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        離散時(shí)滯區(qū)間廣義線性系統(tǒng)的輸出反饋H∞控制器設(shè)計(jì)

        2015-02-20 05:47:46李贊華
        關(guān)鍵詞:等價(jià)時(shí)滯廣義

        李贊華, 趙 金

        (1.沈陽理工大學(xué) 理學(xué)院,遼寧 沈陽 110159;2.沈陽何氏眼科醫(yī)院, 遼寧 沈陽 110179)

        離散時(shí)滯區(qū)間廣義線性系統(tǒng)的輸出反饋H∞控制器設(shè)計(jì)

        李贊華1, 趙 金2

        (1.沈陽理工大學(xué) 理學(xué)院,遼寧 沈陽 110159;2.沈陽何氏眼科醫(yī)院, 遼寧 沈陽 110179)

        在確定系統(tǒng)中某些系數(shù)矩陣均存在不確定性情況下,利用區(qū)間矩陣研究了一類離散時(shí)滯廣義不確定線性系統(tǒng)的輸出反饋魯棒H∞控制器設(shè)計(jì)問題。通過運(yùn)用系統(tǒng)參數(shù)不等式方法給出離散時(shí)滯區(qū)間廣義系統(tǒng)的等價(jià)描述,利用等價(jià)描述系統(tǒng)得到了該系統(tǒng)的輸出反饋控制器。所設(shè)計(jì)的控制器不僅使得閉環(huán)系統(tǒng)是正則的、穩(wěn)定的,而且使得傳遞函數(shù)的范數(shù)界在給定的范圍內(nèi)。算例驗(yàn)證了該設(shè)計(jì)方法的有效性。

        區(qū)間矩陣;離散時(shí)滯廣義線性系統(tǒng);輸出反饋控制器;H∞控制

        眾所周知,H∞控制理論在正常系統(tǒng)的優(yōu)化控制中起重要作用,并得到了廣泛的研究與應(yīng)用,各種H∞控制器的設(shè)計(jì)方法被相繼提出[1-2]。對于H∞控制理論在廣義系統(tǒng)的研究成果也已經(jīng)很多,但對于具有不確定的、時(shí)滯的、離散的廣義系統(tǒng)的研究還有很大的研究空間。一是由于系統(tǒng)的參數(shù)不確定是不可避免和普遍存在的[3];二是在實(shí)際的控制系統(tǒng)中,時(shí)滯的影響是普遍存在的[4];三是離散系統(tǒng)模型在社會問題、經(jīng)濟(jì)問題和時(shí)間序列分析問題中經(jīng)常遇到[5-6]。因此對不確定的、具有時(shí)滯的離散廣義系統(tǒng)的研究受到了人們的極大關(guān)注。

        由于在工程實(shí)際中,狀態(tài)不易直接量測,或者由于量測設(shè)備在經(jīng)濟(jì)性和使用性上的限制,使得許多情況下不可能實(shí)際獲得系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量,從而使得狀態(tài)反饋的物理實(shí)現(xiàn)成為不可能;而且狀態(tài)反饋控制器是設(shè)計(jì)定常反饋增益陣,輸出反饋控制器設(shè)計(jì)一般采用動態(tài)控制器設(shè)計(jì)方法,以期達(dá)到所提出的設(shè)計(jì)性能指標(biāo)。本文在以上研究的背景和基礎(chǔ)上以離散時(shí)滯區(qū)間廣義系統(tǒng)為主要研究對象,利用H∞優(yōu)化控制方法,給出了該系統(tǒng)的輸出反饋H∞控制器設(shè)計(jì)。

        1 問題提出

        離散時(shí)滯區(qū)間廣義線性系統(tǒng)如下描述:

        z(t)=CIx(t)+Nu(t)

        (1)

        y(t)=CIx(t)

        x(t)=Φ(t),t∈[-d,0]

        于是系統(tǒng)(1)可以等價(jià)地表示為

        Ex(t+1)=(A0+DFG1)x(t)+(Ad0+DdFdGd)x(t-d)+(B0+DFG2)u(t)+B1ω(t)

        z(t)=(C0+D3F3G3)x(t)+Nu(t)

        y(t)=C1x(t)

        x(t)=Φ(t),t∈[-d,0]

        (2)

        稱離散時(shí)滯廣義系統(tǒng)

        Ex(t+1)=A0x(t)+Ad0x(t-d)+B1ω(t)

        z(t)=C0x(t)

        (3)

        x(t)=Φ(t),t∈[-d,0]

        為無控制標(biāo)稱廣義系統(tǒng)。

        對系統(tǒng)(1)作如下輸出反饋控制

        u(t)=Ky(t)

        (4)

        得到閉環(huán)離散時(shí)滯廣義系統(tǒng)

        Ex(t+1)=Akx(t)+Adkx(t-d)+B1ω(t)

        z(t)=Ckx(t)

        (5)

        x(t)=Φ(t),t∈[-d,0]式中Ak=A0+B0KC1+DF(G1+G2KC1),Ck=C0+D3F3G3+NKC1,Adk=Ad0+DdFdGd

        (1)閉環(huán)系統(tǒng)(5)是因果、正則且穩(wěn)定的;

        (2)具有H∞范數(shù)界γ(γ>0為給定的常數(shù)),即滿足條件‖G(z)‖∞<γ,G(z)=Ck(zE-Ak)-1B1為從干擾輸入ω(t)到被控輸出z(t)的傳遞函數(shù)。

        2 主要結(jié)果

        定理 對于給定實(shí)數(shù)γ>0,如果存在可逆對稱矩陣P∈Rn×n,對稱矩陣Q>0和對稱半正定矩陣V1及正定對角矩陣L1∈R2n2×2n2,L2,Ld∈Rn2×n2使得不等式(6)及式(8)~式(13)成立

        ETPE≥0

        (6)

        (7)

        (8)

        (9)

        (10)

        (11)

        (12)

        (13)

        改革開放40周年。40年風(fēng)雨同舟,40年披荊斬棘,40年砥礪奮進(jìn),改革開放成為當(dāng)代中國最顯著的特征、最壯麗的氣象。對這一偉大歷史進(jìn)程,習(xí)近平總書記用“十個始終堅(jiān)持”高度概括了黨引領(lǐng)億萬人民的奮斗歷程和創(chuàng)造的人間奇跡。中國人民具有偉大夢想精神,中華民族充滿變革和開放精神。實(shí)踐深刻啟示我們,偉大夢想不是等得來、喊得來的,而是拼出來、干出來的。改革開放已走過千山萬水,但仍需跋山涉水,我們絕不能有半點(diǎn)驕傲自滿、固步自封,也絕不能有絲毫猶豫不決、徘徊彷徨,必須統(tǒng)攬偉大斗爭、偉大工程、偉大事業(yè)、偉大夢想,勇立潮頭、奮勇搏擊。

        證明:

        由定理中的式(12)即得

        (14)

        把定理中的R代入式(14)得

        (15)

        (16)

        把定理中的U代入式(16)由schur補(bǔ)引理,式(16)、式(9)兩個不等式等價(jià)于

        (17)

        由schur補(bǔ)引理,式(17)、式(8)兩個不等式等價(jià)于

        (18)

        (19)

        zTSD=(z1…z2n2),Gdy=(y1…yn2)T,(G1+G2KC1)x=(x1…x2n2)T,

        G3x=(x31…x3n2)T,wTD3=(w1…wn2),zTSDd=(zd1…zdn2)

        (20)

        取L1=diag(λ11…λ12n2),Ld=diag(λd1…λdn2),L2=diag(λ21…λ2n2);由不等式性質(zhì)可得到,存在λ1j>0(j=1…2n2),λ2i>0,λdi>0(i=1…n2)對任意|θi|≤|εi|≤1,|θi|≤|αi|≤1,|γi|≤1,|βi|≤1都有下式成立

        (21)

        (22)

        把式(5)中的Ak,Ck,Adk代入式(22),根據(jù)矩陣的性質(zhì),對任意x,y,z,w∈Rn,xTx+yTy+zTz+wTw≠0式(22)成立的充要條件

        (23)

        根據(jù)schur補(bǔ)引理,式(23)等價(jià)于

        (24)

        將不等式(6)~(7)與(24)相結(jié)合得

        由引理可知該定理成立。因此定理得證。

        3 算例

        考慮系統(tǒng)(1),其中

        經(jīng)計(jì)算得

        L1=diag[0.25,0.32,0.18,0.41,1,1.2,0.1,0.2],

        Ld=diag[0.2,0.4,0.7,0.1],L2=diag[1.1,2,3,2,4]

        則滿足定理中所有不等式。解得H∞輸出反饋控制器為

        4 結(jié)束語

        利用區(qū)間矩陣研究了一類離散時(shí)滯廣義線性不確定系統(tǒng)的輸出反饋H∞控制器設(shè)計(jì)問題。通過運(yùn)用系統(tǒng)參數(shù)不等式方法給出離散時(shí)滯區(qū)間廣義線性系統(tǒng)的等價(jià)描述,在等價(jià)描述系統(tǒng)下利用線性矩陣不等式方法得到了該系統(tǒng)的H∞輸出反饋控制器。該控制器不僅使得閉環(huán)系統(tǒng)是正則的、穩(wěn)定的,而且使得傳遞函數(shù)的范數(shù)界在給定的范圍內(nèi)。

        [1]Xu S Y,YANG C W.H∞state feedback control for discrete singular system[J].IEEE Trans On Automatic Control,2000,45(7):1405-1409.

        [2]楊冬梅,孟新全.不確定時(shí)滯離散切換廣義系統(tǒng)的魯棒H∞控制[J].東北大學(xué)學(xué)報(bào),2014,35(3):309-313.

        [3]S.-J.Chen,J.-L.Lin.Robust stability of discrete time-delay uncertain singular systems[J].IEEE,Proc.-Control Theory Appl.,2012,151(1):45-52.

        [4]張建林.廣義離散時(shí)滯系統(tǒng)基于輸出反饋H∞的控制[J].自動化技術(shù)與應(yīng)用,2004,23(6):8-12.

        [5]李致富,胡躍明,郭琪偉,等.不確定離散線性系統(tǒng)的魯棒單調(diào)反饋-前饋迭代學(xué)習(xí)控制[J].控制理論與應(yīng)用,2014,31(4):485-492.

        [6]李贊華,趙金.區(qū)間離散時(shí)滯廣義系統(tǒng)的狀態(tài)反饋魯棒H∞控制[J].沈陽理工大學(xué)學(xué)報(bào),2011,30(3):84-87.

        (責(zé)任編輯:馬金發(fā))

        Output Feedback H-infinity Controller Design for Discrete-time Time-delay Interval Singular Linear Systems

        LI Zanhua1,ZHAO Jin2

        (1.Shenyang Ligong University ,Shenyang 110159,China;2.Shenyang He Eye Hospital ,Shengyang 110179,China)

        In the case that uncertainties exist in some parameter matrices,the problem of output feedbackH∞controller design for a kind of discrete-time time-delay singular uncertainty linear systems is discussed through the use of interval matrix.Firstly,a class of equivalent decription of the discrete-time time-delay interval singular linear systems is given through the application of system parameters inequality approch.Then output feedback robustH∞controller is obtained in terms of the equivalent description systems.The designed controller guarantees that the closed-loop systems is regular and stable as well as satisfies a prescribed transfer function of the norm bounded constraint within the given range.Finally, a numerical example shows the effectiveness of the design method.

        interval matrix;discrete-time time-delay singular linear systems;output feedback controller;H∞control

        2014-12-20

        李贊華(1976—),女,講師,研究方向:廣義系統(tǒng),優(yōu)化控制.

        1003-1251(2015)03-0070-05

        O232

        A

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