汪丹，楊平，2，鄧軍林，董琴

1武漢理工大學交通學院，湖北武漢 430063

2武漢理工大學高性能艦船技術(shù)教育部重點實驗室，湖北武漢 430063

加筋板低周疲勞壽命和累積塑性應變模型

汪丹1，楊平1，2，鄧軍林1，董琴1

1武漢理工大學交通學院，湖北武漢 430063

2武漢理工大學高性能艦船技術(shù)教育部重點實驗室，湖北武漢 430063

為分析加筋板結(jié)構(gòu)累積塑性破壞的影響，應用損傷力學基礎(chǔ)理論，并結(jié)合筋板相互影響系數(shù)，以塑性應變?yōu)閾p傷演化的控制參量，推導并建立加筋板結(jié)構(gòu)低周疲勞累積遞增塑性應變模型和低周疲勞壽命模型。將加筋板在循環(huán)載荷下的疲勞損傷變量引入累積遞增塑性應變方程中，通過積分變換，推導出循環(huán)載荷下船舶加筋板結(jié)構(gòu)軸向累積塑性應變的演化方程及其低周疲勞壽命本構(gòu)模型；采用船舶通用高強度402鋼相關(guān)材料疲勞特性參數(shù)對船舶加筋板結(jié)構(gòu)低周疲勞壽命模型進行對比分析；將塑性應變發(fā)展理論模型與有限元計算結(jié)果進行比較，分析平均應力和筋條剛度比對累積塑性應變的影響規(guī)律。結(jié)果表明，該模型較好地反映了船舶加筋板結(jié)構(gòu)的軸向累積塑性應變演化規(guī)律，同時能方便地對船舶結(jié)構(gòu)低周疲勞強度進行評估、校核。

損傷力學；加筋板；低周疲勞；累積塑性應變

0 引 言

研究表明，船體結(jié)構(gòu)的總體破壞［1］往往是低周疲勞破壞與遞增塑性破壞耦合作用的結(jié)果，而傳統(tǒng)的船舶結(jié)構(gòu)疲勞分析主要圍繞高周疲勞展開而忽略了低周疲勞，直至最近頻繁發(fā)生的海損事故以及船舶結(jié)構(gòu)的大型化發(fā)展，才引起船舶行業(yè)對低周疲勞問題的重視。低周疲勞引起的船舶結(jié)構(gòu)損傷為塑性損傷，與碰撞和觸礁現(xiàn)象不同，疲勞損傷的影響不是瞬時的，而是隨著時間不斷累積，最終導致船舶結(jié)構(gòu)發(fā)生塑性破壞而產(chǎn)生宏觀裂紋，裂紋在疲勞應力作用下不斷擴展直至引發(fā)船舶結(jié)構(gòu)斷裂。我國在塑性分析領(lǐng)域內(nèi)的著名學者陳剛和劉應華［2］通過多年大量研究后明確指出：在較大循環(huán)載荷作用下，結(jié)構(gòu)進入塑性變形，在不斷累積或不斷反復的過程中，最終將導致結(jié)構(gòu)破壞，其破壞形式分別對應于增量塑性變形破壞（或棘輪效應）或交變塑性變形破壞（或低周疲勞）。“應變累積”是指塑性變形隨循環(huán)次數(shù)的增加不斷累積的行為，隨著循環(huán)次數(shù)的增加，船體結(jié)構(gòu)逐漸積累出現(xiàn)明顯的大塑性應變。當船體產(chǎn)生的塑性變形累積值超過某一限定值后，會引發(fā)船體局部結(jié)構(gòu)低周疲勞裂紋的形成、擴展并最終產(chǎn)生結(jié)構(gòu)的總體斷裂破壞。因此，本文將采用損傷力學理論和方法，推導建立適合船舶的加筋板低周疲勞損傷力學模型。為準確評估加筋板在交變載荷作用下的長期穩(wěn)定性和安全性，對加筋板的循環(huán)疲勞塑性應變理論進行研究。將加筋板在循環(huán)載荷下的疲勞損傷變量方程引入累積塑性應變方程中，通過積分變換，推導出低周疲勞循環(huán)條件下加筋板軸向塑性應變的演化方程。

1 理論分析

1.1 損傷力學模型

低周疲勞破壞是一個能量耗散的過程，疲勞破壞的物理本質(zhì)與損傷力學基礎(chǔ)理論一致。由文獻［3-4］可知，損傷過程是一個能量耗散過程，而耗散特性可用耗散勢或損傷流動勢的熱力學勢ψ*來描述，它是關(guān)于體積能密度Y的凸函數(shù)。由熱力學的對偶關(guān)系和內(nèi)變量的正交流動法則，可得

式中，D為用來描述材料的細觀損傷變量。由式（1）可知，由耗散勢就可以得到損傷演化方程。

為了推導損傷演化方程，參考文獻［5］給出的耗散勢ψ*，可表示為

式中：Rv為三軸應力比；E為彈性模量；S0為依賴于溫度的材料特性參數(shù)；b為材料常數(shù)為累積塑性應變率；σ為所受的外力。

將式（2）代入式（1），可得

由損傷力學的有效應力概念［6］，可得有效應力的表達式為

將式（4）代入式（3），可得

1.2 船舶加筋板累積塑性應變模型

在對加筋板進行分析的時候，需給予必要的簡化，并確定一些基本假設(shè)?；谶f增塑性準則的加筋板分析方法假設(shè)如下：

1）加筋板模型被離散成一系列小的結(jié)構(gòu)單元，計算時不考慮結(jié)構(gòu)單元之間的相互作用；

2）材料為理想彈塑性材料。

低周疲勞一般在高上限應力、大振幅的周期加載情況下發(fā)生。根據(jù)Ramberg-Osdood應變硬化率［8］，塑性應變εp與等效應力考慮損傷時表達式為

式中，K和m分別為疲勞試驗確定的材料特性參數(shù)。在一維單軸應力狀態(tài)下由式（6）求導可得

將式（8）代入式（3），則

對于加筋板筋條對板強度的影響，已有學者提出用含有參數(shù)ky的解析表達式來表示加強筋對板強度的影響系數(shù)，即［9］

式中：tw為加強筋腹板厚度；t為帶板厚度。對于不同的型材，d的取值不同為加筋板的長寬比），其中：

角鋼d=0.98-0.14(L/W)

扁鋼d=0.12-0.02(L/W)

故加強筋低周疲勞損傷力學模型為

在循環(huán)載荷作用下，用平均應力σa代替單軸應力σ，則循環(huán)損傷模型由式（11）可得

設(shè)低周疲勞循環(huán)次數(shù)N=0時，結(jié)構(gòu)不存在損傷，即D=0；低周疲勞破壞N=NF時，D=1，則

所以得到低周疲勞完全破壞時循環(huán)次數(shù)

由式（13）可得低周疲勞循環(huán)次數(shù)為N時，低周疲勞損傷演化方程為

將式（15）代入式（8），得

在循環(huán)載荷作用下［10］，加筋板變形的彈性部分在卸載的過程中將會得到恢復，但是不可逆變形（又稱塑性變形或殘余變形）會殘留下來。因此，一個循環(huán)周期內(nèi)軸向塑性應變量等于該周期加載階段的軸向塑性應變量。所以

對式（17）進行積分，并代入邊界條件

得低周疲勞循環(huán)下船舶加筋板軸向累積塑性應變模型為

其中：ε0為初始塑性應變；εF為循環(huán)結(jié)束時船舶加筋板結(jié)構(gòu)達到累積塑性破壞狀態(tài)下的軸向塑性應變。

從實驗觀測可知損傷對于應變的演變過程是線性的［11］，故可取S0=1；另外，在單軸應力狀態(tài)下，三軸應力比Rv=1，b=1，則式（14）、式（19）可分別簡化為：

式（20）、式（21）即分別為基于損傷力學的船舶加筋板單軸載荷下的低周疲勞壽命模型和累積塑性應變模型。

2 有限元模型建立

本文選取在均勻拉伸載荷作用下，具有缺口的船體加筋板有限元模型進行計算，模型幾何圖與加載歷程示意圖如圖1所示。圖中：加筋板寬度W=200 mm，長度L=300 mm；缺口半徑r= 3 mm；板厚t=3 mm；σ為單向拉伸循環(huán)外載荷，邊界條件為加筋板左側(cè)Ux=0，加筋板下端Uy=0。單元類型選用Plane 182單元和Beam 189單元，材料本構(gòu)關(guān)系模型選用Chaboche非線性強化準則。

圖1 模型幾何圖與加載歷程示意圖Fig.1 A notched stiffener plate and loading history

帶缺口的船體板平面圖及其有限元計算網(wǎng)格模型如圖2所示。為降低單元網(wǎng)格劃分對缺口根部應力應變的影響，在缺口局部區(qū)域進行網(wǎng)格細化處理，隨著網(wǎng)格的細化，計算結(jié)果趨于穩(wěn)定。

圖2 缺口加筋板有限元網(wǎng)格劃分模型Fig.2 Finite element mesh model of the notched stiffener plate

在循環(huán)拉伸載荷作用下，帶缺口的船體加筋板構(gòu)件通過ANSYS自帶的Chaboche非線性隨動強化模型進行數(shù)值分析，Chaboche模型參數(shù)選取如表1所示（表中，C1～C6為材料參數(shù)）。模型參數(shù)的選取根據(jù)文獻［12］的實驗結(jié)果，采用單一變量法調(diào)整各個模型參數(shù)，直至模擬曲線與實驗曲線基本吻合而最終確定［13］，該本構(gòu)模型能描述材料的棘輪效應。

表1 Chaboche模型材料參數(shù)Tab.1 Material parameters of Chaboche model

本文選取船舶通用高強度鋼402為研究對象，其相應的材料特性參數(shù)如表2所示［14］，其中σs為極限屈服強度。

表2 402鋼材料特性參數(shù)Tab.2 Material parameters of 402 steel

選取缺口根部進行受力分析，在外加載荷為σmax=800 MPa，σmin=40 MPa時，其缺口根部處拉伸應力循環(huán)載荷作用下的應力應變遲滯回線如圖3所示。從圖中可以看出，在非對稱應力循環(huán)載荷作用下，帶缺口船體板構(gòu)件產(chǎn)生了塑性應變的累積。在初始循環(huán)中，累積遞增塑性應變增長較快，隨著循環(huán)數(shù)的增加，累積遞增塑性應變率逐漸下降，并逐漸趨于穩(wěn)定。

圖3 加筋板循環(huán)應力應變曲線Fig.3 The stress-strain curve based on Chaboche models

3 累積塑性應變模型分析

3.1 低周疲勞壽命比較

船舶加筋板在不同平均應力幅下，由式（20）和有限元模擬求得的相應低周疲勞壽命如圖4所示。從圖中可以看出，當?shù)椭芷趬勖陀? 000次時，低周疲勞壽命模型式（20）的計算結(jié)果與有限元計算結(jié)果吻合；當402鋼的低周疲勞壽命大于5 000次后，彈性應變對疲勞壽命的影響變得顯著，式（20）的估算結(jié)果偏大?？梢?，式（20）較適用于以塑性應變?yōu)橹鞯拇敖Y(jié)構(gòu)低周疲勞強度的評估。

圖4 不同平均應力幅下疲勞壽命對比Fig.4 Low cycle fatigue life of stiffened plate under differentσa

3.2 低周疲勞累積遞增塑性應變模型對比

3.2.1 筋條剛度比對累積塑性應變的影響

討論筋條剛度比對缺口船體加筋板構(gòu)件累積塑性應變的影響，保持其循環(huán)加載載荷不變，取σmax=800 MPa，σmin=40 MPa，加筋板剛度比β= 0.1，0.2，0.3。針對圖2給出的帶缺口船體加筋板構(gòu)件模型進行循環(huán)計算，可得出加筋板在不同剛度比下缺口頂點處的累積遞增塑性應變的變化關(guān)系，如圖5所示。

圖5 加筋板筋條剛度比對累積塑性應變的影響Fig.5 The relationship of stiffened plate between accumulative plastic strains and number of cycles under differentβ

由圖5可知，在相同的加載情況下，隨著加筋板剛度比變大，缺口頂點處的累積塑性應變值變小，光板的累積塑性應變值較加筋板的要大。累積塑性應變開始增長較快，但隨著循環(huán)周次的逐漸增加，最終趨于穩(wěn)定。圖5表明筋條剛度比對缺口船體加筋板構(gòu)件累積遞增塑性應變的影響明顯。

3.2.2 平均應力對累積塑性應變的影響

為研究平均應力對缺口船體加筋板構(gòu)件累積塑性應變的影響，分別給予其循環(huán)加載為540±100，640±100和740±100 MPa，加筋板剛度比β=0.3。選取圖2所示模型進行循環(huán)計算，得出加筋板在不同平均應力下缺口頂點處的累積遞增塑性應變的變化關(guān)系，如圖6所示。

圖6 平均應力對加筋板累積塑性應變的影響Fig.6 The relationship of stiffened plate between accumulative plastic strains and number of cycles under differentσm

由圖6可知，隨著平均應力變大，缺口加筋板頂點處的累積塑性應變值也變大，累積塑性應變開始增長較快，但隨著循環(huán)周次的逐漸增加最終趨于穩(wěn)定。圖6表明，平均應力對缺口船體加筋板構(gòu)件累積遞增塑性應變的影響非常重要。

3.2.3 低周疲勞累積遞增塑性應變模型對比

為對上述累積遞增塑性應變模型進行驗證，將有限元計算結(jié)果與根據(jù)本文中式（21）得到的擬合曲線結(jié)果進行了對比，如圖7所示。根據(jù)圖7中有限元計算結(jié)果和本文擬合曲線的對比可以看出，大部分曲線的相關(guān)度很好，所以該模型可以對循環(huán)載荷作用下加筋板的單軸低周疲勞累積塑性應變發(fā)展規(guī)律進行較好的反映；另外，從圖7可以看出，加筋板軸向塑性應變的累積發(fā)展過程經(jīng)歷了從“加速”到“平穩(wěn)”的過程。

圖7 累積塑性應變理論模型與有限元結(jié)果比較Fig.7 Comparison between theory model and finite element results

4 結(jié) 論

通過本文的研究，可得出以下2點結(jié)論：

1）為研究加筋板在循環(huán)載荷下軸向塑性應變的發(fā)展演化規(guī)律，在眾學者工作的基礎(chǔ)上，利用損傷力學理論，引入加強筋對板的系數(shù)推導了循環(huán)載荷下加筋板軸向塑性應變發(fā)展演化模型，經(jīng)與有限元計算結(jié)果對比，發(fā)現(xiàn)該模型可以較好地反映單軸循環(huán)載荷下加筋板的軸向塑性應變發(fā)展演化規(guī)律。

2）此模型僅適用于一維單向加載或比例加載情況，累積塑性應變隨著循環(huán)周次的增加，是先快速增加而后趨于穩(wěn)定。在相同的加載情況下，隨著加筋板剛度比的增加，累積塑性應變減??；平均應力增加，累積塑性應變增加。

［1］ 韓蕓，崔維成，黃小平，等.大型船舶結(jié)構(gòu)的疲勞強度校核方法［J］.中國造船，2007，48（2）：60-67. HAN Yun，CUI Weicheng，HUANG Xiaoping，et al. Fatigue strength assessment of large-scale ship struc?tures［J］.Shipbuilding of China，2007，48（2）：60-67.

［2］ 陳剛，劉應華.結(jié)構(gòu)塑性極限與安定分析理論及工程方法［M］.北京：科學出版社，2006.

［3］ LEMAITRE J.A Course on damage mechanics［M］. Berlin：Springer-Verlag，1996.

［4］ CHABOCHE J L，LESNE P M.A non-linear continu?ous fatigue damage model［J］.Fatigue&Fracture of Engineering Materials&Structures，1988，11（1）：1-17.

［5］ CHANDRAKANTH S，PANDEY P C.An isotropic damage model for ductile material［J］.Engineering Fracture Mechanics，1995，50（4）：457-465.

［6］ YANG X H，LI N，JIN Z H，et al.A continuous low cycle fatigue damage model and its application in engi?neering materials［J］.International Journal of Fatigue，1997，19（10）：687-692.

［7］ 鄭戰(zhàn)光，蔡敢為，李兆軍，等.基于損傷力學闡釋Manson-Coffin低周疲勞模型［J］.中國機械工程，2011，22（7）：812-814. ZHENG Zhanguang，CAI Ganwei，LI Zhaojun，et al. Interpretation of Manson-Coffin model of low cycle fa?tigue based on damage mechanics［J］.China Mechani?cal Engineering，2011，22（7）：812-814.

［8］ 婁志文.損傷力學基礎(chǔ)［M］.西安：西安交通大學出版社，1991：4-47.

［9］ FUJIKUBO M，HARADA M，YAO T，et al.Estima?tion of ultimate strength of continuous stiffened panel under combined transverse thrust and lateral pressure part 2：continuous stiffened panel［J］.Marine Struc?tures，2005，18（5-6）：411-427.

［10］ 許宏發(fā)，王武，方秦，等.循環(huán)荷載下巖石塑性應變演化模型［J］.解放軍理工大學報（自然科學版），2012，13（3）：282-286. XU Hongfa，WANG Wu，F(xiàn)ANG Qin，et al.Evolu?tion model of rock plastic strain under cyclic loading［J］.Journal of PLA University of Science and Tech?nology（Natural Science Edition），2012，13（3）：282-286.

［11］ 李兆霞.損傷力學及其應用［M］.北京：科學出版社，2002：，16-31.

［12］ 王曉天，黃小平，耿峰，等.高強度材料402鋼的低周疲勞性能實驗研究［J］.哈爾濱工程大學學報，2000，21（3）：75-77. WANG Xiaotian，HUANG Xiaoping，GENG Feng，et al.Experiment of low cycle fatigue of high strength material 402［J］.Journal of Harbin Engineering Uni?versity，2000，21（3）：75-77.

［13］ 蘇瑩.銅圓棒缺口試件拉壓循環(huán)下的疲勞問題研究—模擬與實驗分析［D］.南寧：廣西大學，2014. SU Ying.Research on fatigue problem of copper rod notched under tension and compression cycle：simula?tion and experimental analysis［D］. Nanning：Guangxi University，2014.

［14］ 田雨，紀卓尚.船舶結(jié)構(gòu)低周疲勞強度分析方法［J］.哈爾濱工程大學學報，2011，32（2）：153-158. TIAN Yu，JI Zhuoshang.A low-cycle-fatigue assess?ment method of ship structures［J］.Journal of Harbin Engineering University，2011，32（2）：153-158.

［責任編輯：田甜］

The low-cycle fatigue life model and the accumulative plastic strain model for stiffened plates under cyclic loading

WANG Dan1，YANG Ping1，2，DENG Junlin1，DONG Qin1
School of Transportation，Wuhan University of Technology，Wuhan 430063，China Key Laboratory of High Performance Ship Technology of Ministry of Education，Wuhan University of Technology，Wuhan 430063，China

In order to analyze the increasing accumulative plastic damage of ship stiffened plates,this pa?per combines the interaction coefficients of stiffeners and plates,and with plastic strain of damage evolu?tion being the control parameter,the low-cycle fatigue accumulative increasing plastic damage model and low-cycle fatigue life model for stiffened plates have been derived based on the theory of damage mechan?ics.The fatigue damage variable of the stiffened plate under cyclic loading is then introduced into the accu?mulative plastic strain equation.Next,by means of integral transformation,the evolution equation of axial accumulative plastic strain and the constitutive model for low-cycle fatigue life are deduced under low cy?clic loading.The general high strength steel 402 is adopted,with its related material fatigue characteristic parameters introduced to be compared with the low-cycle fatigue life model of stiffened plates.The theoreti?cal evolution results from the presented models of the accumulative plastic strain damage are compared with finite element modeling results,and the influences of mean stress and rib stiffness ratio on the accumu?lated plastic strain are discussed.The results indicate that the established model well reflects the evolution?al law of the axial plastic strain of the stiffened plate under cyclic loading and brings convenience into the evaluation of low-cycle fatigue strength of ship structures.

damage mechanics；stiffened plates；low-cycle fatigue；accumulative plastic strain

U661.41

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2015.06.007

http://www.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20151110.1025.014.html期刊網(wǎng)址：www.ship-research.com

汪丹，楊平，鄧軍林，等.加筋板低周疲勞壽命和累積塑性應變模型［J］.中國艦船研究，2015，10（6）：39-44. WANG Dan，YANG Ping，DENG Junlin，et al.The low-cycle fatigue life model and the accumulative plastic strain model for stiffened plates under cyclic loading［J］.Chinese Journal of Ship Research，2015，10（6）：39-44.

2015-03-18 < class="emphasis_bold"> 網(wǎng)絡出版時間：

時間：2015-11-10 10:25

國家自然科學基金面上項目（51479153）；中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金資助項目（2015-yb-004）

汪丹，女，1990年生，碩士生。研究方向：結(jié)構(gòu)疲勞與斷裂。E-mail：wdan27@163.com楊平（通信作者），男，1955年生，博士，教授，博士生導師。研究方向：結(jié)構(gòu)疲勞與斷裂。E-mail：pyang@whut.edu.cn