鄭慧慧,沈云娟,谷　峰

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州310036)

滿足公共(E.A)性質(zhì)的三對自映象的一個新的公共不動點定理

鄭慧慧,沈云娟,谷峰

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州310036)

摘要：在G -度量空間中，利用自映象對的公共(E.A)性質(zhì)和弱相容性條件，在不要求空間的完備性和映象的連續(xù)性的條件下，證明了3對自映象的一個新的公共不動點定理，并且提供了一個支持該新結(jié)果的實際例子. 文章結(jié)果不同于已有文獻的相關(guān)結(jié)果.

關(guān)鍵詞：廣義度量空間；弱相容映象；公共(E.A)性質(zhì)；公共不動點

1引言和預(yù)備知識

2006年，文獻[1]首次提出了G-度量空間的概念。此后，G-度量空間中的不動點理論得到了很大的發(fā)展，人們證明了不同壓縮條件下的一些不動點和公共不動點定理[2-13]. 最近，谷峰等[14]首次在G-度量空間中引入了映象對滿足公共(E.A)性質(zhì)的概念，并證明了幾個公共不動點定理. 本文在上述文獻的基礎(chǔ)上，在G-度量空間的框架下，討論了3對映象的公共不動點問題，在只要求2對映象滿足公共(E.A)性質(zhì)的條件下，證明了3對映象公共不動點的存在性和唯一性。我們的新結(jié)果不同于當前的已知結(jié)果.

定義5[15]設(shè)f,g是集合X上的自映象，若w=fx=gx,x∈X,則稱x為f,g的一個疊合點，并稱w為f,g的一個重合點.

定義6[15]稱集合X上的自映象對(f,g)是弱相容的，如果它們在重合點處是可交換的.

2主要結(jié)果

(1)

(2)

(3)

在上述不等式中令n→∞，并利用式(2)和t=Ap可得

因t=fp∈fX?BX, 故?u∈X使得t=Bu. 我們斷言gu=t，否則，使用式(1)得

在上述不等式中令n→∞, 并利用式(2)和t=Bu可得

又由于t=gu∈gX?CX, 故?v∈X使得t=Cv. 我們斷言hv=t，否則使用條件(1)有

在上述不等式中利用fp=Ap=t,gu=Bu=t和t=Cv可得

綜上，我們得到fp=Ap=gu=Bu=hv=Cv=t，即t是f,g,h,A,B和C的公共重合點.

下面證明ft=t. 事實上，若ft≠t, 則由條件(1)可知

上式與0≤a+b<1矛盾，故ft=t，進而ft=At=t.

同理可證gt=Bt=t,ht=Ct=t. 于是有ft=gt=ht=At=Bt=Ct=t,即t是f,g,h,A,B和C的公共不動點.

下面證明f,g,h,A,B和C的公共不動點是唯一的.

事實上，設(shè)w∈X且w≠t也是f,g,h,A,B和C的一個公共不動點，則由條件(1)可得

上式與0≤a+b<1矛盾，故w=t,即映象f,g,h,A,B和C在X中有唯一公共不動點.

最后，如果條件(ii)或(iii)被滿足，證明過程與上述步驟相似，可得到同樣的結(jié)論.

下面的例子表明定理1的有效性.

注1在定理1中如果取a=0或b=0，我們可以得到2個新結(jié)果，在此略去.

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A New Common Fixed Point Theorem for Three Pairs of Self-maps

Satisfying Common (E.A) Property

ZHENG Huihui, SHEN Yunjuan, GU Feng

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

Abstract:By using the concept of common (E.A) property and weakly compatibility condition of self-maps pairs in generalized metric space, without the conditions for the completeness of space and the continuity of mappings, this paper proves a new common fixed point theorem for three pairs of self-maps. An example is provided to support the new result. The result obtained in this paper differs from the recent relative results in the existing literatures.

Key words:generalized metric space; weakly compatible mappings; common (E.A) property; common fixed point

第14卷第1期2015年1月杭州師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)JournalofHangzhouNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vol.14No.1Jan.2015

文章編號:1674-232X(2015)01-0077-05

中圖分類號:O177.91MSC2010: 47H10；54H25

文獻標志碼:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.01.014

通信作者：谷峰(1960—)，男，教授，主要從事泛函分析及其應(yīng)用研究. E-mail：gufeng99@sohu.com

基金項目:國家自然科學(xué)基金項目(11071169)； 浙江省自然科學(xué)基金項目(Y6110287).

收稿日期：2014-06-07