張 俊 獨知行 杜 寧 張顯云

1 山東科技大學測繪科學與工程學院，青島市經濟技術開發(fā)區(qū)前灣港路579號，266590

2 貴州大學礦業(yè)學院，貴陽市吉林新村，550025

目前，約束反演和聯(lián)合反演是地球物理和大地測量反演研究的熱點［1－6］。由于反演分析方法本質上是由“現(xiàn)象”推求“原因”，其推求“原因”的能力取決于所建立的模型能多大程度上反映二者之間的真實聯(lián)系，因此，解的不適定性即成為反演分析方法的固有特性［7－8］。目前，解決不適定問題的主要手段是建立多種數(shù)據(jù)的聯(lián)合反演模型［1－12］，并利用模型參數(shù)的某些先驗信息對參數(shù)可能的數(shù)值區(qū)間予以限制來實現(xiàn)的［1－2］。在這一過程中，由于對模型參數(shù)進行了一定的約束，從而使反演搜索區(qū)間大大縮小，在提高解算效率的同時，也改善了模型參數(shù)解的不適定問題。在模型具體解算時，不同數(shù)據(jù)對問題分析的貢獻是由各類數(shù)據(jù)在目標函數(shù)中的相對權比來決定的。文獻［1］指出，相對權比通過影響模型空間交集的大小，從而影響聯(lián)合反演模型空間的大小。相對權比最初基本上采用觀測值初始方差或簡單的試錯法確定，具有一定的主觀性［11－12］。文獻［13］提出將相對權比與模型參數(shù)一同作為待反演參數(shù)參與聯(lián)合反演模型函數(shù)極小化求解過程，從而避免主觀性；許才軍等［14－16］討論了聯(lián)合反演中各類觀測值相對權比的幾種確定方法，認為赫爾默特方差分量估計是最優(yōu)方法。以上方法可歸納為4種：第一種，根據(jù)數(shù)據(jù)種類數(shù)的簡單平均分配；第二種，相對權比與模型參數(shù)一同反演；第三種，利用赫爾默特方差分量估計法原理，對不同數(shù)據(jù)的先驗精度進行調整，然后依據(jù)調整后的精度確定相對權比；第四種，根據(jù)先驗信息，基于某些經驗直接給出相對權比值。本文借鑒第二和第四種方法的思想，即采取相對權比與模型參數(shù)一起參與模型全局極小化反演過程來確定相對權比，但必須根據(jù)數(shù)據(jù)先驗信息，事先對相對權比給予一定約束，從而得到較為合理的反演分析結果。

1 聯(lián)合反演模型的目標函數(shù)

大地測量聯(lián)合反演是指利用包括大地測量數(shù)據(jù)在內的兩種或兩種以上的觀測量（如測點位移和主應力資料等）求解未知參數(shù)的反演方法［1，6］。為正確反映不同觀測量對模型參數(shù)求解的貢獻度，在構造模型時，需要對各類數(shù)據(jù)賦予一定的權比，恰當?shù)南鄬啾瓤墒狗囱萁Y果更合理、更真實。相對權比的數(shù)值大小反映了模型對不同觀測量的擬合程度。設有模型：

式中，假定有n類觀測數(shù)據(jù)，則有λ1＋λ2＋…＋λn＝1，且0≤λi≤1，其中λi為第i類觀測數(shù)據(jù)的相對權比值。m為參數(shù)空間，φi（m）為聯(lián)合反演模型中第i類目標的子函數(shù)，一般取φi（m）＝（fi（m）－di）2，其中fi（m）為第i類數(shù)據(jù)與反演參數(shù)之間的正演函數(shù)，di為第i類觀測數(shù)據(jù)。當有可靠精度信息時，φi（m）可取加權形式，即取φi（m）＝Pi（fi（m）－di）2。

假定各類數(shù)據(jù)已經過歸一化等數(shù)據(jù)預處理，從而建立模型（1），則根據(jù)多種數(shù)據(jù)進行聯(lián)合反演的問題，可歸結為求能使模型（1）的目標函數(shù)取得極小值的參數(shù)m的最優(yōu)化問題。

2 聯(lián)合反演模型相對權比的約束反演

建立模型（1）后，大地測量聯(lián)合各類數(shù)據(jù)（如地質、地震、地球物理數(shù)據(jù)）進行反演分析時，其任務即為選擇、利用某種全局最優(yōu)化方法，來固定模型（1）的參數(shù)空間，并進行相關評價和解釋。本文僅通過數(shù)值實驗討論模型參數(shù)的獲取問題。后續(xù)評價與解釋一般需要結合具體實際才能進行，因此不作深入討論。

模型（1）中目標函數(shù)極小值的取得，明顯受相對權比值λ的影響。只有合理地確定各類數(shù)據(jù)的相對權比關系，才能獲得合理的參數(shù)反演解。文獻［13］提出，將模型（1）中的相對權比作為未知參數(shù)，與其他模型參數(shù)一同參與反演，取得了較好的應用效果。這種方法的優(yōu)勢在于可避免人為確定相對權比的主觀性，但是，卻忽略了反演的本質是一種純粹的數(shù)學方法，有時得不到切合實際的反演結果。如果能夠根據(jù)數(shù)據(jù)本身的某些先驗信息，對相對權比值上下界附加某種約束，既可避免人為選擇的主觀性，又顧及了數(shù)據(jù)的原本特質。若對參數(shù)也有一定的了解，則對參數(shù)也附加一定的約束，可望得到較好的反演結果。為此，可在模型（1）的基礎上，對參數(shù)和相對權比都施加一定的約束，則整個反演模型即為模型（1）與如下約束模型的復合模型：

式（2a）中，hj（m）表達了對參數(shù)的某種約束。h（m）可以是線性也可以是非線性的，當有多個約束時，hj（m）中下標j表達了對參數(shù)的多種約束。式（2b）是對相對權比的約束，ci表示第i類數(shù)據(jù)與模型參數(shù)一起作為待反演參數(shù)時的下界值。

聯(lián)合反演模型相對權比的約束反演值就是在同時滿足模型（1）和模型（2）的條件下所得到的相對權比的反演值，而最終聯(lián)合反演模型參數(shù)m值就是在相應的相對權比值下的反演值。具體實施過程如下。

第一步，建立模型（1）。模型（1）的建立，關鍵在于能否正確建立各類數(shù)據(jù)與待反演參數(shù)的數(shù)學物理描述。一般來講，可直接利用現(xiàn)有的大地測量、地質、地球物理中已建立的成熟模型，如利用基于力學模式的彈性力學模型，附加一定邊值條件，結合有限元方法，來反演物質彈性模量、泊松比、邊界力等。

第二步，對原始數(shù)據(jù)進行分析，獲取數(shù)據(jù)和待反演參數(shù)的先驗信息。如針對觀測數(shù)據(jù)，可考慮從數(shù)據(jù)內外符合精度、是否包含系統(tǒng)誤差等數(shù)據(jù)質量信息著手，分析數(shù)據(jù)相對質量好壞，從而為第三步確定相對權比約束提供依據(jù)；針對模型參數(shù)，可根據(jù)已有實驗值或經驗，確定模型（2）中參數(shù)或參數(shù)函數(shù)的約束端點值a、b，如地殼彈性模量或密度等數(shù)值一般都有相對可靠的范圍，利用這些信息很容易建立約束模型（式（2a））。

第三步，根據(jù)第二步分析結果或已有經驗，對相對權比附加適當約束，即確定模型（2b）中的c值以建立模型（2b），從而對相對權比進行有效的下界約束。

第四步，利用某種全局最優(yōu)化方法，如模擬退火或改進的模擬退火法、遺傳算法和區(qū)間算法等作為反演分析的數(shù)學方法，確定模型參數(shù)初始值X（0），并設定解的搜索方式，在模型（2）的約束下更新模型參數(shù)X（0）和相對權比值λ0，得到相對權比和參數(shù)更新值λ（k）和X（k）。

第五步，比較第四步中X（k）與X（0）作用于模型（1）的目標函數(shù)值Φ（λ，X），當相鄰兩次目標函數(shù)值差值的范數(shù)小于事先設定的閾值ε時，停止迭代過程；否則，重復第四、五步，不斷更新X（0）和λ0并得到更新值X（k）和λ（k），直到滿足｜Φ（λ（k），X（k））－Φ（λ（0），X（0））｜≤ε時為止。迭代終止后，取Xk作為最終反演模型參數(shù)解，λ（k）為對應最終相對權比的反演值。

3 算例及分析

本文算例源于文獻［1］。設某一大地測量反演問題建立的線性反演模型為V＝Bx－l，在該模型中，x為待反演的模型參數(shù)（某滑坡的幾何變化信息），包括4個分量：x1（長度）、x2（寬度）、x3（深度）和x4（傾斜）。所附加的線性不等式約束為Gx≤W。同時，由監(jiān)測得到的參數(shù)變化范圍是－0.2≤xi≤2（i＝1，2，3，4），反演參數(shù)的真值為＝［－0.07－0.2 0.20 0.37］T，具體參見文獻［1］。這里對原算例進行如下改化：令T＝，并將L分為3組，即令L，相應地T＝［BTGT］，則原問題可簡單地看作由3類數(shù)據(jù)建立的不同線性反演模型構成的聯(lián)合反演問題。鑒于實際中模型和觀測數(shù)據(jù)都不可避免地含有誤差，因此在3組觀測數(shù)據(jù)及相應系數(shù)矩陣中分別模擬了大小不同的正態(tài)隨機誤差（表1）。

表1 分組后的原始數(shù)據(jù)及模擬誤差Tab.1 Grouped original data and simulation error

考慮到參數(shù)滿足約束條件－0.2≤xi≤2（i＝1，2，3，4）（相當于模型（2a）中，h（x）＝x，a＝－0.2，b＝2.0情形），采用下列方案進行反演計算，各方案反演結果列于表2（其中為參數(shù)反演值，‖Δx‖ ＝‖x－‖ 為參數(shù)反演值與真值之差的范數(shù)）。

方案1 3類數(shù)據(jù)按各自模擬方差定權，相對權比均取為1／3進行聯(lián)合反演；

方案2 3 類數(shù)據(jù)按各自模擬方差定權，式（2）中相對權比下界約束值分別取c1＝0.1，c2＝1／3，c3＝0.1，將相對權比與模型參數(shù)一并進行聯(lián)合反演；

方案3 3類數(shù)據(jù)按各自模擬方差定權，式（2）中相對權比下界值分別取c1＝0.1，c2＝1／3，c3＝0.2，將相對權比與模型參數(shù)一并進行聯(lián)合反演；

方案4 3類數(shù)據(jù)按各自模擬方差定權，式（2）中相對權比下界值分別取c1＝0.2，c2＝1／3，c3＝0.1，將相對權比與模型參數(shù)一并進行聯(lián)合反演；

方案5 3類數(shù)據(jù)按各自模擬方差定權，相對權比與模型參數(shù)一并進行聯(lián)合反演，但不對相對權比作任何約束，即式（2）中相對權比下界值分別取c1＝c2＝c3＝0。

對表2各方案反演結果進行對比可以看出，根據(jù)模擬誤差精度對相對權比進行不同約束反演，得到不同的反演結果。在對相對權比進行約束時，考慮到第二組數(shù)據(jù)模擬精度最高、第三組次之、第一組最差，在3類數(shù)據(jù)聯(lián)合反演時，充分利用先驗精度信息，考慮3組數(shù)據(jù)的貢獻度。比如對于第二組數(shù)據(jù)，由于其精度最高，可考慮使其相對權比具有不小于1／3的貢獻度，而對其余兩組數(shù)據(jù)進行不同下界閾值的約束實驗。結果顯示，當對相對權比按精度進行符合實際的約束反演時，反演結果有顯著改善（方案3），這是因為方案3對相對權比約束的下界值很好地顧及了3組數(shù)據(jù)的精度情況，正確反映了各類數(shù)據(jù)在聯(lián)合反演中應有的貢獻度。當相對權比約束不符合實際時，反演結果反而不及將相對權比簡單平均分配的反演結果好。如方案2認為第一組數(shù)據(jù)和第三組數(shù)據(jù)至少應該有相同的貢獻，而方案4認為第一組數(shù)據(jù)應有高于第三組數(shù)據(jù)的貢獻。顯然，根據(jù)模擬誤差先驗信息，這兩種約束都不合理。當對相對權比不作任何約束并將相對權比與待反演參數(shù)一起反演時，結果最差（方案5）。并且從結果看，幾乎完全擬合了第一組數(shù)據(jù)，而第一組數(shù)據(jù)恰恰是精度最差的。這說明，僅將相對權比簡單地與其他參數(shù)一起作為反演參數(shù)參與反演計算是一種純粹的數(shù)學方法，沒有顧及數(shù)據(jù)本身的實際情況。

表2 各方案的反演結果Tab.2 The inversion results of each scheme

4 結 語

實驗表明，將相對權比與待反演參數(shù)一起作為未知參數(shù)參與反演的方法是可行的，但必須根據(jù)數(shù)據(jù)質量情況或地球物理的某些先驗信息，對相對權比進行適當?shù)募s束?？紤]到通常事先難以對各類數(shù)據(jù)有精確的了解，這種約束一般也不宜太強。如針對第二組數(shù)據(jù)，因其精度最高，僅根據(jù)模擬誤差精度情況對其相對權比下限進行不低于平均貢獻度的約束，而并未對其上限作進一步約束。事實上，當對數(shù)據(jù)缺乏足夠了解時，不適當?shù)募s束反而會導致結果扭曲。因此，當缺乏數(shù)據(jù)先驗信息時，聯(lián)合反演分析中相對權比如何確定仍然是值得進一步研究的問題。

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