Rn上的線性局部?？赜成?/h1>
2015-02-18 05:19:47李盼，朱軍
杭州電子科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版) 2015年3期
李 盼，朱 軍
(杭州電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，浙江 杭州 310018)
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Rn上的線性局部?？赜成?/p>
李盼，朱軍
(杭州電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，浙江 杭州 310018)
摘要：設(shè)φ：Rn→Rn是一個線性映射，對任意x∈Rn，都存在與x有關(guān)的線性?？赜成洇讀，使得φ(x)=ψx(x)，則稱φ是歐氏空間上的一個線性局部?？赜成?。線性?？赜成涫蔷€性局部?？赜成?，其逆命題不成立。文中定義了兩個與φ相關(guān)的Rn的子集Iφ和IIφ，如果任意Rn上的點都屬于Iφ(或IIφ)，那么這個線性局部保控映射φ是線性?？赜成?。
關(guān)鍵詞：歐氏空間；線性局部?？赜成?；線性保控映射
0引言
隨著控制理論的不斷發(fā)展，線性?？赜成湟鹆艘恍W(xué)者的注意，并且取得了許多學(xué)術(shù)成果。文獻[1]給出了Rn空間上線性?？赜成涞膬煞N形式。文獻[2]給出了n ×m 階矩陣構(gòu)成的空間Mn,m上的保直受控的兩種形式。文獻[3]給出了lp(p≥1)空間中線性?？赜成涞谋磉_形式。文獻[4]研究了Rn空間上的線性保循環(huán)控制的性質(zhì)。在算子代數(shù)理論中，美國的兩位學(xué)者分別在文獻[5]和文獻[6]中提出了局部導(dǎo)子的概念，得到幾個有趣的結(jié)果，引起了數(shù)學(xué)工作者對各種算子代數(shù)上的局部特征的廣泛討論，證明了許多算子代數(shù)上的局部導(dǎo)子都是導(dǎo)子。本文受算子代數(shù)中局部導(dǎo)子這一思想的啟發(fā)定義了線性局部?？赜成?，并且分析了它與線性保控映射的關(guān)系，得到本文主要結(jié)果。
1若干定義及引理
定義2設(shè)ψ：Rn→Rn是一個線性映射。若對任意x,y∈Rn，由xy必導(dǎo)致ψ(x)ψ(y)，則稱ψ是一個線性?？赜成?。
定義3設(shè)φ：Rn→Rn是一個線性映射。若對任意x∈Rn，都存在與x有關(guān)的線性?？赜成洇讀，使得φ(x)=ψx(x)，則稱φ是一個線性局部?？赜成?。
定義4設(shè)φ：Rn→Rn是一個線性局部?？赜成洹0∈Rn，有以下兩種情況：
1)若存在a0∈Rn，使得φ(x0)=tr(x0)a0，則稱x0是φ的第一類型點。φ的第一類型點的全體記為Iφ。
2)若存在α0(α0≠0),β0∈R,P0∈Pn，使得φ(x0)=α0P0x0+β0tr(x0)e，則稱x0是φ的第二類型點。其中e=(1,1,…,1)T∈Rn。φ的第二類型點的全體記為IIφ。
顯然 Iφ∪IIφ=Rn。
定義5若P是將單位矩陣的某些行(或列)交換后所得的矩陣，則稱P是置換矩陣。n階置換矩陣的全體記為Pn。
引理1[1]ψ：Rn→Rn是線性?？赜成洚?dāng)且僅當(dāng)以下必有其一成立：
1)存在a∈Rn，使得對任意x∈Rn都有φ(x)=tr(x)a；
2)存在α(α≠0),β∈R,P∈Pn，使得對任意x∈Rn都有φ(x)=αPx+βtr(x)e。
2主要內(nèi)容
下面給出本文的主要結(jié)論，它們刻畫了線性局部?？赜成涑蔀榫€性?？赜成涞某浞謼l件。
定理1設(shè)φ：Rn→Rn是一個線性局部保控映射，若對任意x∈Rn，都有x∈Iφ，則φ是Rn上的線性?？赜成洌掖嬖赼∈Rn，使得對任意x∈Rn都有φ(x)=tr(x)a。
定理2設(shè)φ：Rn→Rn是一個線性局部?？赜成?，若對任意x∈Rn，都有x∈IIφ，則φ是Rn上的線性?？赜成洌掖嬖讦?α≠0),β∈R,P∈Pn，使得對任意x∈Rn都有φ(x)=αPx+βtr(x)e。
證明記Aφ=(aij)為φ所對應(yīng)的矩陣。
(1)
(2)
以上兩種情形均可計算得α0=0，矛盾，故Aφ每行至多一個βi+αi。再由Aφ每列有且僅有一個βi+αi知Aφ每行有且僅有一個βi+αi，i=1,2,…,n。
由前兩種情況均可計算得αi′=0，矛盾，舍去。由第3種情況計算得βi=β1，記βi=β，i=1,2,…,n。
3結(jié)束語
本文主要是在Rn空間中線性?？赜成涞幕A(chǔ)上提出了線性局部?？赜成溥@一概念，并且參考文獻[1]的一些理論成果研究了線性局部?？赜成渑c線性?？赜成渲g的關(guān)系，為進一步研究線性局部?？赜成涞谋磉_形式做鋪墊。
參考文獻
[1] Ando T.Majorization，doubly stochastic matrices，and comparison oF eigenvalues [J].Linear Algebra and Its Applications,1989,118:163-248.
[2]Li C K,Poon E.Linear operators preserving directional majorization[J].Linear Algebra and Its Applications,2001,325(1-3):141-146.
[3]Bahrami F,EshkaFtaki B A,Manjegani S M.Linear preservers oF majorization onlp(I)[J].Linear Algebra and Its Applications,2012,436(9):3177-3195.
[4]Soleymani M,Armandnejad A.Linear preservers oF circulant majorization onRn[J].Linear Algebra and Its Applications,2014,440:286-292.
[5]Larson D R，Sourour A R.Local derivations and local automor-phisms oFB(X)[J].Proceedings Symposia in Pure Mathematics,1990,51:187-194.
[6]Kadison R V.Local derivations [J].Journal oF Algebra,1990,130(2):494-509.
Linear Mappings oF Local Preserving-majorization on Rn
Li Pan， Zhu Jun
(InstituteoFMathematics，HangzhouDianziUniversity，HangzhouZhejiang310018，China)
Abstract:Letφ: Rn→Rnbe a linear mapping.φis said to be a linear mapping oF local preserving-majorization on Euclidean space iF For eachxin Rn， there exists a linear mapping oF preserving-majorizationψxwhich is depended onxsuch thatφ(x)=ψx(x). In this paper， it shows that a linear mapping oF preserving-majorization must be oF local preserving-majorization and its contrary is not true. DeFine two subsetsIφandIIφoF Rnthat are related toφ(deFinition 4)， iF all the points in Rnbelong toIφ(orIIφ)， thenφis a linear mapping oF preserving-majorization.
Key words:Euclidean space; linear mappings oF local preserving-majorization; linear mappings oF preserving-majorization
DOI:10.13954/j.cnki.hdu.2015.03.019
收稿日期：2014-09-28
作者簡介：李盼(1990-)，女，湖北武漢人，在讀研究生，量子信息.通信作者：朱軍教授，E-mail：jzhu@hdu.edu.cn.
中圖分類號：O151.2
文獻標(biāo)識碼：A
文章編號：1001-9146(2015)03-0089-04
李 盼，朱 軍
(杭州電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，浙江 杭州 310018)
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Rn上的線性局部?？赜成?/p>
李盼，朱軍
(杭州電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，浙江 杭州 310018)
摘要：設(shè)φ：Rn→Rn是一個線性映射，對任意x∈Rn，都存在與x有關(guān)的線性?？赜成洇讀，使得φ(x)=ψx(x)，則稱φ是歐氏空間上的一個線性局部?？赜成?。線性?？赜成涫蔷€性局部?？赜成?，其逆命題不成立。文中定義了兩個與φ相關(guān)的Rn的子集Iφ和IIφ，如果任意Rn上的點都屬于Iφ(或IIφ)，那么這個線性局部保控映射φ是線性?？赜成?。
關(guān)鍵詞：歐氏空間；線性局部?？赜成?；線性保控映射
0引言
隨著控制理論的不斷發(fā)展，線性?？赜成湟鹆艘恍W(xué)者的注意，并且取得了許多學(xué)術(shù)成果。文獻[1]給出了Rn空間上線性?？赜成涞膬煞N形式。文獻[2]給出了n ×m 階矩陣構(gòu)成的空間Mn,m上的保直受控的兩種形式。文獻[3]給出了lp(p≥1)空間中線性?？赜成涞谋磉_形式。文獻[4]研究了Rn空間上的線性保循環(huán)控制的性質(zhì)。在算子代數(shù)理論中，美國的兩位學(xué)者分別在文獻[5]和文獻[6]中提出了局部導(dǎo)子的概念，得到幾個有趣的結(jié)果，引起了數(shù)學(xué)工作者對各種算子代數(shù)上的局部特征的廣泛討論，證明了許多算子代數(shù)上的局部導(dǎo)子都是導(dǎo)子。本文受算子代數(shù)中局部導(dǎo)子這一思想的啟發(fā)定義了線性局部?？赜成?，并且分析了它與線性保控映射的關(guān)系，得到本文主要結(jié)果。
1若干定義及引理
定義2設(shè)ψ：Rn→Rn是一個線性映射。若對任意x,y∈Rn，由xy必導(dǎo)致ψ(x)ψ(y)，則稱ψ是一個線性?？赜成?。
定義3設(shè)φ：Rn→Rn是一個線性映射。若對任意x∈Rn，都存在與x有關(guān)的線性?？赜成洇讀，使得φ(x)=ψx(x)，則稱φ是一個線性局部?？赜成?。
定義4設(shè)φ：Rn→Rn是一個線性局部?？赜成洹0∈Rn，有以下兩種情況：
1)若存在a0∈Rn，使得φ(x0)=tr(x0)a0，則稱x0是φ的第一類型點。φ的第一類型點的全體記為Iφ。
2)若存在α0(α0≠0),β0∈R,P0∈Pn，使得φ(x0)=α0P0x0+β0tr(x0)e，則稱x0是φ的第二類型點。其中e=(1,1,…,1)T∈Rn。φ的第二類型點的全體記為IIφ。
顯然 Iφ∪IIφ=Rn。
定義5若P是將單位矩陣的某些行(或列)交換后所得的矩陣，則稱P是置換矩陣。n階置換矩陣的全體記為Pn。
引理1[1]ψ：Rn→Rn是線性?？赜成洚?dāng)且僅當(dāng)以下必有其一成立：
1)存在a∈Rn，使得對任意x∈Rn都有φ(x)=tr(x)a；
2)存在α(α≠0),β∈R,P∈Pn，使得對任意x∈Rn都有φ(x)=αPx+βtr(x)e。
2主要內(nèi)容
下面給出本文的主要結(jié)論，它們刻畫了線性局部?？赜成涑蔀榫€性?？赜成涞某浞謼l件。
定理1設(shè)φ：Rn→Rn是一個線性局部保控映射，若對任意x∈Rn，都有x∈Iφ，則φ是Rn上的線性?？赜成洌掖嬖赼∈Rn，使得對任意x∈Rn都有φ(x)=tr(x)a。
定理2設(shè)φ：Rn→Rn是一個線性局部?？赜成?，若對任意x∈Rn，都有x∈IIφ，則φ是Rn上的線性?？赜成洌掖嬖讦?α≠0),β∈R,P∈Pn，使得對任意x∈Rn都有φ(x)=αPx+βtr(x)e。
證明記Aφ=(aij)為φ所對應(yīng)的矩陣。
(1)
(2)
以上兩種情形均可計算得α0=0，矛盾，故Aφ每行至多一個βi+αi。再由Aφ每列有且僅有一個βi+αi知Aφ每行有且僅有一個βi+αi，i=1,2,…,n。
由前兩種情況均可計算得αi′=0，矛盾，舍去。由第3種情況計算得βi=β1，記βi=β，i=1,2,…,n。
3結(jié)束語
本文主要是在Rn空間中線性?？赜成涞幕A(chǔ)上提出了線性局部?？赜成溥@一概念，并且參考文獻[1]的一些理論成果研究了線性局部?？赜成渑c線性?？赜成渲g的關(guān)系，為進一步研究線性局部?？赜成涞谋磉_形式做鋪墊。
參考文獻
[1] Ando T.Majorization，doubly stochastic matrices，and comparison oF eigenvalues [J].Linear Algebra and Its Applications,1989,118:163-248.
[2]Li C K,Poon E.Linear operators preserving directional majorization[J].Linear Algebra and Its Applications,2001,325(1-3):141-146.
[3]Bahrami F,EshkaFtaki B A,Manjegani S M.Linear preservers oF majorization onlp(I)[J].Linear Algebra and Its Applications,2012,436(9):3177-3195.
[4]Soleymani M,Armandnejad A.Linear preservers oF circulant majorization onRn[J].Linear Algebra and Its Applications,2014,440:286-292.
[5]Larson D R，Sourour A R.Local derivations and local automor-phisms oFB(X)[J].Proceedings Symposia in Pure Mathematics,1990,51:187-194.
[6]Kadison R V.Local derivations [J].Journal oF Algebra,1990,130(2):494-509.
Linear Mappings oF Local Preserving-majorization on Rn
Li Pan， Zhu Jun
(InstituteoFMathematics，HangzhouDianziUniversity，HangzhouZhejiang310018，China)
Abstract:Letφ: Rn→Rnbe a linear mapping.φis said to be a linear mapping oF local preserving-majorization on Euclidean space iF For eachxin Rn， there exists a linear mapping oF preserving-majorizationψxwhich is depended onxsuch thatφ(x)=ψx(x). In this paper， it shows that a linear mapping oF preserving-majorization must be oF local preserving-majorization and its contrary is not true. DeFine two subsetsIφandIIφoF Rnthat are related toφ(deFinition 4)， iF all the points in Rnbelong toIφ(orIIφ)， thenφis a linear mapping oF preserving-majorization.
Key words:Euclidean space; linear mappings oF local preserving-majorization; linear mappings oF preserving-majorization
DOI:10.13954/j.cnki.hdu.2015.03.019
收稿日期：2014-09-28
作者簡介：李盼(1990-)，女，湖北武漢人，在讀研究生，量子信息.通信作者：朱軍教授，E-mail：jzhu@hdu.edu.cn.
中圖分類號：O151.2
文獻標(biāo)識碼：A
文章編號：1001-9146(2015)03-0089-04
