占到了絕大多數(shù)，而對灰色預測理論方法研究的文獻相對較少。本文通過對灰色預測模型的研究，從GM(1,1)模型的性質(zhì)研究、灰色微分方程的改進、參數(shù)估計方法的優(yōu)化、初始條件的選擇優(yōu)化和GM(1,1)模型的擴展與應用研究以及GM(1,1)的冪模型研究三方面綜述灰色預測模型的研究進展。

1灰色預測模型的研究進展綜述

1.1　GM(1,1)模型研究進展

GM(1,1)模型既是灰色系統(tǒng)理論的重要組成部分，也是灰色預測理論的基礎模型和核心模型。對于灰色預測模型的理論研究也主要集中在 GM(1,1) 模型的優(yōu)化與拓展方面。1985年，鄧聚龍教授[1]首先提出了GM(1,1)模型，并對其建模條件進行研究，提出了光滑比和級比檢驗等先驗檢驗方法，求解了GM(1,1)模型的參數(shù)包，并提出多種擴展形式。此后，諸多國內(nèi)外學者加入到灰色預測模型的理論研究中，并從模型性質(zhì)、改進和應用等方面改進了GM(1,1)模型。

(2) 若序列x(0)(k)單調(diào)遞增，則a<0；若序列x(0)(k)單調(diào)遞減，則a>0；

吉培榮等[3]以白指數(shù)序列為研究對象，通過分析GM(1,1)預測白指數(shù)序列的模擬誤差，給出了無偏GM(1,1)模型。無偏GM(1,1)預測白指數(shù)規(guī)律的序列不存在預測和模擬誤差。

王文平等[4]對帶有非線性項的GM(1,1)和無偏GM(1,1)模型的混合特征進行研究；王正新等[5]在此基礎上，通過研究其混合特性，合理闡述了GM(1,1)和無偏GM(1,1)的禁區(qū)現(xiàn)象：

(1) 在GM(1,1)模型中，發(fā)展系數(shù)為-1.2

(2) 在GM(1,1)模型中，發(fā)展系數(shù)為-1

(3) 在GM(1,1)模型中，當發(fā)展系數(shù)a<-1.124 時，原始GM(1,1)模型進入混沌區(qū)；無偏模型中，當發(fā)展系數(shù)a<-1.272538 時，無偏GM(1,1) 模型進入混沌區(qū)。由此可見，無偏GM(1,1) 模型的混沌區(qū)域比原始GM(1,1)模型縮小了。

鄭照寧等[6]通過對GM(1,1)模型性質(zhì)的研究，指出灰色預測模型全都存在嚴重的病態(tài)性，而且模型的病態(tài)性問題源自模型自身，并以此否定了灰預測模型的理論與應用價值。黨耀國等[7]從矩陣的角度，利用矩陣條件對灰色預測模型的病態(tài)性問題進行研究，否定了灰色模型都存在病態(tài)性的結(jié)論，指出只有在常數(shù)序列中，并且除去首項、其余項都接近零的情況下，GM(1,1)模型才會出現(xiàn)此類病態(tài)問題。因此，GM(1,1)不存在嚴重的病態(tài)問題。李希燦等[8]提出了GM(1,1,β)模型的拓展形式： 參數(shù)包形式和內(nèi)涵型，并對這兩類拓展模型的性質(zhì)進行研究，進而提出優(yōu)化算法；研究結(jié)果表明，GM(1,1,β)灰微分方程模型參數(shù)a的客觀取值范圍是(-∞,+∞)，經(jīng)典模型則為(-2,+2);發(fā)展系數(shù)a的客觀取值范圍是由背景值系數(shù)β決定的，與原始數(shù)據(jù)無關?；椅⒎址匠棠Ｐ屯耆m合齊次指數(shù)數(shù)列。

1.1.2GM(1,1)灰色微分方程的優(yōu)化與改進眾多學者對GM(1,1)模型的灰導數(shù)進行了改進研究。目前灰導數(shù)的改進思路大致分為向后差商和向前差商后進行加權平均。張彤等[9]利用梯形面積和中點公式的求解思路，對GM(1,1)的灰導數(shù)進行推導，改進了灰導數(shù)的求解方法，提高了模型預測精度。王義鬧等[10]首先對原始序列進行向后差商和向前差商，然后求解加權平均值，并以此作為GM(1,1)灰導數(shù)的白化公式，求解灰導數(shù)；得出該模型通過線性變化后，預測結(jié)果不變的性質(zhì)，同時模擬和預測精度也得到提高。在此基礎上，文獻[11]中提出逐步求解灰導數(shù)，動態(tài)優(yōu)化GM(1,1)模型的灰導數(shù)，不僅提高了灰預測模型的精度，更解決了發(fā)展系數(shù)a絕對值過大時無法進行預測的問題。穆勇[12]對GM(1,1)灰導數(shù)的白化值求解方法進行改進，使得GM(1,1)模型具有無偏性，并且給出了無偏GM(1,1)模型有白指數(shù)重合性的證明。李玻等[13]通過研究文獻[10]中灰導數(shù)的白化方法，給出了其白化方法的合理性，進而改進了加權系數(shù)的確定方法，給出了表達式，提高了預測模型的精度。張凌霜等[14]對非等間距的時間序列進行研究，并改進了非等間距序列的背景值求解方法，利用逐步遞推的思想對背景值求解中的加權系數(shù)進一步優(yōu)化。

GM(1,1)的背景值z(1)(k)是通過一次累加后均值生成的，背景值的生成過程是否準確將直接影響模型的預測精度，因為背景值對GM(1,1)模型的參數(shù)包求解造成直接影響，發(fā)展系數(shù)a和灰作用量b都依賴于背景值，而GM(1,1)的時間響應函數(shù)的準確度取決于a和b。背景值構造的偏差與數(shù)據(jù)變化趨勢相關度較大，時間序列數(shù)據(jù)變化趨勢平緩時，背景值精確度較高，反之偏差較大。因此，許多學者都對背景值的優(yōu)化進行了探討。其中，譚冠軍[15]第一個提出GM(1,1)模型的背景值優(yōu)化，并從z(1)(k)的幾何意義入手定義了一個全新的背景值求解公式：

(m-1)x(1)(k+1)]

m=2,3,…,n

其他一些學者將背景值推廣為

z(1)(k)=αx(1)(k-1)+(1-α)x(1)(k)

其中，α∈(0,1)為待求參數(shù)。從以上公式可以看出確定公式中的參數(shù)α是求解背景值的關鍵。向躍霖[16]采用黃金分割法對α值進行搜索，并以模擬誤差的平方和最小為搜索目標，進而求解參數(shù)α。謝開貴等[17]提出利用遺傳算法來確定參數(shù)α，因為目標函數(shù)不一定可微，而且α與模擬誤差之間是非線性關系。王義鬧等[18]通過探討發(fā)展系數(shù)a與背景值公式中的參數(shù)α之間的聯(lián)系，得出結(jié)論如下：

(3)α(a)是嚴格的單調(diào)遞減函數(shù)。

羅黨等[19]從另一個角度改進了背景值的公式，利用齊次指數(shù)函數(shù)對一次累加生成序列進行擬合，進而構造了新的背景值公式，提高了預測精度。Lin等[20]結(jié)合殘差傅里葉變換思路，根據(jù)灰預測的時間響應函數(shù)，構造了一種新型的背景值公式，改進了GM(1,1)模型。王正新等[21]認為經(jīng)過一次累加后，離散的齊次指數(shù)函數(shù)將變?yōu)殡x散的非齊次指數(shù)函數(shù)；反之離散的非齊次指數(shù)函數(shù)經(jīng)過一次累減后將變?yōu)殡x散的非齊次指數(shù)函數(shù)，并給出了證明，在此基礎上改進了背景值。

1.1.3GM(1,1)模型參數(shù)估計方法穆勇[22]認為，由于線性規(guī)劃中折扣系數(shù)是依靠經(jīng)驗得來，從而導致了參數(shù)確定偏差，故提出采用折扣最小二乘法對GM(1,1)進行參數(shù)估計，并求解出了折扣最小二乘法的小生境遺傳算法，削弱了參數(shù)的偏差問題。肖新平等[23]采用模擬誤差平方和最小化的準則，對GM(1,1)模型的參數(shù)估算方法進行優(yōu)化，通過探討原始序列的平移變換對參數(shù)確定的作用給出了參數(shù)優(yōu)化方法。何文章等[24]從3種不同的差商方式出發(fā)上，提出了GM(1,1)參數(shù)的線性規(guī)劃優(yōu)化方法。Wang等[25]為了提高預測精度，利用遺傳算法對GM(1,1)的參數(shù)進行估計，效果良好。張岐山[26]將微粒群算法引入GM(1,1)模型參數(shù)估計中，對背景值求解公式中的參數(shù)α和邊值進行優(yōu)化，提高了灰色預測的精度。Hsu等[27]的研究對象為電力需求，屬于長期預測，其將小樣本參數(shù)估計的統(tǒng)計方法引入到GM(1,1)的參數(shù)估計中，拓寬了灰預測方法的適應范圍，使其能應用于中長期預測。Shih等[28]引入遺忘因子的概念和遞推的思想，對具有時變參數(shù)的 GM(1,1) 模型運用遞推最小二乘法進行估計，提高了預測精度。王義鬧等[29]針對灰預測模型檢驗與模型優(yōu)化脫節(jié)的問題，基于平均相對誤差最小化的原則，提出了一類估計指數(shù)型參數(shù)估計方法，從理論上最小化了預測模型的平均相對誤差絕對值。

1.1.4GM(1,1)模型初始條件的優(yōu)化經(jīng)典GM(1,1)模型是以序列中第一個數(shù)據(jù)為白化微分方程的初始條件進行求解的，鄧聚龍[30]考慮到灰色系統(tǒng)理論中的新信息優(yōu)先原理，并同時證明了序列第一個數(shù)據(jù)與模型的預測值和發(fā)展系數(shù)并無關系。隨后，許多研究學者對GM(1,1)模型的初始條件進行深入研究。黨耀國等[31]提出以時間序列中最新的一個數(shù)據(jù)作為模型求解的初始條件，是對灰色系統(tǒng)新信息優(yōu)先原理的重要體現(xiàn)；此外，基于樣本綜合最優(yōu)化原理，可選取最小偏差中間數(shù)據(jù)為初始條件，以及原始累加序列與模擬累加序列偏差平方和最小和平均相對偏差最小、原始序列與模擬序列偏差平方和最小等方法。王育紅等[32]從線性組合的角度，以首個數(shù)據(jù)和最后一個數(shù)據(jù)作線性組合作為初始條件，并用最優(yōu)化思想求解權重系數(shù)。

1.1.5GM(1,1)模型擴展及其應用研究鄧聚龍[33]提出了GM(1,1)模型群，在GM(1,1)模型的基礎上，從定義和白化過程出發(fā)，推導出了 GM(1,1,x(1))、GM(1,1,x(0))、GM(1,1,b)、GM(1,1,exp) 和GM(1,1,C)5種派生模型。宋中民等[34]通過深入研究建模機理提出了中心逼近式的灰色GM(1,1)模型。Chen等[35]為了進一步體現(xiàn)GM(1,1)模型的動態(tài)性，結(jié)合時間序列ARMA的建模機理，提出了 DGDM(1,1,1) 模型，并得到廣泛應用。Hsu等[36]應用人工神經(jīng)網(wǎng)絡修正GM(1，1)模型的殘差，取得了較好的預測效果。謝乃明等[37]構建了離散GM(1,1)模型，并給出了遞推求解算法，通過研究該模型的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)離散GM(1,1)模型對于白指數(shù)序列建模具有完全重合性。姚天祥等[38]在離散GM(1,1)模型的基礎上，對其建模的初始條件進行深入研究。Wang等[39]研究了離散GM(1,1)模型的無偏性，并給出了遞推解法，同時求解了不同初始條件下無偏模型的對推公式，對兩種不同準則下的初始條件進行了優(yōu)化。王正新等[40]提出利用時間系數(shù)修正等間距時序，解決了GM(1,1)模型無法應用在大波動序列的問題；同時，給出了時間權重系數(shù)的計算方法，利用反向累加生成算子，建立GOM(1,1)模型，結(jié)合GM(1,1)和GOM(1,1)模型，提出兩階段灰色預測模型。錢吳永等[41]引入序列轉(zhuǎn)換法則，對振蕩序列利用轉(zhuǎn)換法則轉(zhuǎn)化為單調(diào)序列，再利用灰色預測模型有效地解決了振蕩序列預測問題。

實際問題中存在著大量的非等間距時序問題，而經(jīng)典的GM(1,1)模型僅適用于等間距序列的預測和模擬。因此，許多學者對非等間距序列的預測問題展開研究。羅佑新等[42]通過研究給出了直接建模法的前提條件： 初始序列需具備單調(diào)性、非負性、上凹性等性質(zhì)，并且需要滿足

[max Δtk/min Δtk]<2

Shi[43]首先利用線性變化負責將非等間距序列轉(zhuǎn)化為等間距序列，然后通過逆變換還原。史雪榮等[44]運用上述文獻的序列生成方法，分析了變參數(shù)非等間距 GM(1,1) 模型及應用。蔣衛(wèi)東等[45]避免了對原始非等間距序列的人為改造，提出時數(shù)分離法，通過概念的轉(zhuǎn)換得到兩個等間距序列，但對于這類轉(zhuǎn)換需進一步研究其同步預測性。戴文戰(zhàn)等[46]借用文獻[19]中所提出的背景值優(yōu)化模型，構建了非等間距GM(1,1)模型，提高了建模的精度。王葉梅等[47]則利用文獻[40]中提出的背景值最優(yōu)模型，構建了新的非等間距模型，得到了較高的模擬精度。但是，對于非等間距序列的建模條件、生成方法等研究較少，目前較多的是對非等間距灰預測模型的簡單推廣，建模機理、生成原則和轉(zhuǎn)換前提等有待進一步深入研究。肖新平等[48]對廣義累加灰色預測控制模型進行了深入分析，得出該灰預測模型其實是跳躍模型、非等間距模型和階段模型的統(tǒng)一變現(xiàn)形勢，并且對初始點的變化對模型參數(shù)及預測值的影響進行了研究，利用矩陣分析推導了它們之間的數(shù)量關系；利用廣義累加生成矩陣，對其中的元素、初始點和初始條件選取進行優(yōu)化，并對廣義累加灰色預測控制模型進行組合優(yōu)化。郭曉君等[49]以含時間冪次項的灰色模型為基礎GM(1,1,tα)，構建了灰色 GM(1,1,tα) 與自憶性原理的耦合預測模型；用動力系統(tǒng)自憶性原理來克服傳統(tǒng)灰色模型對初值比較敏感的弱點。

1.2　GM(1,1)冪模型研究進展

GM(1,1)冪模型是灰色預測模型的拓展，是GM(1,1)模型和Verhulst模型的推廣，對具有單峰特征的數(shù)據(jù)具有較好的模擬效果。冪模型中的灰作用量的冪指數(shù)可以靈活調(diào)整，以擬合不同特征曲線，這是該模型的最大特點。王正新等[50]提出了冪指數(shù)的白化公式，結(jié)合灰色系統(tǒng)的信息覆蓋思想，給出了冪模型的求解方法，并分析了冪指數(shù)的變化對模型求解的影響。當冪指數(shù)取2時，即為灰色Verhulst模型。

事物在開始階段增長緩慢，隨后增速逐步增大，然后進入高速增長期，最后進入低速增長期直至停止增長，因此，事物的發(fā)展過程一般呈S形態(tài)，灰色Verhulst模型即適用于此類形狀。該模型首先對原始序列進行一階累加生成，然后建立灰色預測模型；相比于傳統(tǒng)Verhulst模型，其把序列近似為單峰型數(shù)據(jù)，拓寬了傳統(tǒng)Verhulst模型應用寬度，提高模擬精度。若原始數(shù)據(jù)本身即是S形態(tài)，且為小樣本數(shù)據(jù)，則可直接建立灰色Verhulst模型。何文章等[51]對灰色Verhulst模型的參數(shù)估計方法和初始條件進行優(yōu)化，提高了模擬預測的效果。Wang等[52]從梯形面積公式的白化灰導數(shù)出發(fā)，提出了一種新的灰色 Verhulst 定義式，提高了差分方程參數(shù)與微分方程中參數(shù)的一致性。Kayacan等[53]引入傅里葉變換，對灰色Verhulst的模擬誤差進行修正，提高模擬效果，并用改進的模型對歐元對美元的匯率走勢進行預測。王正新等[54]利用非齊次指數(shù)函數(shù)的倒數(shù)生成算子，構建了無偏灰色Verhulst模型，降低了模型本身存在的固定偏差。楊德嶺等[55]對“灰度不減”公理進行延伸，得到了“信息域不減”的推論；然后，構建核序列的Verhulst模型，并以信息域不減推論為依據(jù)、以核為中心推導區(qū)間灰數(shù)上(下)界的時間響應式。王正新[56]對原始序列建立 GM(1,1) 冪模型以描述系統(tǒng)行為的總體趨勢；然后，利用傅里葉級數(shù)提取模型的殘差序列所包含的周期性振蕩規(guī)律，并以兩者之和構成新的時間響應函數(shù)；最后以平均誤差最小化為目標，建立非線性優(yōu)化模型求解最優(yōu)參數(shù)。王正新[57]提出一種時變參數(shù)GM(1,1)冪模型，通過引入多項式函數(shù)描述GM(1,1)冪模型的結(jié)構參數(shù)隨時間的動態(tài)變化規(guī)律；根據(jù)建模樣本量的不同，分3種情形給出了模型的參數(shù)辨識算式，同時給出了時變參數(shù)GM(1,1)冪模型白化方程的解析解，利用積分復合梯形公式將其轉(zhuǎn)化為可用于預測的離散時間響應式，并提出了參數(shù)優(yōu)化方法。

2灰色預測模型研究展望

目前，對灰色預測模型的研究主要集中在 GM(1,1) 模型的優(yōu)化與拓展，提高GM(1,1)模型的預測精度。對于拓廣灰色預測模型適用范圍的研究較少。在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、經(jīng)濟、管理等實際應用領域中，周期型數(shù)據(jù)、時滯型數(shù)據(jù)、變趨勢型數(shù)據(jù)、多因素截面數(shù)據(jù)、多因素面板數(shù)據(jù)、災變數(shù)據(jù)、振蕩型數(shù)據(jù)等不同特征的數(shù)據(jù)普遍存在。對于不同類型的數(shù)據(jù)，構建對應的GM(1,1|T)、GM(1,n,τ(i))、GM(1,n,T(i))、GDM(1,n|τ,κ)適用模型，同時，探究各類模型的性質(zhì)，分析模型的適用范圍和參數(shù)的求解方法。

隨著社會經(jīng)濟、科學、技術等各方面的不斷發(fā)展，人們所面臨的實際問題越來越復雜，數(shù)據(jù)量越來越大，如何有效地從大數(shù)據(jù)中提取有效信息是對問題未來發(fā)展趨勢準確預測的前提。因此，對灰色組合預測模型的研究具有一定必要性。如利用灰關聯(lián)、灰決策模型對多因素預測問題需要先對因素進行篩選，增強預測的有效性；灰色預測模型與博弈模型、控制模型、投入產(chǎn)出模型等組合運用，將有效地處理復雜預測決策問題。

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Survey of Gray Prediction Model Research

DANGYaoguo,WANGJunjie,KANGWenfang

(College of Economics and Management, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,

Nanjing 210016, China)

Abstract:Gray prediction is an important branch of the gray system theory. Six aspects were summarized for the existing research of gray prediction. These are the property research of GM(1,1) model, improvement and optimization of GM(1,1) model, parameter estimation method, optimization of initial condition, extension and application researches of GM(1,1) model, and research on power model. Finally, two suggestions are made for the future study of gray prediction models.

Key words:gray system; GM(1,1) model; gray prediction; optimization

文獻標志碼：A

中圖分類號:N 941.5

文章編號2095 - 0020(2015)01 -0001 - 07

作者簡介：黨耀國(1964-)，男，教授，博士生導師，主要研究方向為灰色系統(tǒng)理論，E-mail： iamdangyg@163.com

基金項目：國家自然科學 資助(71071077，71371098)；中央高校基本科研業(yè)務費專項資金資助(NC2012001)；江蘇省高校哲學社會科學重點研究基地重大項目資助(2012JDXM005)

收稿日期：2015 - 01 - 15