劉慧宏,丁元耀

(寧波大學(xué),浙江 寧波 315211)

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考慮無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的安全首要有效投資組合

劉慧宏,丁元耀

(寧波大學(xué),浙江 寧波 315211)

摘要：安全首要準(zhǔn)則在應(yīng)用于投資策略選擇時(shí),更強(qiáng)調(diào)投資要預(yù)防極端或重大損失的發(fā)生。目前三種經(jīng)典的安全首要投資組合模型皆存在局限性。綜合并改進(jìn)三種經(jīng)典安全首要投資組合選擇模型,以此為基礎(chǔ),建立一個(gè)新的考慮無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的安全首要投資組合選擇模型,并討論其最優(yōu)投資組合策略,該模型更加適合進(jìn)行國(guó)家社會(huì)保障基金的投資管理。在存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情形下得到安全首要最優(yōu)投資組合策略存在的充分必要條件,給出有效投資組合策略的顯式表達(dá)。

關(guān)鍵詞：安全首要準(zhǔn)則;投資策略;無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn);社?；鹜顿Y

一、引言

現(xiàn)代投資組合理論及其應(yīng)用的既有研究中,除均值—方差準(zhǔn)則模型以外,另一類(lèi)最典型的投資組合選擇模型就是安全首要準(zhǔn)則模型。經(jīng)典的安全首要準(zhǔn)則模型有三種基本形式,分別是由Roy提出的RSF模型、由Telser提出的TSF模型和由Kataoka提出的KSF模型。早期的研究主要集中于均值—方差模型的理論框架,但是,自1997年亞洲金融危機(jī)以來(lái),安全首要準(zhǔn)則模型便受到了更多的關(guān)注。在理論研究中,RSF模型在連續(xù)時(shí)間條件下動(dòng)態(tài)化,*Chiu M, Wong H, Li D, “Roy’s Safety-First Portfolio Principle in Financial Risk Management of Disastrous Events，”Risk Analysis, vol.32, no.11(2012.11), pp.1856-1872.TSF模型通過(guò)分解可行解集轉(zhuǎn)化為雙層最優(yōu)化問(wèn)題討論求解方法,*鄭珍:《Telser的安全第一準(zhǔn)則下的最優(yōu)CRP組合投資策略》,碩士學(xué)位論文,蘭州大學(xué),2012年,第11頁(yè)。KSF在橢球分布下得到最優(yōu)解解析式及其存在條件,*Ding Y， Zhang B,“Optimal portfolio of safety-first models,” Journal of Statistical Planning and Inference, vol.139，no.9(2009.09), pp.2952-2962．安全首要準(zhǔn)則也與均值—方差準(zhǔn)則結(jié)合起來(lái)研究,用幾何方法解釋了安全首要準(zhǔn)則、期望效用準(zhǔn)則及均值方差準(zhǔn)則之間的關(guān)系,*Li Z, Yao J, Li D,“Behavior patterns of investment strategies under Roy’s safety-first principle,” The Quarterly Review of Economics and Finance, vol.50, no.2(2012.05), pp.167-179.安全首要準(zhǔn)則與均值—下半方差準(zhǔn)則相結(jié)合建立模型。*Promislow D, Young V, “Minimizing the probability of ruin when claims follow Brownian motion with drift,” North American Actuarial Journal, vol.9,no.3(2005.03), pp.109-128．改進(jìn)型安全首要準(zhǔn)則模型對(duì)保險(xiǎn)資金投資進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理,*陳雷:《基于改進(jìn)型安全第一準(zhǔn)則的保險(xiǎn)資金投資風(fēng)險(xiǎn)管理研究》,碩士學(xué)位論文,西南財(cái)經(jīng)大學(xué),2012年,第54頁(yè)。隨機(jī)可持續(xù)回報(bào)被引入安全首要準(zhǔn)則模型,以研究社會(huì)責(zé)任投資。*Dorfleitner G, Utz S, “Safety first portfolio choice based on financial and sustainability returns,” European Journal of Operational Research, vol. 221,no.1(2012.08),pp.155-164.無(wú)論是理論研究還是應(yīng)用研究,均取得了比較豐富的研究成果。

不同于均值—方差準(zhǔn)則,在安全首要準(zhǔn)則下,風(fēng)險(xiǎn)被認(rèn)為是造成損失或未達(dá)到預(yù)期的最大可能原因,以潛在的損失概率來(lái)測(cè)度,投資者在進(jìn)行投資決策時(shí)應(yīng)優(yōu)先控制未來(lái)收益低于某一水平的概率。安全首要準(zhǔn)則在應(yīng)用于投資策略選擇時(shí),更強(qiáng)調(diào)投資要預(yù)防極端或重大損失的發(fā)生。然而,三種經(jīng)典的安全首要投資組合模型也存在局限性。第一,在RSF模型與TSF模型中,安全收益水平事先已知, RSF模型的目標(biāo)為破產(chǎn)概率最小,TSF模型的目標(biāo)是破產(chǎn)概率約束下的期望收益最大。第二,在KSF模型中,安全收益水平事先未知,其目標(biāo)則是破產(chǎn)概率約束下的安全收益水平最大?，F(xiàn)實(shí)中,追求收益是幾乎一切投資的基本要求,即使像國(guó)家社會(huì)保障基金的投資,在強(qiáng)調(diào)基金安全的同時(shí)也要為了實(shí)現(xiàn)基金的保值增值而選擇收益更高的投資策略。

本文將在綜合與改進(jìn)三種經(jīng)典安全首要投資組合選擇模型的基礎(chǔ)上,建立一個(gè)新的考慮無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的安全首要投資組合選擇模型,并討論其最優(yōu)投資組合策略。本文的結(jié)構(gòu)安排如下:第二部分,建立一個(gè)考慮無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的雙目標(biāo)安全首要投資組合選擇模型;第三部分,根據(jù)市場(chǎng)信息對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化;第四部分,給出模型的最優(yōu)解及有效前沿;第五部分,考慮不允許籌借資金投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí),模型的最優(yōu)解及其存在條件;第六部分進(jìn)行總結(jié)。

二、改進(jìn)的安全首要投資組合選擇模型

假設(shè)Rmin表示投資者所希望的最低安全收益水平,其大小取決于投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的承受水平α,其中0<α<1。對(duì)于投資者而言,以下的模型可以更好地描述其投資決策的行為:

(1)

這是一個(gè)雙目標(biāo)安全首要投資組合選擇模型。顯然模型(1)是對(duì)經(jīng)典安全首要模型的改進(jìn),本文稱(chēng)其為改進(jìn)安全首要投資組合選擇模型(ModifiedSafety-FirstModel,簡(jiǎn)稱(chēng)MSF模型)。

三、簡(jiǎn)化的改進(jìn)安全首要投資組合選擇模型

為了獲得MSF模型(1)的有效投資組合,本文考慮從以下幾個(gè)方面將模型(1)轉(zhuǎn)變?yōu)閱文繕?biāo)隨機(jī)優(yōu)化模型。

首先,假設(shè)投資者想尋找期望收益水平不低于給定水平m的有效投資組合,則MSF模型(1)可以等價(jià)為如下模型:

(2)

通常要求m>r0,否則將所有資金存入銀行會(huì)是最優(yōu)策略,此時(shí)投資者將獲得固定收益率r0,這也是安全收益。因此本文將假定m>r0。

其次,假設(shè)投資者想尋找安全收益水平不低于給定水平r的有效投資組合,則MSF模型(1)可以等價(jià)為如下模型:

(3)

再次,引入?yún)?shù)λ,則可以將MSF模型(1)等價(jià)為如下模型:

(4)

對(duì)于給定的α,如果MSF模型(1)存在有效前沿的話(huà),可以通過(guò)求解不同參數(shù)值m的模型(2)、不同參數(shù)值r的模型(3)或不同參數(shù)值λ的模型(4)中的任意一個(gè)來(lái)獲得該有效前沿。因此,本文接下來(lái)只討論模型(2)。

雖然Ding和Zhang曾對(duì)模型(2)進(jìn)行了討論,但他們只是在不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情形下討論了該安全首要模型的最優(yōu)投資組合策略的選擇問(wèn)題。①Ding Y, Zhang B, “Risky Asset Pricing Based on Safety First Fund Management,”Quantitative Finance, vol. 9,no.3(2009.03), pp.353-361.

(一)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益服從橢球分布情形

假設(shè)收益向量R服從n維橢球分布,即R～En(μ,Ω,gn),密度函數(shù)為:

y∈Rn。

令kα滿(mǎn)足:

(5)

(6)

(7)

模型(7)可以進(jìn)一步表示為:

(8)

(二)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益分布不規(guī)則情形

如果收益向量R分布不規(guī)則或無(wú)法確知其分布類(lèi)型,那么可以通過(guò)著名的Tchebycheff不等式得到:

(9)

四、改進(jìn)安全首要投資組合選擇模型的有效前沿

(一)安全首要投資組合最優(yōu)解及其存在條件

為了表示方便,本文采用如下記號(hào):

a=μT∑-1μ,b=μT∑-1e,c=eT∑-1e,

d=ac-b2,s=a-2br0+cr02。

(10)

容易驗(yàn)證a>0,c>0,d>0,s>0。

根據(jù)Kuhn-Tucker條件對(duì)凸非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題——模型(8)進(jìn)行求解,可以得到定理1。

定理1:當(dāng)m>r0時(shí),安全首要有效投資組合策略存在的充分必要條件是:

(11)

此時(shí),唯一的安全有效投資組合策略由以下公式給出:

X*=(m-r0)∑-1(μ-r0e)/s。

(12)

顯然,X=0,X0=1對(duì)于在任意給定的風(fēng)險(xiǎn)控制水平α下都是一個(gè)安全首要有效的投資組合。但是,這個(gè)組合對(duì)于社?；鸬耐顿Y應(yīng)用而言并沒(méi)有實(shí)際價(jià)值。

(二)安全首要投資組合的有效前沿及其特征

全部安全首要有效投資組合策略的集合構(gòu)成安全首要投資組合的有效前沿。對(duì)于每個(gè)有效投資組合策略,對(duì)應(yīng)一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)控制水平、期望收益水平、安全收益水平的組合(α,m,Rmin);反之,給定滿(mǎn)足存在條件的一組(α,m,Rmin),對(duì)應(yīng)一個(gè)安全有效投資組合策略。因此,安全首要投資組合策略集也對(duì)應(yīng)于三維空間的一個(gè)集合{(α,m,Rmin)},該集合稱(chēng)為MSF投資組合有效前沿。由于風(fēng)險(xiǎn)控制水平α與概率風(fēng)險(xiǎn)度zα一一對(duì)應(yīng),因此為了更加直觀,我們下面用安全首要投資組合策略集對(duì)應(yīng)的集合{(zα,m,Rmin)}描述MSF投資組合有效前沿。對(duì)于給定的滿(mǎn)足存在條件的風(fēng)險(xiǎn)控制水平α或者概率風(fēng)險(xiǎn)度zα,每個(gè)安全首要有效投資組合策略對(duì)應(yīng)一個(gè)期望收益水平、安全收益水平的組合(m,Rmin),這些有效投資組合策略的集合或者其對(duì)應(yīng)的二維空間點(diǎn)集{(m,Rmin)},形成α-MSF投資組合有效前沿。MSF投資組合有效前沿與α-MSF投資組合有效前沿統(tǒng)稱(chēng)為安全首要投資組合有效前沿。

(13)

于是,MSF投資組合有效前沿可以表示為:

{(α,m,Rmin)|zα<-s,m>r0,

(14)

可見(jiàn),在三維空間α-m-Rmin或者zα-m-Rmin坐標(biāo)系中,MSF投資組合有效前沿是在范圍zαr0,Rmin

圖1　MSF安全首要投資組合有效前沿

圖2　α-MSF投資組合有效前沿族

總之,安全首要投資組合有效前沿具有如下特征:第一,安全首要投資組合前沿是一個(gè)凸開(kāi)集;第二,任何兩個(gè)安全首要有效投資組合策略的線(xiàn)性組合仍然是一個(gè)安全首要有效的投資組合策略;第三,安全首要有效投資組合策略可以由任何兩個(gè)有效的安全首要投資組合所生成,即存在兩基金分離現(xiàn)象;第四,對(duì)于給定的風(fēng)險(xiǎn)控制水平α,安全首要投資組合的均值—方差有效前沿與經(jīng)典的均值—方差模型有效前沿相同。

五、不允許籌借資金投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)條件下的安全首要投資組合策略

考慮到現(xiàn)實(shí)的基金管理中不允許籌借資金投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),所以顯然有約束X0≥0。類(lèi)似的,模型(8)可以構(gòu)建不允許籌借資金投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)條件下的安全首要投資組合模型:

(15)

只考慮0<α<0.5情形,此時(shí)模型(15)是一個(gè)凸非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。根據(jù)Kuhn-Tucker條件模型(15)進(jìn)行求解,可以得到定理2與定理3。

安全首要準(zhǔn)則不像方差一樣局限在資產(chǎn)的波動(dòng)性上, 還反映了資產(chǎn)損益的分布情況, 是一個(gè)更加綜合的指標(biāo)。因此安全首要準(zhǔn)則描述風(fēng)險(xiǎn)的思想更加適用于社?；鹜顿Y管理。*李仲飛,姚京:《安全第一準(zhǔn)則下的動(dòng)態(tài)資產(chǎn)組合選擇》,系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2004年第1期,第41頁(yè)。不允許籌借資金投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的安全首要投資組合策略,與現(xiàn)實(shí)的社?；鹜顿Y管理要求更加接近,應(yīng)該能更好地指導(dǎo)社保基金的投資活動(dòng),具體將另外撰文討論。

六、結(jié)論

本文的創(chuàng)新之處在于將三種經(jīng)典形式的安全首要投資組合選擇模型集成為一個(gè)安全控制條件下的多目標(biāo)優(yōu)化模型,并在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益服從橢球分布和不允許籌借資金投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的條件下,給出了求解最優(yōu)投資組合的方法與有效投資組合的顯式表達(dá)。雖然在相同的經(jīng)典假設(shè)下,安全首要投資組合的均值—方差有效前沿完全相同,但是改進(jìn)后的安全首要模型,其應(yīng)用背景和實(shí)際意義均有別于均值—方差模型,安全投資者選擇投資策略的步驟和操作過(guò)程也有別于均值—方差投資者。

另一方面,對(duì)于放寬模型假設(shè)條件的進(jìn)一步研究,無(wú)論是否具有新的發(fā)現(xiàn),對(duì)于理論或者實(shí)踐都具有一定的意義。

〔責(zé)任編輯：沈丹〕

·經(jīng)濟(jì)觀察·

Security-First Efficient Portfolio of Investment with a Riskless Asset

LIU Hui-hong, DING Yuan-yao

(NingBoUniversity,NingBo315211,China)

Abstract:Security-first principle puts emphasis on prevention from severe loss when it is applied in the selection of investment strategies. Currently the three classical security-first portfolio of investment have limitation. Based on classical security-first portfolio of investment models, the paper put forward an improved security-first portfolio of investment model with a riskless asset which is well adapted to management of investment of social security fund. It obtains the necessary and sufficient conditions for existing optimal security-first portfolios of the model, and then provides explicit expression of efficient portfolio strategies.

Key words:security-first; investment strategy; Riskless Asset; investment of social security fund

作者簡(jiǎn)介：劉慧宏,男,博士,寧波大學(xué)商學(xué)院副教授;丁元耀,男,博士,寧波大學(xué)商學(xué)院教授。

基金項(xiàng)目：國(guó)家社科 “社?；鹜顿Y的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)防控對(duì)策研究”(12BGL029);浙江省自然科學(xué) “改進(jìn)的安全首要投資組合選擇理論研究”(LY12G01006)

收稿日期：2014-11-15

中圖分類(lèi)號(hào)：F830.5;F832.4

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章分類(lèi)號(hào)：1674-7089(2015)01-0027-08