祁 蘭，張文鵬

(1.榆林學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 陜西 榆林 719000；2.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710127)

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·數(shù)理科學(xué)·

關(guān)于Golomb猜想的一般化

祁 蘭1，張文鵬2

(1.榆林學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 陜西 榆林 719000；2.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710127)

設(shè)p為奇素?cái)?shù)，c是任意與p互素的整數(shù)。那么Golomb猜想可以簡(jiǎn)單描述為對(duì)任意素?cái)?shù)p≥3,存在模p的兩個(gè)原根α，β，使得α+β≡cmodp。文中的主要目的是推廣這一結(jié)果，即利用特征和的估計(jì)以及原根的判別性質(zhì)證明更一般的結(jié)論：設(shè)p為充分大的素?cái)?shù)，k為給定的正整數(shù)。對(duì)于任意給定的兩兩不同余的整數(shù)c1,c2,…,ck且(p,c1c2…ck)=1，一定存在模p的k+1個(gè)原根β1，β2，…，βk及α使得βi+α≡cimodp,i=1,2,…,k。顯然當(dāng)k=1時(shí)就是Golomb猜想。所以，該結(jié)果是Golomb猜想的進(jìn)一步推廣和延伸。

Golomb猜想；一般化；特征和的估計(jì)；原根的判別方法；漸近公式

設(shè)p是一個(gè)素?cái)?shù)，r是一個(gè)正整數(shù),q=pr,GF(q)表示特征為p的有限域。Golomb在文獻(xiàn)[1]中研究Costas列陣時(shí)，提出了如下3個(gè)猜想:

(I) 任何有限域GF(q)包含兩個(gè)原根α及β使得α+β=1；

(II) 任何有限域GF(q)包含兩個(gè)原根α及β使得α+β=-1；

(III) 當(dāng)q充分大時(shí),對(duì)任意非零元素ε∈GF(q),一定存在兩個(gè)原根α,β∈GF(q)使得α+β=ε。

這些猜想后來(lái)被基本解決,也就是對(duì)一些特殊的q或者所有充分大的q,這3個(gè)猜測(cè)全部成立。有關(guān)文章可參閱文獻(xiàn)[2-6]。這里不再一一闡述。本文的主要目的是將這一猜想進(jìn)行推廣和延伸,即討論下面兩個(gè)問(wèn)題:

(A) 設(shè)p為奇素?cái)?shù),k為給定的正整數(shù),c1,c2,…,ck∈GF(p)為k個(gè)非零元素。那么GF(p)一定包含k+1個(gè)原根α,β1,β2,…,βk，使得

βi+α=ci,i=1,2,…,k。

(B) 設(shè)p為奇素?cái)?shù),k為給定的正整數(shù),c1,c2,…,ck∈GF(p)為k個(gè)非零元素。那么GF(p)一定包含k+1個(gè)原根α,β1,β2,…,βk，使得

βi-α=ci,i=1,2,…,k。

顯然這兩個(gè)問(wèn)題是Golomb猜想當(dāng)q=p時(shí)的一般化,當(dāng)k=1時(shí)即就是Golomb猜想。本文利用特征和的估計(jì)以及原根的判別性質(zhì)證明對(duì)任意給定的正整數(shù)k≥1, 當(dāng)p充分大時(shí)上式問(wèn)題成立。為敘述方便,這里我們僅討論q=p為奇素?cái)?shù)的情況。設(shè)p為奇素?cái)?shù),k為給定的正整數(shù)。對(duì)任意兩兩模p不同余的整數(shù)c1,c2,…,ck且(c1c2…ck,p)=1，設(shè)N(p)表示區(qū)間[1,p-1]中所有正整數(shù)n的個(gè)數(shù)使得k+1個(gè)整數(shù)n,c1-n,c2-n,…,ck-n均為模p的原根;設(shè)M(p)表示區(qū)間[1,p-1]中所有正整數(shù)n的個(gè)數(shù)使得k+1個(gè)整數(shù)n,c1+n,c2+n,…,ck+n均為模p的原根，則有下面的結(jié)論。

定理1 設(shè)p為奇素?cái)?shù),k為給定的正整數(shù)。則對(duì)于任意給定的兩兩不同余的整數(shù)c1,c2,…,ck且(p,c1c2…ck)=1, 有漸近公式

定理2 設(shè)p為奇素?cái)?shù),k為給定的正整數(shù)。則對(duì)于任意給定的兩兩不同余的整數(shù)c1,c2,…,ck且(p,c1c2…ck)=1， 有漸近公式

M(p)=

其中φ(n)為Euler函數(shù)，ω(n)表示n的所有不同素因數(shù)的個(gè)數(shù)。

推論1 設(shè)p為充分大的奇素?cái)?shù),那么一定存在模p的3個(gè)原根α,β及γ，使得β+α≡1 modp;γ+α≡-1 modp。

推論2 設(shè)p為充分大的奇素?cái)?shù),那么一定存在模p的3個(gè)原根α,β及γ，使得β-α≡1 modp;γ-α≡-1 modp。

顯然我們的結(jié)論在有限域GF(p)上也成立,其證明方法完全一樣,這里不再重復(fù)。

1 幾個(gè)引理

引理1[7]設(shè)p為奇素?cái)?shù)。那么對(duì)任意整數(shù)c且(c,p)=1, 有恒等式

其中e(y)=e2πiy,indc表示c對(duì)于模p某一原根的指標(biāo)，μ(n)是M?bius函數(shù)。

引理2[11]設(shè)p為奇素?cái)?shù),k為正整數(shù),χ1,χ2,…,χk是模p的k個(gè)Dirichlet特征且至少有模p的一個(gè)非主特征。設(shè)f(x)是有限域GF(p)上的任一d次多項(xiàng)式。那么對(duì)GF(p)中任意兩兩不同的α1,α2,…,αk有估計(jì)式

2 定理的證明

本節(jié)給出定理的簡(jiǎn)單證明。在證明過(guò)程中我們需要用到一些初等數(shù)論知識(shí),其內(nèi)容和結(jié)論都可以在初等數(shù)論教材中找到[8-10]。

首先證明定理1。 設(shè)N(p)表示區(qū)間[1,p-1]中所有滿足條件n,c1-n,c2-n,…,ck-n均為模p原根的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)，則由引理1，有

(1)

p+O(k)。

(2)

另一方面，當(dāng)hi(i=0,1,2,…,k)中至少有一個(gè)比如hs不為1時(shí)，此時(shí)χ(rs,hs;n)至少為模p的一個(gè)非主特征，于是注意到(c1c2…ck,p)=1，由引理2有估計(jì)式

χ(rk,hk;ck-n)=χ(r1,h1;-1)…

注意到恒等式

其中ω(n)表示n的所有不同素因子的個(gè)數(shù)。

注意到μ(1)=φ(1)=1，應(yīng)用(1)，(2)及式(3)可得漸近公式

N(p)=

于是證明了定理1。

同理應(yīng)用估計(jì)式

以及

并注意定理1的證明方法，不難推出漸近公式

M(p)=

于是完成了定理2的證明。

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[5]WANGP,CAOX，F(xiàn)ENGR.Ontheexistenceofsomespecificelementsinfinitefieldsofcharacteristic2 [J].Finitefieldsandtheirapplications, 2012,18:800-813.

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[10] 張文鵬,李海龍.初等數(shù)論[M].西安:陜西師范大學(xué)出版社, 2012.

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(編 輯亢小玉)

On the generalization of Golomb′s conjecture

QI Lan1， ZHANG Wen-peng2

(1.College of Mathematics and Statistics, Yulin University, Yulin, 719000, China; 2.School of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127， China)

Letpbe an odd prime,cbe any integer with (p,c)=1. The Golomb′s conjecture can be simply described as there exist two primitive rootsαandβmodpsuch thatα+β≡cmodp. In this paper, we give a generalized result. That is, we will use the estimate for character sums modpand the discriminant method of primitive roots modpto prove the following general conclusion: Letpbe an odd prime large enough,kbe any fixed positive integer. Then for any integersc1,c2,…,ckwith (c1c2…ck,p)=1, there existk+1 primitive rootsβ1,β2,…,βkandαmodpso thatβi+α≡cimodp,i=1,2,…,k. It is clear that this result in fact is Golomb′s conjecture, ifk=1.So the result is a generalization of Golomb′s conjecture.

Golomb′s conjecture; generalization; the estimate for character sums; the discriminant method of primitive roots modp; asymptotic formula

2014-04-11

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11371291)；陜西省教育廳科研專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目(2013JK0889)

祁蘭，女，陜西榆林人，從事初等數(shù)論研究。

O156.7

：ADOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2015-02-005