張捍衛(wèi) 李明艷 雷偉偉

1 河南理工大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，焦作市世紀(jì)大道2001號(hào)，454003

勒讓德方程在物理和工程中具有廣泛應(yīng)用。Boyd［1］給出切比雪夫多項(xiàng)式、勒讓德多項(xiàng)式和雅可比多項(xiàng)式之間的理論關(guān)系，Parodi［2］利用勒讓德函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)式系數(shù)來(lái)模擬簽名特征，Morais［3］構(gòu)建了一個(gè)適用于長(zhǎng)橢球形狀的完備正交函數(shù)系，Yalcnbas［4］在近似求解第二類線性Fredholm 積分方程時(shí)引入勒讓德多項(xiàng)式，Liu［5］利用勒讓德多項(xiàng)式生成的正交小波基進(jìn)行偏微分方程的數(shù)值求解，Vladimir［6］也研究了勒讓德多項(xiàng)式和其他正交函數(shù)系之間的理論關(guān)系。在國(guó)內(nèi)，張傳定［7］利用球面上的正交函數(shù)系研究了物理大地測(cè)量中的一階、二階梯度邊值問(wèn)題，張玉靈［8］根據(jù)勒讓德函數(shù)的遞推公式和基本性質(zhì)推導(dǎo)了不同階次勒讓德函數(shù)的加權(quán)正交性，吳星［9］介紹了勒讓德函數(shù)的多種遞推計(jì)算方法，王建強(qiáng)［10］指出跨階次遞推法是計(jì)算超高階次勒讓德函數(shù)的較優(yōu)方法，劉纘武［11］提出一個(gè)修正的勒讓德函數(shù)遞推算法，黃國(guó)藍(lán)［12］利用理論計(jì)算和數(shù)值方法對(duì)勒讓德多項(xiàng)式進(jìn)行分析，區(qū)家明［13］利用勒讓德多項(xiàng)式建立小尺度地磁場(chǎng)模型。但是，到目前為止，還沒(méi)有一個(gè)適用于任意階次的勒讓德函數(shù)解析表達(dá)式。本文把任意階次的勒讓德函數(shù)表示為三角函數(shù)的倍角形式，不但方便勒讓德函數(shù)對(duì)角度求導(dǎo)數(shù)和積分，以研究其加權(quán)正交性，而且可以簡(jiǎn)化其應(yīng)用。

1 勒讓德函數(shù)的定義與其級(jí)數(shù)展開(kāi)式

1.1 勒讓德函數(shù)的定義

勒讓德函數(shù)的定義是［14］：式中，n稱為階，且n∈N，N 是自然數(shù)集合。締合勒讓德函數(shù)的定義是：

式中，m稱為次（級(jí)），m∈N，且m≤n。顯然，當(dāng)m＝0時(shí)，

式中，x是屬于區(qū)間［－1，1］的實(shí)數(shù)。

1.2 勒讓德函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)式

由于

式中，k∈N，！表示階乘。當(dāng)l≥n時(shí)，xl對(duì)x的n階導(dǎo)數(shù)是：

式中，l∈N。利用式（4）和式（5），可把式（1）寫(xiě)為：

式中，n2＝intn／［ ］2 ，以保證n－2k≥0。

把式（6）代入式（2），并考慮到式（5），則式（2）可寫(xiě)為：

2 勒讓德函數(shù)的三角函數(shù)形式

2.1 以三角函數(shù)冪次形式表示的締合勒讓德函數(shù)

假設(shè)x＝cosθ，θ∈［0，π］，則式（7）寫(xiě)為：

同樣，sinθ和cosθ的冪次必須大于等于0。

2.2 以三角函數(shù)倍角形式表示的勒讓德函數(shù)

勒讓德函數(shù)的生成函數(shù)是：

式中，w為復(fù)數(shù)變量，且其模數(shù)。如果令x＝cosθ，則式（9）等號(hào)右邊可寫(xiě)為：

式中，i2＝－1。因?yàn)?/p>

利用無(wú)窮級(jí)數(shù)的柯西法則：

有：

比較式（9）和式（10）可得：

當(dāng)上式的k代換為（n－k）時(shí)，求和號(hào)內(nèi)系數(shù)相等，只是ei（n－2k）θ變?yōu)閑－i（n－2k）θ，因此有：

此時(shí)約定：

式（11）就是以三角函數(shù)倍角形式表示的勒讓德函數(shù)。

3 勒讓德函數(shù)的遞推公式

勒讓德函數(shù)的遞推公式［14］為：

如果在式（13）中出現(xiàn)n－1＜m的情況，則設(shè)置為零。如果已知低階次的勒讓德函數(shù)的數(shù)值，原則上可利用式（13）和式（14）求得任意階次勒讓德函數(shù)的數(shù)值，但不能求得其解析表達(dá)式。如果能把也表示為式（11）的形式，則對(duì)于理論研究和實(shí)際應(yīng)用來(lái)說(shuō)將很有意義。另外，還有兩個(gè)常用的遞推公式［14］：

當(dāng)式（8）代入式（16），又變?yōu)樵瓉?lái)的式（8）。根據(jù)式（16），可得：

設(shè)式（11）求和號(hào)內(nèi)的系數(shù)是ak，則式（17）可表示為：

利用勒讓德微分方程：

可把式（18）表示為：

但不能推求m≥3情況下Pmn（cosθ）的解析表達(dá)式。

4 以三角函數(shù)倍角形式表示的締合勒讓德函數(shù)

4.1 整體代入法

因?yàn)?/p>

把以上兩式代入式（8），可得：

式中，Lk2＝int（L2－k）。3個(gè)求和號(hào)相乘有［1＋2（m＋1）個(gè)組合，且（k＋l）的最大值是L2。故有：

這樣，在式（24）中，就有（L2＋m＋1）個(gè)倍角出現(xiàn)。但是，這些倍角中可能出現(xiàn)正負(fù)反對(duì)稱情況，需根據(jù)m進(jìn)行合并。最后，式（24）可化為：

4.2 逐步代入法

在n和m已知的情況下，定義2個(gè)數(shù)組：

把式（22）代入式（8），則有：

根據(jù)兩個(gè)求和號(hào)結(jié)構(gòu)，可把上式寫(xiě)為：

其中，

再把式（23）代入式（27），可得：

其中數(shù)組D（j）的定義是：

式（29）中，求和號(hào)相乘共有（L2＋1）（m＋1）個(gè)組合，這些組合中倍角的最大值和最小值分別是：

因此，式（29）可化為：

其中，當(dāng)k≤L2且j≤m時(shí)，有：

當(dāng)L2＋1≤k≤L2＋m且m≥1時(shí)，有：

式中，L3＝min（L2，L2＋m－k）。可見(jiàn)，如果采用逐步代入法，可得的具體解析表達(dá)式。在式（30）中，也有（L2＋m＋1）個(gè)倍角出現(xiàn)，但這些倍角中也可能出現(xiàn)正負(fù)反對(duì)稱情況，此時(shí)需根據(jù)m數(shù)值進(jìn)行合并，最后改化為式（25）的形式。

5 實(shí)際計(jì)算

在n和m確定的情況下，計(jì)算數(shù)組A（k）、B（k，l）和D（j），其中數(shù)組下標(biāo)的取值范圍分別是：

利用式（28）計(jì)算數(shù)組C（k），此時(shí)k取值范圍同上。利用式（31）和式（32）計(jì)算數(shù)組，此時(shí)k的取值范圍則是k∈［0，L2＋m］。

以式（25）為標(biāo)準(zhǔn)，表1 給出0～5 階勒讓德函數(shù)展開(kāi)式，與有關(guān)文獻(xiàn)完全一致，表明本文公式正確。

表1 0～5階的勒讓德函數(shù)的系數(shù)Tab.1 The coefficient of Legendre function until order 5

［1］Boyd J P，Petschek R.The Relationships between Chebyshev，Legendre and Jacobi Polynomials：The Generic Superiority of Chebyshev Polynomials and Three Important Exceptions［J］.Journal of Scientific Computing，2014，59（1）：1－27

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［7］張傳定，陸仲連.廣義球諧函數(shù)及其在梯度邊值問(wèn)題的應(yīng)用［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，1998，27（3）：252－258（Zhang Chuanding，Lu Zhonglian.General Spherical Harmonics and Its Application［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，1998，27（3）：252－258）

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