于善玲，張耀明

(山東理工大學(xué)理學(xué)院，山東淄博 255049)

二維Helmholtz方程的邊界元法

于善玲，張耀明

(山東理工大學(xué)理學(xué)院，山東淄博 255049)

在已有位勢(shì)問(wèn)題工作的基礎(chǔ)上，建立求解二維Helmholtz方程邊值問(wèn)題的間接變量規(guī)則化邊界積分方程，它不包含CPV強(qiáng)奇異積分和HFP超奇異積分的計(jì)算。數(shù)值算例表明:本文方法在低頻率下可取得較好的精度和效率。

二維Helmholtz方程邊值問(wèn)題;間接變量邊界積分方程;邊界元法;奇異積分

Helmholtz方程在工程技術(shù)、電磁場(chǎng)理論、散射理論、力學(xué)等較多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，研究其數(shù)值解不僅有廣泛的實(shí)際意義，也有重要的理論價(jià)值。在Helmholtz方程的邊界型方法的研究中，主要是基本解法和直接邊界元法［1-7］?；窘夥ㄍㄟ^(guò)虛擬邊界避免奇異積分的計(jì)算，然而虛擬邊界的優(yōu)化選擇是一個(gè)棘手的問(wèn)題［5-6，8］，通?？垦芯空叩慕?jīng)驗(yàn)或誤差實(shí)驗(yàn)來(lái)完成。本文致力于二維Helmholtz問(wèn)題的間接變量規(guī)則化邊界元法研究。與直接法相比，間接法更簡(jiǎn)單、靈活和適用［8-10］。首先，基本場(chǎng)變量和其導(dǎo)數(shù)不直接關(guān)聯(lián);其次，間接法更容易改變邊界積分方程的形式，以適合不同邊界條件的邊值問(wèn)題;再者，基本場(chǎng)變量的梯度方程中不含有HFP積分。然而，二維Helmholtz問(wèn)題的間接變量規(guī)則化邊界積分方程至今尚未得到充分的研究。本文在作者已有位勢(shì)問(wèn)題工作［9-10］的基礎(chǔ)上，建立二維Helmholtz問(wèn)題的間接變量規(guī)則化邊界積分方程。它無(wú)需處理HFP積分，與已有的直接變量邊界元法相比，降低了處理問(wèn)題的復(fù)雜性，改進(jìn)了計(jì)算效率。

1 預(yù)備知識(shí)

本文假定Ω是R2中的一個(gè)有界區(qū)域，Ωc是其補(bǔ)域，Γ=?Ω是它們的共同邊界。t(x)，n(x)分別是區(qū)域Ω的邊界Γ在x點(diǎn)處的單位切、外法向量。

1.1 Helmholtz邊界值問(wèn)題

二維Helmholtz方程的控制微分方程為

混合邊界條件為

式中:u為勢(shì)函數(shù);分別是已知u和的邊界。

二維Helmholtz方程的基本解為

定理1［9］設(shè)Γ是分段光滑曲線(開(kāi)或閉)是Γ的一個(gè)點(diǎn)(可能是角點(diǎn))，令若φ(x)∈C0，α(Γ)和是常數(shù))，那么有

2 二維Helmholtz方程的間接規(guī)則化邊界積分方程

二維Helmholtz方程的內(nèi)點(diǎn)邊界積分方程為

3 數(shù)值算例

為了考察結(jié)果的準(zhǔn)確性，定義相對(duì)誤差

這里，Sexa，Snum分別是計(jì)算點(diǎn)處的精確解和數(shù)值解。

例1 所考慮的區(qū)域?yàn)檫吔鐥l件如下

計(jì)算時(shí)，邊界幾何采用精確單元描述，邊界量采用不連續(xù)線性插值逼近。邊界被等分成100個(gè)單元。當(dāng)k=1時(shí)，表1、2分別給出了域內(nèi)和邊界上u的數(shù)值解與精確解的比較。

例2 所考慮的區(qū)域是單位圓域:Ω={(x，y)|x2+y2≤1}，邊界條件如下

計(jì)算時(shí)，邊界幾何采用精確單元描述，邊界量采用常元插值逼近。邊界被等分成200個(gè)單元。當(dāng)k= 1時(shí)，表3、4、5分別給出了單位圓內(nèi)部u，邊界上u、q的數(shù)值解與精確解的比較。

表1 方域內(nèi)點(diǎn)u的數(shù)值解與精確解的比較

表2 方域邊界上u的數(shù)值解與精確解的比較

表3 圓域內(nèi)點(diǎn)u的數(shù)值解與精確解的比較

表4 圓域邊界上u的數(shù)值解與精確解的比較

表5 圓域邊界上q的數(shù)值解與精確解的比較

4 結(jié)束語(yǔ)

在已有位勢(shì)問(wèn)題的基礎(chǔ)上，本文建立了二維Helmholtz方程邊值問(wèn)題的規(guī)則化邊界積分方程，有效避免了奇異積分的計(jì)算，數(shù)值算例驗(yàn)證了該方法的可行性。

［1］Jianjun Ma，Jialin Zhu，Maojun Li.The Galerkin boundary element method for exterior problems of 2-D Helmholtz equation with arbitrary wavenumber［J］.Engineering Analysis with Boundary Elements，2010，34(12):1058-1063.

［2］Tomioka S，Nishiyama S.Analytical regularization of hypersingular integral for Helmholtz equation in boundary element method［J］.Engineering Analysis with Boundary Element，2010，34(4):393-404.

［3］Marin L，Lesnic D，Manticˇ V.Treatment of singularities in Helmholtz-type equations using the boundary element method［J］. Journal of Sound and Vibration，2004，278(1/2):39-62.

［4］Harris P J.A boundary element method for the Helmholtz equation using finite part integration［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，1992，95(3):331-342.

［5］姜欣榮，陳文.基本解方法與邊界節(jié)點(diǎn)法求解Helmholtz方程的比較研究［J］.計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2011，28(3):339-344.

［6］Bin-Mohsin B，Lesnic D.The method of fundamental solutions for Helmholtz-type equations in composite materials［J］.Computers&Mathematics with Applications，2011，62(12):4377-4390.

［7］Marin L.Treatment of singularities in the method of fundamental solutions for two-dimensional Helmholtz-type equations［J］. Applied Mathematical Modelling，2010，34(6):1615-1633.

［8］孫煥純，張立洲，許強(qiáng)，等.無(wú)奇異邊界元法［M］.大連:大連理工大學(xué)出版社，1999.

［9］Zhang Yaoming，LYU Hexing，Wang Limin.Novel regularized boundary integral equations for potential plane problems［J］.Applied Mathematics and Mechanics，2006，7(9):1165-1170.

(責(zé)任編輯何杰玲)

Boundary Element Method for 2D Helmholtz Equation Value Problems

YU Shan-ling，ZHANG Yao-ming
(College of Science，Shandong University of Technology，Zibo 255049，China)

Based on the existing work on potential problems，the indirect regularized BIEs of 2D Helmholtz equation value problems without the calculation of the CPV integrals and the HFP integrals were developed.Numerical examples demonstrate the feasibility and efficiency of this method with low wave number.

2D Helmholtz equation boundary value problems;indirect boundary integral equation;the boundary element method;singular integral

O342

A

1674-8425(2015)11-0139-05

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2015.11.024

2015-06-17

山東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(ZR2010AZ003)

于善玲(1988—)，女，碩士研究生，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究;通訊作者張耀明(1962—)，男，博士，教授，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究。

于善玲，張耀明.二維Helmholtz方程的邊界元法［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2015(11):139 -143.

format:YU Shan-ling，ZHANG Yao-ming.Boundary Element Method for 2D Helmholtz Equation Value Problems［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2015(11):139-143.