王 豐，王楠楠，張振楠，許海軍

(大連民族學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院，遼寧 大連116605)

近年來(lái)，隨著基于性能抗震設(shè)計(jì)理念的提出，Pushover 分析方法得到了迅速的發(fā)展。由于Pushover 理論是建立在等效單自由度系統(tǒng)假設(shè)的基礎(chǔ)上，所以可以將其與彈塑性位移譜結(jié)合以估算結(jié)構(gòu)位移反應(yīng)。目前，彈塑性位移譜的研究主要圍繞著強(qiáng)度折減系數(shù)展開(kāi)，很多學(xué)者給出了強(qiáng)度折減系數(shù)與周期、延性系數(shù)的關(guān)系［1-3］。有些學(xué)者直接通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析建立非線性與線彈性單自由度系統(tǒng)的最大位移關(guān)系［4］。一些學(xué)者還考慮了P-Δ 效應(yīng)對(duì)彈塑性位移譜的影響［5］。經(jīng)過(guò)一定的研究積累，很多學(xué)者對(duì)彈塑性位移譜的研究進(jìn)行了總結(jié)與評(píng)價(jià)［6-7］。然而，彈塑性位移譜的研究幾乎都是以單向地震激勵(lì)下的單自由度系統(tǒng)模型為前提，沒(méi)有考慮平面外的影響。以往的震害分析及研究表明，結(jié)構(gòu)在多維地震作用下會(huì)形成非線性反應(yīng)的空間耦合作用。所以?xún)H考慮地震的單向水平激勵(lì)或按等效單自由度系統(tǒng)來(lái)計(jì)算分析結(jié)構(gòu)的非線性反應(yīng)不能準(zhǔn)確反映實(shí)際情況。為此，文章提出考慮雙向地震激勵(lì)的標(biāo)準(zhǔn)化彈塑性位移反應(yīng)譜理論，根據(jù)選取的地震動(dòng)記錄分析了不同場(chǎng)地、延性系數(shù)和兩主軸方向周期比對(duì)譜值的影響。

1 基本原理

1.1 單質(zhì)點(diǎn)雙自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

設(shè)一個(gè)單質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，它在相互垂直的兩水平主軸(x 和y)方向上具有雙向自由度，沿兩主軸方向同時(shí)承受雙向地震動(dòng)激勵(lì)，運(yùn)動(dòng)方程為:

式中，m 為系統(tǒng)的質(zhì)量;cx和cy為系統(tǒng)沿x 和y 方向阻尼系數(shù);x(t)和y(t)為兩方向的位移反應(yīng);f(x，t)和f(y，t)為兩方向的恢復(fù)力。假定此單質(zhì)點(diǎn)雙自由度系統(tǒng)的恢復(fù)力模型為二維屈服面模型［8］，可以表示為:

式中，fx，yie和fy，yie為兩主軸方向?qū)?yīng)的單自由度系統(tǒng)的屈服力。定義加載、卸載準(zhǔn)則為:當(dāng)F(f(x，t)，f(y，t))＜1.0 時(shí)表示處于彈性狀態(tài);當(dāng)F(f(x，t)，f(y，t))=1.0 時(shí)發(fā)生了側(cè)向力增量(△f(x，t)，△f(y，t))后，有兩種不同反應(yīng)，一是力(f(x，t)，f(y，t))保持在屈服面上，這時(shí)有新的塑性變形增量(△Dx，△Dy)產(chǎn)生，這種情況稱(chēng)為加載;若力(f(x，t)，f(y，t))由屈服退回屈服面內(nèi)，則稱(chēng)為卸載。

1.2 運(yùn)動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)化

定義單質(zhì)點(diǎn)雙自由度系統(tǒng)兩正交方向的強(qiáng)度折減系數(shù)為Rx=fx，e，max/fx，yie和Ry=fy，e，max/fy，yie，其中fx，e，max和fy，e，max為兩主軸方向?qū)?yīng)單自由度系統(tǒng)的最大彈性力，可以分別表示為:

式中，βx和βy為x 和y 方向的地震放大系數(shù)反應(yīng)譜。定義ux(t)=x(t)/xyie和uy(t)=y(t)/yyie，其中xyie和yyie為兩主軸方向?qū)?yīng)單自由度系統(tǒng)的屈服位移。將以上定義的關(guān)系式帶入式(1)中，整理有:

式中，ωx和ωy為x 和y 方向的圓頻率。在式(4)的求解中，定義μ=max|ux(t)|為系統(tǒng)x 方向的延性系數(shù)。由于結(jié)構(gòu)的水平抗力強(qiáng)度是由規(guī)范設(shè)計(jì)譜確定，兩主軸方向的單自由度屈服力比值可以近似表示為fx，yie/fy，yie=a(Tx)/a(Ty)，其中a 為地震影響系數(shù)，Tx和Ty分別為系統(tǒng)x 和y 方向的周期，分別等于2π/ωx和2π/ωy。于是可以建立以下關(guān)系:

若已知結(jié)構(gòu)x 和y 方向的周期Tx和Ty，通過(guò)規(guī)范設(shè)計(jì)譜和式(5)可將式(4)中的Ry用Rx的函數(shù)形式替代。

1.3 標(biāo)準(zhǔn)化位移譜模型

在雙向地震動(dòng)i 的激勵(lì)下，系統(tǒng)x 方向的最大的彈性位移和塑性位移分別表示為De，i和Dp，i。結(jié)合式(4)和(5)進(jìn)行計(jì)算，若確定某一μ 值，通過(guò)迭代可以得到一強(qiáng)度折減系數(shù)值Rx，i。根據(jù)μ和Rx，i的定義有如下關(guān)系:

取多組雙向地震激勵(lì)進(jìn)行計(jì)算，然后對(duì)式(6)兩側(cè)同時(shí)取數(shù)學(xué)期望，進(jìn)一步推導(dǎo)可以得到以下關(guān)系［9］:

式中，由于Sde與Sdp是比值關(guān)系，可以約去統(tǒng)計(jì)平均中不同地震峰值加速度的影響，所以Sdp和Sde可以分別表示為不同雙向地震激勵(lì)得到的Dp，i和De，i的平均值。于是可以表示為x 方向的強(qiáng)度折減系數(shù)設(shè)計(jì)譜。根據(jù)彈性位移譜和彈性加速度譜的關(guān)系，并用βx·max||替代彈性加速度譜，可以得到系統(tǒng)x 方向的統(tǒng)計(jì)平均的標(biāo)準(zhǔn)化彈塑性位移譜公式:

式中，Sdp，n為x 方向統(tǒng)計(jì)平均的標(biāo)準(zhǔn)化彈塑性位移譜。Sdp，n是按每條地震波激勵(lì)下的彈塑性位移譜Sdp除以相應(yīng)的地震峰值加速度max||(即標(biāo)準(zhǔn)化)后，再取平均值得到。這種標(biāo)準(zhǔn)化的目的是在建立統(tǒng)計(jì)平均譜的過(guò)程中可以不用考慮峰值加速度的影響。本文即通過(guò)公式(8)、(4)和(5)建立等延性的標(biāo)準(zhǔn)化彈塑性位移譜。

2 標(biāo)準(zhǔn)化彈塑性位移譜分析

2.1 雙向地震記錄

按硬土(Vs=360 -750 m/s)、中等土(Vs=180 -360 m/s)和軟土(Vs＜180 m/s)三類(lèi)場(chǎng)地分別選擇34 組、35 組、20 組，共89 組(178 條)雙向地震記錄，分別對(duì)應(yīng)USGS 中的B、C 和D 類(lèi)，詳見(jiàn)文獻(xiàn)［10］。選取的地震記錄滿(mǎn)足如下原則:(1)震級(jí)在6 級(jí)以上;(2)斷層距在15km ～45km 之間;(3)每組雙向地震記錄中，至少有一條加速度峰值在0.1g 以上。

2.2 標(biāo)準(zhǔn)化彈塑性位移譜

三類(lèi)場(chǎng)地下周期比η=1 時(shí)(定義η=Ty/Tx)的等延性系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化位移譜如圖1。分析圖1 可知:(1)三類(lèi)場(chǎng)地下的標(biāo)準(zhǔn)化位移譜均為逐漸上升的趨勢(shì)。其中，硬土和中等土場(chǎng)地的上升較為平緩，為拋物線型，標(biāo)準(zhǔn)化的位移譜值也較小;而軟土場(chǎng)地的上升比較急劇，近似為線性上升，譜值明顯比前兩者大。(2)在硬土場(chǎng)地和軟土場(chǎng)地，隨著延性系數(shù)μ 的增大標(biāo)準(zhǔn)化位移譜值逐漸增大，相比較，在軟土場(chǎng)地下此特點(diǎn)更為明顯;在中等土場(chǎng)地，不同延性系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化位移譜的譜值差別不大，規(guī)律性不明顯。

為了分析系統(tǒng)兩主軸方向周期比η 對(duì)譜值的影響，設(shè)θ=Sdp，n(η=某周期比)/Sdp，n(η=1)。于是，可以通過(guò)比值θ 以η=1 為基準(zhǔn)分析周期比對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化位移譜的影響。由于篇幅原因，僅以延性系數(shù)μ=4 為例，給出了三類(lèi)場(chǎng)地下η=0.4、0.67、1.5、2.5 所對(duì)應(yīng)的Sdp，n與η=1 所對(duì)應(yīng)Sdp，n的比值譜，即θ 譜如圖2。通過(guò)分析可知:(1)三類(lèi)場(chǎng)地下總的特點(diǎn)是θ(η=0.67 和1.5)比θ(η=0.4 和2.5)更接近1，在短周期時(shí)θ(η=0.4 和2.5)偏離1 比較明顯。說(shuō)明單質(zhì)點(diǎn)雙自由度系統(tǒng)的兩主軸方向周期的相對(duì)差值越大，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化位移譜的影響越明顯。(2)隨著延性系數(shù)的增大，此影響有增大的趨勢(shì)。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)化的彈塑性位移譜(η=1)

圖2 周期比對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化彈塑性位移譜的影響圖

3 結(jié) 論

提出了考慮雙向地震激勵(lì)的標(biāo)準(zhǔn)化彈塑性位移譜理論。假設(shè)單質(zhì)點(diǎn)雙自由度系統(tǒng)的彈塑性特性滿(mǎn)足二維屈服面函數(shù)，選取89 組雙向地震記錄作為系統(tǒng)的雙向激勵(lì)，建立了統(tǒng)計(jì)平均的等延性系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化位移譜，分析了不同場(chǎng)地、延性系數(shù)和周期比對(duì)譜值的影響。通過(guò)分析得出:

(1)場(chǎng)地譜型特征:硬土和中等土場(chǎng)地譜型呈拋物線上升趨勢(shì)，軟土場(chǎng)地譜型呈近似線性上升趨勢(shì)。硬土場(chǎng)地的譜值最小，中等土場(chǎng)與硬土場(chǎng)地的譜值比較接近，軟土場(chǎng)地的譜值明顯大于前兩者。

(2)延性系數(shù)的影響:在硬土和軟土場(chǎng)地下，隨延性系數(shù)增大譜值有逐漸增大的趨勢(shì)，而在中等土場(chǎng)地下，此特點(diǎn)不明顯。

(3)周期比的影響:兩主軸方向周期比對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化位移譜具有一定的影響，并且隨著延性系數(shù)的增大，影響有增大趨勢(shì)。

［1］VIDIC T，F(xiàn)AJFAR P，F(xiàn)ISHINGER M. Consistent inelastic design spectra:strength and displacement［J］.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1994，23:507 -521.

［2］徐福江，錢(qián)稼茹.常延性系數(shù)彈塑性位移譜及其應(yīng)用［J］. 工程力學(xué)，2007，24(6):15 -20.

［3］BOZORGNIA Y，HAEHEM M M，CAMPBELL K W.Ground motion prediction equation for inelastic response spectra［J］. Earthquake Spectra，2010，26(1):1 -23.

［4］翟長(zhǎng)海，李爽，謝禮立，等. 鋼筋混凝土規(guī)則框架結(jié)構(gòu)非彈性位移比譜研究［J］. 工程力學(xué)，2009，26(9):80 -86.

［5］ZHAI Changhai，LI Ning，MA Yuhong. P-Δ effect on inelastic displacement ratio spectra for inelastic structures［J］. Journal of Harbin Institute of Technology，2011，18(1):107 -112.

［6］TONG G S，ZHAO Y F. Inelastic yielding strength demand coefficient spectra［J］. Soil Dynamic and Earthquakes Engineering，2008，28:1004 -1013.

［7］BOZORGNIA Y，HAEHEM M M，CAMPBELL K W.Deterministic and probabilistic predictions of yield strength and inelastic displacement spectra［J］. Earthquake Spectra，2010，26(1):25 -40.

［8］王東升，李宏男，王國(guó)新.雙向地震動(dòng)作用彈塑性反應(yīng)譜研究［J］. 大連理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，45(2):248 -254.

［9］王豐，李宏男，伊廷華.雙向地震作用下等延性強(qiáng)度折減系數(shù)反應(yīng)譜研究［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2009，22(2):193 -199.

［10］王豐，李宏男.雙向地震作用下等延性系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化滯回能量反應(yīng)譜［J］. 地震工程與工程振動(dòng)，2013，33(6):178 -186.