劉 鵬，周 杰，黃 雷

（南京信息工程大學 電子與信息工程學院，江蘇 南京 210044）

0 引言

在無線通信系統(tǒng)中天線陣列可以用來提升系統(tǒng)容量和信號質(zhì)量，所以角度參數(shù)對天線陣列性能的影響很重要。波達信號的角域包括水平方位到達角（Azimuth of Arrival，AOA）和俯仰角（Elevation of Arrival，EOA）。 文獻[1]中研究包含三維(three Dimensional，3D)天線陣列方法，假設方位到達角 AOA在[0，2π]上均勻分布，仰角則是不均勻地分布在水平面上。文獻[1]中沒有給出與水平方位到達角AOA、俯仰角EOA、天線陣列幾何相關的閉合解析式。文獻[2]中研究表明大約65%的入射信號相對于水平方位角平面仰角大于 10°。文獻[3]中提到室內(nèi)到室外幾種環(huán)境中平均仰角擴展為9°。文獻[4]研究表明均勻線陣（Uniform Linear Array，ULA）和均勻圓陣（Uniform Circular Array，UCA）下均勻分布和拉普拉斯分布的到達角概率分布函數(shù)和空間相關性函數(shù)，結(jié)果受限于方位平面。本文將研究方位到達角AOA和仰角EOA在均勻矩形陣列（Uniform Rectangular Array，URA）下對空間相關性的影響。

本文介紹了定向信道模型和均勻矩形陣列導向矢量（Steer Vector，SV），推導出在 3D均勻矩形陣列多種功率譜分布下空間衰落相關性的封閉形式表達式，分析AOA、EOA、方位角擴展(Azimuth Spread，AS)、俯仰角擴展(Elevation Spread，ES)及陣元間距對相關性的影響。采用多重信號分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法對MIMO系統(tǒng)波達信號方向進行空間譜估計，推導了多種天線陣列空間譜通用公式。本文分析可以應用于多輸入多輸 出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）系統(tǒng)容量分析以及MIMO系統(tǒng)的波達信號方向（Direction of Arrival，DOA）估計。

1 多天線信道模型

使用非頻率選擇性瑞利衰落信道模型分析天線陣列性能。信道脈沖響應表示為[5]：

其中，J是發(fā)射端天線總數(shù)量，aj(t)是發(fā)射端第j個天線復振幅，α(φj，θj)是均勻矩形陣列入射信號 矢量 ，這里 0≤φj＜2π，0≤θj＜π。 如圖 1 所示，φj和 θj是發(fā)射端第j個天線的水平方位到達角和俯仰角。圖1坐標系中xoy平面上設定一個N×P的均勻矩形天線陣列，入射信號矢量可以表示為[6]：

其中 μ=2πdxcosφsinθ/λ，υ=2πdysinφsinθ/λ，αN(μ)=[1，ejυ，…，ej(N-1)μ]T，αP(υ)=[1，ejυ，… ，ej(P-1)υ]T，[]T代表 轉(zhuǎn)置符號，λ是波長。標量dx和dy分別是天線陣元與x軸和y軸的平行間距。指數(shù)n和p表示天線陣元位于均勻矩形陣列 URA第n行第p列，表示為(n，p)。

圖1 均勻線性陣列URA三維空間接收模型

2 均勻矩形陣列空間衰落相關性

下面討論在天線陣列為3D均勻矩形陣列時，均勻分布和高斯分布情況下的空間相關性。在均勻矩形陣列URA下，(n，p)和(m，q)兩陣元之間空間相關性表示為：

E[g]是期望運算符，上標*表示共軛復數(shù)，αnp(φ，θ)表示為(n，p)天線的入射信號。p(φ，θ)為接收端到達角概率分布密度函數(shù)，假設AOA和EOA是非相關的，函數(shù)p(φ，θ)可以表示為p(φ)，p(θ)。

2.1 均勻分布情況下空間衰落相關性

假設波達信號水平方位角AOA和俯仰角EOA是均勻角能量分布函數(shù)。其函數(shù)表達式為：

式中，2Δφ是 AOA方位角的范圍，2Δθ是俯仰角 EOA的范圍。根據(jù)式(3)可以進一步展開得到：

2.2 高斯分布情況下空間衰落相關性

假設波達信號水平方位角AOA和俯仰角EOA遵循高斯角能量分布[7]。其函數(shù)表達式為：

其中，σg是功率譜分布標準差，Cg是分布密度函數(shù)歸一化常數(shù)。φφ是水平方位中心到達角，φθ是俯仰中心到達角。根據(jù)式（3）可以得到均勻矩形陣列 URA下，入射信號遵循高斯角能量分布時，兩陣元之間空間相關性表達式：

3 波達信號空間譜分析

空間譜是陣列信號處理中的重要概念，是信號在空間各個方向上的能量分布。本文利用MUSIC算法來分析URA下入射信號空間譜與其他天線陣列比較情況。MUSIC算法是利用接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣分離信號子空間和噪聲子空間，通過正交性來構成空間掃描譜估計參數(shù)。假設有n信號入射到陣元數(shù)為p的天線陣列，n≤p，則其接收信號表達式為：

這 里 ，α(φi，θi)是 天 線 陣 列 信 號 導 向 矢 量 ，si(t)是 獨立同分布窄帶隨機信號，n(t)是均值為0、方差為σ2平穩(wěn)高斯白噪聲。天線陣列為均勻線性陣列和均勻圓形陣列時，其入射信號導向矢量分別表示為：

MIMO天線陣列信號自相關矩陣Ryy可表示為：

對式（14）進行特征分解可以得到：

式中，Us是由大特征值對應的特征矢量張成的子空間也即信號子空間，而Un是由小特征值對應的特征矢量張成的子空間也即噪聲子空間。假設信號子空間與噪聲子空間正交，且波達信號為弱相關或不相關，通過MUSIC算法得到空間譜公式為[8]：

4 數(shù)值結(jié)果與分析

圖2為入射信號遵循均勻分布時，俯仰角EOA和陣元間距對陣元(1，1)和陣元(2，2)之間空間相關性的影響。 設定 φ0和 θ0取 90°，AS為定值時，取 ES為不同值，比較兩個陣元之間相關性對于陣元間距的變化。隨著ES的增大，兩陣元間相關性隨之減小，隨著陣元間距的增大，空間相關性減小。

圖3所示為方位到達角AOA和陣元間距對兩陣元間空間相關性的影響。 設定 φ0和 θ0取 90°，ES為定值時，取AS為不同值，比較兩個陣元之間的相關性相對于陣元間距的變化。從圖中可以明顯看出，隨著AS的增大，兩陣元之間的相關性隨之減小，同樣隨著陣元間距的增大，空間相關性減小。

圖2 均勻分布下AS=0°時d/λ和ES對空間衰落相關性的影響

圖3 均勻分布下ES=0°時d/λ和AS對空間衰落相關性的影響

圖4所示為入射信號遵循高斯分布時，方位到達角AOA和陣元間距對兩陣元間空間相關性的影響。當AS為0°時，取ES為不同值，比較兩個陣元之間的相關性相對于陣元間距的變化。從圖中可以看出隨著ES的增加空間相關性減小。

圖4 高斯分布下AS=0°時d/λ和ES對空間衰落相關性的影響

如圖5所示，入射信號遵循高斯分布時，方位到達角AOA和陣元間距對兩陣元之間的空間相關性的影響。當 ES為 0°時，取 AS為不同值，可以看出隨著AS的增加，空間衰落相關性下降的更快，結(jié)論與均勻分布情況下得出的結(jié)論一致。

圖5 高斯分布下ES=0°時d/λ和ES對空間衰落相關性的影響

圖6 均勻線性陣列下空間譜

圖7 均勻圓形陣列下空間譜

圖8 均勻矩形陣列下空間譜

如圖6～圖8所示為MIMO天線陣列在分別采用ULA、UCA和URA情況下的空間譜分析仿真結(jié)果。假設有9個天線陣元，ULA陣元間距為d=0.5λ，UCA陣元半徑r=0.5λ，URA陣元間距為dx=dy=0.5λ。 在到達角參數(shù) φ和θ取相同值的情況下，入射信號在三維空間中進行定位時，會出現(xiàn)相位模糊情況。圖6所示ULA空間為非均勻性，方向選擇性強，所以波達信號的相位模糊比較嚴重，出現(xiàn)許多的MUSIC偽譜峰值。在圖7和圖8中可以看出，UCA和URA情況下相位模糊情況比ULA減弱，在θ角測向時可能出現(xiàn)一個偽譜峰值。所以分析空間譜時采用UCA和URA會得到更好的效果，趨向于無模糊定位。

5 結(jié)論

本文推導了三維多徑信道中均勻矩形陣列URA在多種角能量分布下的空間衰落相關性解析公式，分析AOA、EOA、AS、ES以及陣元間距對空間衰落相關性的影響。采用多重信號分類MUSIC算法對MIMO系統(tǒng)波達信號方向進行空間譜估計，推導了多種天線陣列空間譜通用公式。通過計算機程序模擬仿真驗證了分析結(jié)果，仿真結(jié)果表明方位角擴展AS和仰角擴展ES是天線相關性的主要決定因素，空間衰落相關性隨著AS和ES的增加而減小。當AS和ES增加同樣角度時，在AS增加的情況下，空間衰落相關性下降的更快，表明了AS對空間相關性影響更大。仿真結(jié)果還表明，采用同樣的參數(shù)情況下估計MIMO系統(tǒng)空間譜，均勻矩形陣列URA相對于ULA和UCA更有優(yōu)勢。

[1]AULIN T.A modified model for the fading signal at a mobile radio channel[J].Vehicular Technology，IEEE Transactions on，1979，28(3)：182-203.

[2]KUCHAR A，ROSSI J P，BONEK E.Directional macro-cell channel characterization from urban measurements[J].Antennas and Propagation，IEEE Transactions on，2000，48(2)：137-146.

[3]KALLIOLA K，SULONEN K，LAITINEN H，et al.Angular power distribution and mean effective gain of mobile antenna in different propagation environments[J].Vehicular Technology，IEEE Transactions on，2002，51(5)：823-838.

[4]TSAI J A，BUEHRER R M，WOERNER B D.Spatial fading correlation function of circular antenna arrays with Laplacian energy distribution[J].IEEE Communications Letters，2002，6(5)：178-180.

[5]周杰，陳靖峰，邱琳.三維空間MIMO信道接收天線陣列互耦效應及系統(tǒng)容量分析[J].通信學報，2012，33(6)：1-10.

[6]YONG S K，THOMPSON J S.Three-dimensional spatial fading correlation models for compact MIMO receivers[J].Wireless Communications，IEEE Transactions on，2005，4(6)：2856-2869.

[7]ZHOU J，SASAKI S，MURAMATSU S．Spatial correlation functions for a circular antenna array and their applications in wireless communication system[J]．IEICE Trans FUNDAM COMPUT SCI，2003，E86-A(7)：1716-1723.

[8]SALIB F，SEDDIK K G.Exploiting spatial spectrum holes in multiuser MIMO systems[C].Signals,Systems and Computers，2013 Asilomar Conference on.IEEE，2013：1865-1868.