任 超 梁月吉 龐光鋒 藍(lán) 嵐

1 桂林理工大學(xué)測繪地理信息學(xué)院，桂林市建干路12號，541004 2 廣西空間信息與測繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，桂林市建干路12號，541004

大壩在施工或運(yùn)行過程中會由于各種原因發(fā)生不同程度的形變，及時掌握大壩變形的演變規(guī)律并作出準(zhǔn)確預(yù)報(bào)，對大壩安全具有重大意義。大壩變形與水壓、溫度、時效因素之間具有復(fù)雜密切的關(guān)系，而這些因素往往具有較強(qiáng)的隨機(jī)性和難以解析的非線性，導(dǎo)致大壩變形較為復(fù)雜，難以直接建立較為準(zhǔn)確的變形量與影響因素之間的非線性關(guān)系模型。針對這一問題，國內(nèi)外學(xué)者已研究出多種模型，如時間序列模型、回歸分析模型、灰色模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機(jī)等［1］。但每一種模型都存在自身的局限性，難以全面考慮負(fù)荷的變化趨勢和影響因素，直接通過建立單一模型進(jìn)行變形預(yù)測不易得到令人滿意的結(jié)果?；疑Ｐ吞峁┝嗽谪毿畔⑶闆r下解決系統(tǒng)問題的新途徑，通過自身“累加生成”的特點(diǎn)，能夠?qū)?fù)雜的原始數(shù)據(jù)化為較符合客觀規(guī)律的時間序列數(shù)據(jù)，但不足之處是僅適合解決呈指數(shù)增長趨勢的實(shí)際問題。而實(shí)際的大壩變形規(guī)律往往與指數(shù)規(guī)律差別較大，不利于灰色模型的建立和預(yù)測，且模型參數(shù)的求解也存在一定的理論缺陷［2］。支持向量機(jī)（support vector machine，SVM）是Cortes等［3］提出的一種機(jī)器學(xué)習(xí)算法，能較好地解決小樣本、非線性和高維模式識別等實(shí)際問題，已在變形預(yù)測中得到廣泛應(yīng)用。Suykens等［4］在Vapnik 統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的基礎(chǔ)上提出最小二乘支持向量機(jī)（least square support vector machines，LS－SVM），將SVM 的二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為求解線性方程組的問題，降低了計(jì)算的復(fù)雜性，提高了求解速度。

基于上述研究，本文提出基于灰色最小二乘支持向量機(jī)的大壩變形預(yù)測新算法，通過利用灰色預(yù)測方法中的“累加生成”原理對原始序列進(jìn)行預(yù)處理，以削弱序列中隨機(jī)擾動因素的影響，得到規(guī)律性較強(qiáng)的新序列，進(jìn)而建立LS－SVM 預(yù)測模型。同時，考慮到LS－SVM 的參數(shù)優(yōu)化問題，采用網(wǎng)格搜索法［5］（grid search）進(jìn)行尋優(yōu)，該方法用于小樣本數(shù)據(jù)預(yù)測時比遺傳算法、混沌優(yōu)化算法較有優(yōu)勢。通過兩個算例，并與灰色GM（1，1）和單一最小二乘支持向量機(jī)對比分析，驗(yàn)證該算法的可行性和有效性。

1 灰色最小二乘支持向量機(jī)預(yù)測模型

1.1 灰色最小二乘支持向量機(jī)原理

設(shè)大壩原始位移時間序列為：

式中，n為大壩位移的監(jiān)測期數(shù)。首先對原始位移序列進(jìn)行一次累加：

得到規(guī)律性更強(qiáng)的新序列：

然后，以新序列的前m期為訓(xùn)練集，后（n－m）期為測試集，利用擬合能力更好的LS－SVM 建立預(yù)測模型。設(shè)樣本訓(xùn)練集為｛（xi，yi）｜i＝1，2，…，m｝，其中，xi∈Rn為輸入向量，yi∈R為輸出向量，用非線性映射φ（·）將樣本輸入從原空間映射到高維特征空間，構(gòu)造出LS－SVM 的回歸函數(shù)為［4，6］：

式中，φ（x）為滿足Mercer條件的核函數(shù)，w為超平面的權(quán)值向量，b為偏置項(xiàng)。

在LS－SVM 估計(jì)中，回歸問題可以等價為最小化下面泛函：

式中，γ為正則化參數(shù)，ei為誤差項(xiàng)。構(gòu)造式（5）的Lagrange函數(shù)為：

式（7）消去w和ei得到線性方程組：

由于B＝K（xi，yi）＋γ－1I為對稱的正定矩陣，利用最小二乘運(yùn)算求解式（8）可得：

求解式（6）得到LS－SVM 的估計(jì)函數(shù)為：

最后，計(jì)算累加序列的預(yù)測值ym＋j，j＝1，2，…，n－m，并對其進(jìn)行累減還原，得到原始序列的預(yù)測模型：

1.2 LS－SVM 參數(shù)的優(yōu)化

最小二乘支持向量機(jī)的性能很大程度上取決于核函數(shù)K（x，y）、核參數(shù)σ和正則化參數(shù)γ的最優(yōu)選擇。目前，核函數(shù)主要有3 類：多項(xiàng)式核函數(shù)、徑向基核函數(shù)和線性核函數(shù)，其中徑向基核函數(shù)能較好地反映模型的復(fù)雜程度，預(yù)測效果比較好。因此，選定其為LS－SVM 的核函數(shù)?？紤]到參數(shù)選取問題，采用網(wǎng)格搜索法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)選。其基本原理是將σ和γ在一定的范圍劃分網(wǎng)格并遍歷網(wǎng)格內(nèi)所有點(diǎn)進(jìn)行取值，對取定的σ和γ采用交叉驗(yàn)證方法［7］獲取訓(xùn)練均方誤差作為網(wǎng)格點(diǎn)計(jì)算的目標(biāo)函數(shù)，最終取訓(xùn)練集驗(yàn)證均方誤差最低的那組σ和γ作為最佳參數(shù)。該方法尋優(yōu)過程中各組參數(shù)相互解耦，較好地避免了由于參數(shù)多或參數(shù)之間可能出現(xiàn)耦合而引起的多解性問題，便于并行計(jì)算，且運(yùn)行效率較高。具體步驟如下［5］：

1）設(shè)定參數(shù)σ和γ的選擇范圍和參數(shù)步長。本文尋優(yōu)過程分為粗選和精選兩步，設(shè)定σ的尋優(yōu)區(qū)間為［0 ，1010］，γ的尋優(yōu)區(qū)間為［0 ，1010］；粗選格點(diǎn)數(shù)為1010×1010，步長為1；精選格點(diǎn)數(shù)為1010×1010，步長為0.1。

2）由于尋優(yōu)過程是一個遍歷過程，因此，參數(shù)初始值的選取對結(jié)果沒有影響。此搜索過程選取的初始值為σ＝0，γ＝1，選擇第一個交叉驗(yàn)證網(wǎng)點(diǎn)位置，通過交叉驗(yàn)證方法獲取訓(xùn)練均方誤差（MES）作為網(wǎng)格點(diǎn)計(jì)算的目標(biāo)函數(shù)，并計(jì)算所有的網(wǎng)格點(diǎn)。

3）選取均方誤差最低的一組（σ，γ）為最優(yōu)參數(shù)。若選取的參數(shù)達(dá)不到精度要求，則以選擇的參數(shù)為中心網(wǎng)格點(diǎn)，在較小的范圍內(nèi)構(gòu)建新的二維網(wǎng)格平面重新計(jì)算目標(biāo)函數(shù)，再次選取均方誤差最低的參數(shù)。如果滿足精度要求，則停止，否則繼續(xù)重復(fù)以上步驟，最終獲取精確的參數(shù)σ和γ作為最優(yōu)值。

2 模型預(yù)測流程

圖1 模型預(yù)測流程圖Fig.1 Flow chart of model prediction

3 算例分析

3.1 算例一

以文獻(xiàn)［7］中某大壩徑向變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。該大壩共布設(shè)C06和C11兩個監(jiān)測基準(zhǔn)點(diǎn)，在大壩中部及其兩側(cè)分別布設(shè)3 個監(jiān)測變形點(diǎn)OP03、OP04與OP05。各監(jiān)測點(diǎn)的切向與徑向定義為切向（t）和徑向（r）坐標(biāo)系。為充分反映大壩變形特征，本文采用位于拱壩圓弧頂部監(jiān)測點(diǎn)OP03徑向的變化數(shù)據(jù)（2001－12－31～2002－01－20），徑向正軸方向指向雅礱江上游方向，如圖2所示。

圖2 大壩變形徑向位移序列Fig.2 Deformation of the dam radial displacement sequence

由圖2可看出，該大壩位移序列總體呈增長趨勢，只有第6期、第9期和第20期有所下降，波動性較弱，大壩最大變形值為18 mm，最小為10 mm，差值為8 mm。采用灰色預(yù)測方法中的“累加生成”原理對序列進(jìn)行一次累加得到如圖3所示的結(jié)果。由圖3可見，經(jīng)一次累加生成的新序列曲線較為光滑，變化規(guī)律更為明顯，有利于模型的建立和分析。

為驗(yàn)證本文提出的基于灰色最小二乘支持向量機(jī)在大壩變形預(yù)測中的可行性，建立3種方案進(jìn)行算例分析比較：方案1——灰色GM（1，1）；方案2——單一LS－SVM 預(yù)測模型；方案3——灰色最小二乘支持向量機(jī)預(yù)測模型。各方案采用前12期監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行建模訓(xùn)練，后8期作為測試樣本。經(jīng)網(wǎng)格搜索法得到，方案2 的最優(yōu)參數(shù)σ為45.265，γ為425 316.516；方案3的最優(yōu)核參數(shù)為10 648.167，正則化參數(shù)為6 540 666.247。3種方案的預(yù)測結(jié)果見表1。

由表1可知，方案1預(yù)測不穩(wěn)定，預(yù)測值和實(shí)際值偏差比較大，最大殘差達(dá)到－1.85mm。方案2和方案3優(yōu)于方案1，而方案3的預(yù)測結(jié)果最好，殘差最小值為0.02mm，最大值僅為0.39mm。

圖3 一次疊加結(jié)果Fig.3 The results of a superposition

3.2 算例二

以文獻(xiàn)［8］中某大壩水平位移變形監(jiān)測數(shù)據(jù)為例（2003－01－06～2003－01－26）。該大壩共布設(shè)7個水平位移監(jiān)測點(diǎn)，由于各點(diǎn)變化規(guī)律大致相同，本文僅選擇D4點(diǎn)進(jìn)行分析，如圖4所示。

圖4 大壩變形水平位移序列Fig.4 Deformation of the dam horizontal displacement sequence

從圖4可看出，該大壩水平位移序列的第1～5期和第8～14 期變化都比較平緩，而第6、7期和第15～21期波動大。顯然，如果用傳統(tǒng)的預(yù)測模型，難以真實(shí)反映大壩變形的規(guī)律。對大壩原始位移序列進(jìn)行一次累加得到如圖5所示的結(jié)果。由圖5可知，對于波動性較強(qiáng)、不穩(wěn)定的大壩位移序列，經(jīng)一次累加后變得較為光滑，有效減弱了原始序列的隨機(jī)性，使離亂的原始數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵的規(guī)律能夠充分顯露出來，突出了大壩變形規(guī)律。

表1 各模型計(jì)算結(jié)果對比／mmTab.1 The contrast of each model calculation results／mm

圖5 一次疊加結(jié)果Fig.5 The results of a superposition

同算例一，建立3種方案進(jìn)行比較。采用前12期監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行建模訓(xùn)練，后9期作為測試樣本。3種方案的預(yù)測結(jié)果見表2。同理得到，方案2的最優(yōu)參數(shù)σ為108.526，γ為25 412.613；方案3的最優(yōu)核參數(shù)為7 256.758，正則化參數(shù)為5 625 282.435。預(yù)測結(jié)果見表2。

從表2可看出，方案1和方案2預(yù)測不穩(wěn)定，部分預(yù)測值和實(shí)際值偏差比較大，方案1最大殘差達(dá)到－2.11 mm，方案2 殘差最大為－1.43 mm。方案3殘差最小值為0.01 mm，最大值僅為0.53mm?？梢?，對于波動較大和不穩(wěn)定的大壩變形序列，灰色GM（1，1）的預(yù)測結(jié)果已遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離監(jiān)測值，單一最小二乘支持向量機(jī)的部分預(yù)測結(jié)果也不夠穩(wěn)定，而灰色最小二乘支持向量機(jī)模型的預(yù)測效果較好，能夠保證較優(yōu)的局部預(yù)測值。

為進(jìn)一步綜合評定本文算法的性能，采用均方根誤差和平均絕對誤差兩項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行評定（表3）。

表3 各模型精度對比／mmTab.3 The contrast of each model precision／mm

由表3 可知，灰色GM（1，1）的預(yù)測精度較低，兩個算例的均方根誤差分別為1.01 mm 和1.27mm，單一最小二乘支持向量機(jī)表現(xiàn)出較好的預(yù)測精度，優(yōu)于灰色GM（1，1）。而本文算法的預(yù)測精度明顯較高，均方根誤差分別為0.20mm和0.18mm，平均絕對誤差分別僅為0.16mm 和0.13mm?？梢?，灰色最小二乘支持向量機(jī)預(yù)測模型在一定程度上保證了較好的全局預(yù)測精度。綜上，新算法通過采用灰色原理對原始序列進(jìn)行預(yù)處理，能有效削弱原始序列的隨機(jī)性并增加規(guī)律性，利用最小二乘支持向量機(jī)優(yōu)良的學(xué)習(xí)性能，能緊跟數(shù)據(jù)的變化規(guī)律。同時，對于不同尺度變化的大壩變形預(yù)測，效果都比較好。新算法無論是預(yù)測結(jié)果還是預(yù)測精度，都優(yōu)于灰色GM（1，1）和單一最小二乘支持向量機(jī)，能在一定程度上有效解決復(fù)雜的大壩變形問題，當(dāng)直接建立LSSVM 預(yù)測模型無法滿足精度要求時，可以采用此算法。

4 結(jié) 語

針對大壩變形具有隨機(jī)性和非線性等特點(diǎn)，本文將灰色理論和最小二乘支持向量機(jī)相結(jié)合引入到大壩變形短期預(yù)測。經(jīng)理論和算例分析，并與灰色GM（1，1）和單一最小二乘支持向量機(jī)對比表明，傳統(tǒng)的灰色GM（1，1）預(yù)測模型由于自身存在的理論缺陷，預(yù)測效果和實(shí)際偏差較大，難以解決復(fù)雜的變形問題；單一最小二乘支持向量機(jī)的預(yù)測效果和實(shí)際值較為接近，體現(xiàn)出LS－SVM在解決小樣本、貧信息和多維數(shù)的復(fù)雜非線性問題中的優(yōu)勢；而本文新算法不僅引入灰色預(yù)測方法獨(dú)特的數(shù)據(jù)生成方式，增加原始數(shù)據(jù)的規(guī)律性，減少數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，且充分發(fā)揮了LS－SVM 強(qiáng)大的非線性映射能力，預(yù)測精度優(yōu)于灰色GM（1，1）和單一最小二乘支持向量機(jī)。同時，采用網(wǎng)格搜索方法可快速地選取LS－SVM 的最佳參數(shù)。

［1］馬文濤.基于小波變換和GALSSVM 的邊坡位移預(yù)測［J］.巖土力學(xué)，2009，30（2）：394－398（Ma Wentao.The Slope Displacement Prediction Based on Wavelet Transform and GALSSVM［J］.Rock and Soil Mechanics，2009，30（2）：394－398）

［2］張大海，江世芳，史開泉.灰色預(yù)測公式的理論缺陷及改進(jìn)［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2002，22（8）：1－3（Zhang Dahai，Jiang Shifang，Shi Kaiquan.Theoretical Defect of Grey Prediction Formula and Its Improvement［J］.System Engineering Theory and Pratice，2002，22（8）：1－3）

［3］Cortes C，Vapnik V.Support Vector Networks［J］.Machine Learning，1995，20（3）：273－297

［4］Suykens J A K，Vandewalle J.Least Squaresupport Vector Machine Classifiers［J］.Neural Processing Letters，1999，9（3）：293－300

［5］Liu X L，Jia D X，Li H.Research on Kernel Parameter Optimization of Support Vector Machine in Speaker Recognition［J］.Science Technology and Engineering，2010，10（7）：1 669－1 673

［6］Brabanter K，Brabanter J，Suykens J A K，et al.Approximate Confidence and Prediction Intervals for Least Squares Support Vector Regression［J］.IEEE Transactions on Neural Networks，2010，22（1）：110－120

［7］Ito K，Nakamo R.Optimiznig Support Vector Regression Hyperparameters Based on Crossvalidation［C］.International Jonit Conference on Neural Networks，2003

［8］蔣廷臣，張勤，周立，等.基于小波方法的非線性回歸模型研究［J］.測繪學(xué)報(bào)，2006，35（4）：337－341（Jiang Tingchen，Zhang Qin，Zhou Li，et al.The Nonlinear Regression Model Based on Wavelet Method Research［J］.Acta Geodactica et Cartographica Sinica，2006，35（4）：337－341）

［9］焦明連，蔣廷臣.基于小波分析的灰色預(yù)測模型在大壩安全監(jiān)測中的應(yīng)用［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2009，29（2）：115－117（Jiao Minglian，Jiang Tingchen.The Grey Prediction Model Based on Wavelet Analysis in the Application of Dam Safety Monitoring［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2009，29（2）：115－117）