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基于α-β-γ濾波的迫擊炮定位

張強(qiáng)**

(中國西南電子技術(shù)研究所,成都 610036)

摘要：針對迫擊炮的偵察定位問題,介紹了一種基于α-β-γ濾波的定位方法。該方法首先根據(jù)外彈道學(xué)確定彈丸飛行的質(zhì)心運動方程,然后利用常增益的α-β-γ濾波跟蹤求解彈丸的運動參數(shù),最后通過龍格-庫塔(Runge-Kutta)方法求解質(zhì)心運動方程,并外推求得炮位位置。仿真結(jié)果表明，該方法在保證較高迫擊炮定位精度的同時實時性能較傳統(tǒng)方法大幅提升,有顯著的工程意義。

關(guān)鍵詞：迫擊炮定位；質(zhì)心運動方程；α-β-γ濾波；龍格-庫塔方法

1引言

迫擊炮具有構(gòu)造簡單、操作靈活、造價低廉、彈道彎曲、最小射程近、射速快、可實時伴隨步兵作戰(zhàn)等優(yōu)點,對開闊地及掩體內(nèi)目標(biāo)、各種野戰(zhàn)工事甚至高大障礙物(如山坡)背后目標(biāo)都有著良好的毀傷破壞作用,作為步兵近距離火力支援的有效武器,現(xiàn)今仍被各國軍隊大量裝備[1-3]。為了提高我方炮兵的作戰(zhàn)反應(yīng)速度和火炮命中概率,各國都在不斷加強(qiáng)火炮偵察定位雷達(dá)的研究,以實現(xiàn)對敵方炮火的有效壓制，典型的炮位偵察雷達(dá)有美國AN/TPQ-36 、AN/TPQ-37“火力發(fā)現(xiàn)者”[1,4]和輕型反迫擊炮雷達(dá)(LCMR)?；鹋诙ㄎ凰惴ㄗ鳛榕谖粋刹於ㄎ焕走_(dá)的關(guān)鍵技術(shù)也日益得到重視。文獻(xiàn)[5-6]所提出的外彈道仿真方法未通過濾波跟蹤算法對彈丸的運動參數(shù)進(jìn)行解算,因此反推炮位的起點易受隨機(jī)噪聲影響,反推炮位的誤差較大。文獻(xiàn)[7]引入粒子濾波的方法來辨識彈道參數(shù)和彈丸的運動參數(shù),然后再外推敵方炮位,該方法定位精度高,但是算法復(fù)雜、實時性差,不能滿足工程應(yīng)用的需要。實踐表明，卡爾曼濾波[8]雖然復(fù)雜程度不及文獻(xiàn)[7]中的粒子濾波方法,但是它的運算時間也比較長,實時性仍然不夠好。因此，有必要尋求一種在保證一定濾波精度條件下(即工程上允許的近似)運算量小、速度快的濾波器。理論研究表明,在一定的限定條件下,α-β-γ濾波器與卡爾曼濾波器具有相一致的最佳增益[9],但是運算量卻大大減小。本文研究α-β-γ 濾波在迫擊炮定位中的應(yīng)用。

2迫擊炮彈丸運動數(shù)學(xué)模型

迫擊炮彈丸的運動彈道是一種類拋物線,但是由于受到空氣阻力等因素影響,實際彈道與拋物線又有較大的差異,特別是對低射角的飛行彈道而言,若用拋物線方程來逼近,產(chǎn)生的定位誤差將不可接受,甚至可能是發(fā)散的,無法外推，因此，本文采用彈丸的質(zhì)心運動方程來描述其飛行軌跡[6]。

迫擊炮彈飛行軌跡示意圖如圖1所示,彈丸的飛行軌跡位于XYZ三維笛卡爾坐標(biāo)系內(nèi),炮位位于H點,炮位偵察雷達(dá)位于X軸方向。

圖1　迫擊炮彈飛行軌跡示意圖

那么以時間t為自變量,在三維直角坐標(biāo)系中彈丸質(zhì)心運動方程可描述為

(1)

彈丸的質(zhì)心運動方程是一種理想情況,它把彈丸看作質(zhì)點,在空中飛行時只受到重力和空氣阻力的影響,且不考慮馬格洛斯力、升力和科氏力等,它是一種氣動參數(shù)少但能較準(zhǔn)確反映飛行彈丸運動規(guī)律的彈道方程。彈丸質(zhì)心運動方程雖然在全彈道上與真實彈道有一定差距,但是完全能夠滿足炮位偵察的要求。

3α-β-γ濾波解算目標(biāo)運動參數(shù)

為了獲得準(zhǔn)確的彈丸運動參數(shù),有必要通過濾波跟蹤對雷達(dá)量測數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑,并獲得后續(xù)炮位反推的起點。典型的濾波跟蹤方法就是卡爾曼濾波,但是卡爾曼濾波的增益計算過程較為復(fù)雜,需要耗費大量時間,影響算法的實時性。α-β-γ濾波作為卡爾曼濾波的特殊形式,由于它是一種常增益濾波器,計算復(fù)雜度極大地下降,但是針對勻加速運動模型的目標(biāo)卻和傳統(tǒng)卡爾曼濾波有相一致的最佳增益[9]。而迫擊炮彈丸由于僅受到萬有引力和空氣阻力作用可以被認(rèn)為處于勻加速運動狀態(tài),所以引入α-β-γ濾波器來對雷達(dá)量測數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑并解算目標(biāo)的運動參數(shù)。對于笛卡爾坐標(biāo)系下九維向量的α-β-γ平滑濾波可描述如下。

彈丸運動的狀態(tài)方程可描述為

X(k+1)=F(k)X(k)+Γ(k)v(k)，k=0,1,2，…,99。

(2)

式中，狀態(tài)向量為X(k)=[x vxaxy vyayz vzaz]′；狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

過程噪聲分布矩陣

Γ(k)=[T2/2 T 1 T2/2 T 1 T2/2 T 1]′；v(k)為過程噪聲,是零均值高斯白噪聲。

彈丸的量測方程為

Z(k)=H(k)X(k)+W(k)。

(3)

式中，量測矩陣

W(k)為量測噪聲,是零均值的白噪聲,與過程噪聲序列相互獨立。

狀態(tài)一步預(yù)測為

(4)

常增益的表達(dá)式為

K(k+1)=

[αβ/Tγ/T2αβ/Tγ/T2αβ/Tγ/T2]。

(5)

公式(5)中的常增益是機(jī)動指標(biāo)的函數(shù),工程上常用與采樣時刻k有關(guān)的方法來確定α、β和γ的值,如公式(6)～(8)所示:

(6)

(7)

(8)

對α來說,從k=1開始取值；對β來說,從k=2開始取值；對γ來說,從k=3開始取值。α、β、γ值與k的關(guān)系如表1所示。

表1　α、β、γ值與k的關(guān)系

最后可得α-β-γ濾波的狀態(tài)更新方程為

(9)

由于基于α-β-γ濾波的目標(biāo)解算方法在計算增益時不需要計算新息協(xié)方差和更新協(xié)方差向量等過程,計算復(fù)雜度大大降低。

4龍格-庫塔法炮位反演

彈丸的質(zhì)心運動方程(1)是一個微分方程,可用龍格-庫塔(Runge-Kutta)方法來實現(xiàn)微分方程的解[6-7]。

對于微分方程如公式(10),那么用四階龍格-庫塔方法的求解如公式(11)所示:

x′=f(t,x),x(t0)=x0;

(10)

xi+1=xi+hφ(ti,xi,h),i=0,1,…。

(11)

對于用龍格-庫塔方法進(jìn)行微分方程數(shù)值求解而言,若x(t+h)-[x(t)+hφ(t,x(t),h)]=O(hp+1),則稱以上迭代公式為p階公式,p的大小反映了截斷誤差的高低,越高階精度越高。本文所用的四階龍格-庫塔方法其p=4,精度較高。

龍格-庫塔炮位反推的起點為α-β-γ濾波獲得的精度較高的處于下降段的彈丸軌跡點,選取恰當(dāng)?shù)臅r間間隔h即可獲得較高的炮位反演精度,當(dāng)炮位迭代反推至z=z0時的彈丸坐標(biāo)(x0,y0)即為迫擊炮位置所在,其中z0為彈丸飛行曲線與地形坐標(biāo)交點的高度值。

5算法流程

基于α-β-γ濾波的迫擊炮定位方法的詳細(xì)算法流程圖如圖2所示。

圖2　定位算法流程圖

5.1彈道參數(shù)的初始化

質(zhì)心運動方程主要彈道參數(shù)根據(jù)《彈箭外彈道學(xué)》[10]確定：

(1)彈道系數(shù)c=0.8613；

(2)地面標(biāo)準(zhǔn)虛溫值τon=15℃,z高度處的虛溫值τ=τon-0.006328z；

(3)空氣密度函數(shù)

H(z)=(1-2.1904×10-5z)4.399；

(4)空氣阻力函數(shù)

式中，v的單位為m/s；

(5)重力加速度g=9.8 m/s2。

5.2量測值的初始化

對于偵察定位雷達(dá)每次給出的目標(biāo)測量值為斜距、方位角和俯仰角,即(R,α,β)。為了方便算法實現(xiàn),將其轉(zhuǎn)換到雷達(dá)笛卡爾坐標(biāo)系下為Z=(x,y,z)，那么系統(tǒng)的初始狀態(tài)向量可利用前三個時刻的雷達(dá)測量值Z(0)、Z(1)和Z(2)確定,即

5.3濾波平滑

偵察雷達(dá)需要給出13個測量值,其中時間間隔為T=0.1s,系統(tǒng)根據(jù)第3節(jié)介紹的常增益α-β-γ濾波從k=3時開始濾波平滑,最終獲得k=12的彈丸運動參數(shù)(x1vx1ax1y1vy1ay1z1vz1az1),即炮位反推的起點。

5.4炮位反推

選取時間間隔h=0.1s,根據(jù)第4節(jié)介紹的龍格-庫塔方法進(jìn)行炮位反推,當(dāng)炮位迭代反推至z=z0時的彈丸坐標(biāo)(x0,y0)即為迫擊炮位置所在,其中z0為彈丸飛行曲線與地形坐標(biāo)交點的高度值。

6仿真與分析

以美國某型81mm口徑的迫擊炮為例,用Matlab進(jìn)行仿真實驗。設(shè)定彈丸在YOZ平面內(nèi)飛行,地形與水平面相同,那么可從網(wǎng)絡(luò)查閱獲得該型迫擊炮在發(fā)射角為45°和60°時的相關(guān)運動參數(shù),如表2所示。

表2　迫擊炮相關(guān)參數(shù)

仿真實驗中首先根據(jù)表2中迫擊炮相關(guān)參數(shù)得到彈丸飛行路徑圖,然后取飛行路徑下降段的連續(xù)13點采樣值作為雷達(dá)的量測值,并據(jù)此進(jìn)行α-β-γ濾波和炮位反推,同時將本文方法與基于卡爾曼濾波[8]和粒子濾波[7]的方法進(jìn)行比較,反推的炮位坐標(biāo)與真實坐標(biāo)如表3所示, 可見雖然本文炮位反演方法的絕對誤差分別為36 m和29 m,高于其他兩種方法,但是仍具有很高的炮位反推精度,對實際工程應(yīng)用而言迫擊炮定位精度小于50 m就是非常有意義的。

表3　定位精度比較

本文算法與基于卡爾曼濾波和粒子濾波的炮位反演算法計算時間比較如表4所示,表中以本文方法在45°發(fā)射角的反推時間為單位1,其余時間為單位1的倍數(shù),可見本文方法在計算時間上優(yōu)勢明顯。

表4　計算時間比較

仿真分析中的彈道參數(shù)設(shè)置是具有通用性的,只是未充分考慮彈丸目標(biāo)的起伏特性和雷達(dá)測量噪聲對定位結(jié)果的影響,在實際工程中定位精度還有降低的可能,但該方法亦不失為一種性能較好的迫擊炮定位方法。

7結(jié)束語

本文介紹了一種基于α-β-γ濾波的迫擊炮偵察定位方法。該方法利用α-β-γ濾波跟蹤獲得迫擊炮彈丸飛行的相關(guān)參數(shù),然后用四階龍格-庫塔方法來解算彈丸的軌跡運動方程,實現(xiàn)對炮位的準(zhǔn)確外推。仿真結(jié)果表明,該方法雖然偵察定位精度略微有所下降,但是實時性能相對文獻(xiàn)[7-8]的方法有極大提升,有顯著的工程應(yīng)用價值。在后續(xù)的工作中有必要進(jìn)一步研究該方法推廣到其他艦炮、坦克炮等火炮的定位效果。

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張強(qiáng)(1986—),男,四川鄰水人,2012年于中國科學(xué)院獲博士學(xué)位,現(xiàn)為工程師,主要研究方向為圖像處理、目標(biāo)識別和雷達(dá)系統(tǒng)設(shè)計。

ZHANG Qiang was born in Linshui,Sichuan Province,in 1986. He received the Ph.D. degree from Chinese Academy of Sciences in 2012. He is now an engineer. His research interests include image processing,target recognition,radar system design.

Email: zhangqiang_ioe@126.com

引用格式：張強(qiáng).基于α-β-γ濾波的迫擊炮定位[J].電訊技術(shù),2015,55(6):634-638.[ZHANG Qiang.Trench Mortar Locating Based on α-β-γ Filter[J].Telecommunication Engineering,2015,55(6):634-638.]

Trench Mortar Locating Based on α-β-γ Filter

ZHANG Qiang

(Southwest China Institute of Electronic Technology,Chengdu 610036,China)

Abstract：For the locating problem of trench mortar,a locating method based on α-β-γ filter is presented. First,centroid moving equations are determined according to the exterior ballistics. Then the motion parameters are solved by the α-β-γ tracking filter with constant gain. Finally, the trench mortar position is deduced by solving the centroid moving equations with the Runge-Kutta method. The simulation results show that the proposed method has good locating precision with much shorter time compared with conventional method,and it is valuable for engineering.

Key words：trench mortar locating;centroid moving equation;α-β-γ filter;Runge-Kutta method

作者簡介：

中圖分類號：TN97

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-893X(2015)06-0634-05

通訊作者：*zhangqiangioe@126.comCorresponding author：zhangqiangioe@126.com

收稿日期：*2014-09-28；修回日期：2015-04-17Received date:2014-09-28；Revised date：2015-04-17

doi:10.3969/j.issn.1001-893x.2015.06.009