周冠方

（鄖陽(yáng)師范高等專(zhuān)科學(xué)校組織人事部，湖北十堰420000）

C語(yǔ)言中浮點(diǎn)數(shù)精度問(wèn)題分析

周冠方

（鄖陽(yáng)師范高等專(zhuān)科學(xué)校組織人事部，湖北十堰420000）

通過(guò)實(shí)例直觀地描述了C語(yǔ)言中由于計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)數(shù)據(jù)方式的不同而造成的數(shù)據(jù)誤差，并對(duì)誤差產(chǎn)生的原因進(jìn)行了分析，解讀出C語(yǔ)言中浮點(diǎn)型數(shù)據(jù)的不同存儲(chǔ)方式，最后給出幾點(diǎn)建議。

C語(yǔ)言；數(shù)據(jù)精度；浮點(diǎn)型數(shù)據(jù)；相對(duì)誤差

1 引言

C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)的基本數(shù)據(jù)類(lèi)型包含整型和浮點(diǎn)型兩類(lèi)。在計(jì)算機(jī)中，實(shí)數(shù)特別是小數(shù)形式表示的數(shù)都是以浮點(diǎn)型數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行存儲(chǔ)的。但是對(duì)于浮點(diǎn)型的數(shù)據(jù)，在進(jìn)行各種運(yùn)算時(shí)，因?yàn)橛?jì)算機(jī)的二進(jìn)制存儲(chǔ)特性，會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)精度丟失的現(xiàn)象。這種現(xiàn)象直接影響到程序結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。

2 C語(yǔ)言中數(shù)據(jù)類(lèi)型轉(zhuǎn)換帶來(lái)的影響

先來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：需要求解A＝4/5的值，這個(gè)結(jié)果很簡(jiǎn)單，A＝0.8。而在C語(yǔ)言中，我們寫(xiě)出它的計(jì)算程序：

Main（）

｛

Float A；

A＝4/5；

Printf（“A＝%f＼n”，A）；

Return 0；

｝

結(jié)果：A＝0.000000

從算法的角度來(lái)看這個(gè)程序沒(méi)有問(wèn)題，但是最終運(yùn)行的結(jié)果卻和我們的理論值完全不相符。這是為什么呢？

分析：在此程序中兩操作數(shù)4和5均為整型，運(yùn)算結(jié)果應(yīng)該為0.8，但是在C語(yǔ)言程序編寫(xiě)中有這樣一個(gè)規(guī)則，C語(yǔ)言中計(jì)算的源數(shù)據(jù)為整形數(shù)據(jù)，最終輸出結(jié)果也應(yīng)該為整形數(shù)據(jù)?！?/5”的結(jié)果0.8在C語(yǔ)言中會(huì)被轉(zhuǎn)換后得到一個(gè)int型的中間變量，它的值等于“4/5”的整數(shù)部分，其小數(shù)部分則被進(jìn)行截尾操作，即舍棄整個(gè)小數(shù)部分，最終存儲(chǔ)值為0。程序?qū)⑦@個(gè)整型的運(yùn)算結(jié)果賦給A這個(gè)float型變量，將其強(qiáng)制轉(zhuǎn)換為float型輸出，所以最終運(yùn)算結(jié)果成了A＝0.000000。

如果我們需要去確保最終輸出結(jié)果的正確性，我們就必須在計(jì)算的過(guò)程中就將中間的操作數(shù)據(jù)更改為浮點(diǎn)型數(shù)據(jù)，來(lái)確保最終結(jié)果數(shù)據(jù)和中間操作數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)類(lèi)型的同質(zhì)性。

此例有兩種簡(jiǎn)單的解決辦法：

1）將“A＝4/5”改成“A＝4.0/5.0”；

2）將“A＝4/5”改成“A＝（float）4/5”。

即可得出最終正確的值A(chǔ)＝0.800000。因此，如果我們遇到因?yàn)镃語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)中，不同數(shù)據(jù)類(lèi)型之間的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，我們必須規(guī)定明確的數(shù)據(jù)類(lèi)型，并且在算法編寫(xiě)的過(guò)程中，通過(guò)人為的數(shù)據(jù)類(lèi)型變更的方法，確保程序計(jì)算中過(guò)程值和結(jié)果值的數(shù)據(jù)類(lèi)型的同質(zhì)性，從而達(dá)到保證計(jì)算精度準(zhǔn)確的目的。

3 C語(yǔ)言中存儲(chǔ)位數(shù)溢出的控制

同樣的例子，我們做一個(gè)簡(jiǎn)單的修改：

Main（）

｛

Float A；

A＝（float）4/5；

Printf（“A＝%10.8f＼n”，A）；

Return 0；

｝

我們將輸出結(jié)果限定為10位有效數(shù)字，小數(shù)點(diǎn)后有效數(shù)字為8位。程序運(yùn)行后得到結(jié)果為：A＝0.80000001。這顯然也不是我們想要的結(jié)果：A＝0.80000000。為了知道這個(gè)原因，我們就必須了解C語(yǔ)言中浮點(diǎn)類(lèi)型數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)格式要求。

3.1 C語(yǔ)言中浮點(diǎn)類(lèi)型數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)格式

C語(yǔ)言中的浮點(diǎn)數(shù)是以IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)的格式存儲(chǔ)，與整型數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)完全不一樣。

3.1.1 單精度浮點(diǎn)型數(shù)據(jù)

C語(yǔ)言中對(duì)float型數(shù)據(jù)（4個(gè)字節(jié)）的表示分為三個(gè)部分：符號(hào)S，階碼E，尾數(shù)M。具體如下（見(jiàn)表1）：

表1 單精度浮點(diǎn)型數(shù)據(jù)存儲(chǔ)格式表

1）最高位31位，保存符號(hào)位S，“0”表示正數(shù)，“1”表示負(fù)數(shù)。［1］

2）30位～23位，共8位，移碼方式（指數(shù)值加上偏移量127）保存指數(shù)部分，稱為階碼。

3）22位～0位，共23位，保存系數(shù)部分，稱為尾數(shù)，對(duì)于規(guī)范化二進(jìn)制數(shù)，整數(shù)位的前導(dǎo)“1”不保存（隱含），直接保存小數(shù)部分b1b2…b23。

實(shí)際上即是將十進(jìn)制數(shù)R在計(jì)算機(jī)中用二進(jìn)制數(shù)的科學(xué)計(jì)數(shù)法表示出來(lái)：R＝（－1）S×M×2E。

而在float類(lèi)型的數(shù)據(jù)中，它的精度是由尾數(shù)的位數(shù)來(lái)決定的。浮點(diǎn)數(shù)在內(nèi)存中是按科學(xué)計(jì)數(shù)法來(lái)存儲(chǔ)的，其整數(shù)部分始終是一個(gè)隱含著的“1”，由于它是不變的，故不能對(duì)精度造成影響。

float：2＾23＝8388608，一共七位，106＞8388608＞107這意味著最多能有7位有效數(shù)字，但絕對(duì)能保證的為6位，即float的精度為6～7位有效數(shù)字。因此，當(dāng)我們用“A＝%10.8f＼n”來(lái)控制輸出結(jié)果的小數(shù)位數(shù)為8位時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)精度丟失的問(wèn)題，即多出來(lái)了0.00000001。

Float型的一些特殊約定：［2］

2）當(dāng)E＝0，M?。?時(shí)，表示非規(guī)范化數(shù)，即r＝（－1）S×2－127×（0.M）；

3）當(dāng)E＝255，M＝0時(shí)，表示無(wú)窮大，用符號(hào)位來(lái)確定是正無(wú)窮大還是負(fù)無(wú)窮大；

4）當(dāng) E＝255，M?。?時(shí)，表示 NaN（Not a Number，不是一個(gè)數(shù)）；

對(duì)于Double型，也有相似的約定。

3.1.2 雙精度浮點(diǎn)型數(shù)據(jù)

在控制輸出結(jié)果的實(shí)際位數(shù)的時(shí)候，我們必須考慮其存儲(chǔ)的精度值。因此可以通過(guò)提高變量的精度值定義的方式來(lái)盡量縮減這種誤差。例如，我們將上例改為：

Main（）

通過(guò)查閱《中國(guó)煤炭工業(yè)年鑒2008》統(tǒng)計(jì)出1984年至2008年我國(guó)煤礦百萬(wàn)噸死亡率數(shù)據(jù)。根據(jù)對(duì)國(guó)家安全管理監(jiān)督總局(現(xiàn)改名為中華人民共和國(guó)應(yīng)急管理部)公報(bào)的搜集，整理出2009年至2017年我國(guó)煤礦百萬(wàn)噸死亡率數(shù)據(jù)[7，8]。得出我國(guó)近30年煤礦百萬(wàn)噸死亡率曲線走勢(shì)圖。如圖1所示。

｛

double A；

A＝（float）4/5；

Printf（“A＝%10.8f＼n”，A）；

Return 0；

｝

結(jié)果：A＝0.80000000

分析：通過(guò)對(duì)于變量A的數(shù)據(jù)類(lèi)型精度的提高，將其由float變?yōu)閐ouble，而雙精度數(shù)據(jù)（double）其存儲(chǔ)范圍則擴(kuò)大了許多，從32位變?yōu)榱?4位（見(jiàn)表2）。

表2 雙精度浮點(diǎn)型數(shù)據(jù)存儲(chǔ)格式表

Double的精度：2＾52＝4503599627370496，一共16位，1015＜4503599627370496＜1016這意味著最多能有16位有效數(shù)字，但絕對(duì)能保證的為15位，即double的精度為15～16位有效數(shù)字。這樣就可以保證在指定8位有效數(shù)字時(shí)的數(shù)據(jù)的精度。

同理，就算應(yīng)用雙精度，我們也需要注意指定的小數(shù)點(diǎn)后有效數(shù)位，不能夠超出其實(shí)際的有效位數(shù)。

另外，long double型數(shù)能提供的十進(jìn)制數(shù)的有效數(shù)字不超過(guò)19位，即精度為18～19。但由于C語(yǔ)言沒(méi)有去充分實(shí)現(xiàn)，其實(shí)際能提供的數(shù)據(jù)的精度與double型相當(dāng)。

3.1.3 設(shè)定數(shù)據(jù)偏移量

我們還可以使用在程序中加設(shè)數(shù)據(jù)偏移量的方法來(lái)盡量規(guī)避這種由于數(shù)據(jù)存儲(chǔ)類(lèi)型的限制而造成的誤差，假設(shè)我們?cè)O(shè)定數(shù)據(jù)偏移量為0.001，在printf程序語(yǔ)句前加上下面的控制程序：

if（A－0.800＜0.001?5）

｛

A＝0.800；

｝

else

｛

A＝0.800＋0.001；｝

通過(guò)程序來(lái)控制數(shù)據(jù)的精度，可以得出最終的結(jié)果A＝0.80000000。

4 浮點(diǎn)數(shù)使用時(shí)的另外幾種易出現(xiàn)誤差的情況

4.1 判斷兩個(gè)經(jīng)過(guò)運(yùn)算的浮點(diǎn)數(shù)相等

由于浮點(diǎn)數(shù)是采用二進(jìn)制科學(xué)計(jì)數(shù)法來(lái)進(jìn)行存儲(chǔ)的，因此，絕大多數(shù)的小數(shù)在計(jì)算機(jī)內(nèi)存中是不能精確表示的。

例如：如果兩個(gè)數(shù)x、y都是直接用常數(shù)賦值，這時(shí)我們判斷x，y是否相等。

Main（）

float x＝8.8，y＝8.8；

if（x＝＝y(tǒng)）

｛

printf（＂x＝y(tǒng)＼n＂）；

｝

輸出：x＝y(tǒng)

如果我們將x或y改成經(jīng)過(guò)運(yùn)算后得到的值，這時(shí)我們?cè)賮?lái)判斷x，y是否相等：

Main（）

float x＝4.4＋4.4，y＝8.8；

if（x＝＝y(tǒng)）

｛

printf（＂x＝y(tǒng)＼n＂）；

｝

else

｛

printf（＂x！ ＝y(tǒng)＼n＂）；

｝

輸出：x！ ＝y(tǒng)從這個(gè)例子就可以發(fā)現(xiàn)，C語(yǔ)言中浮點(diǎn)數(shù)的計(jì)算結(jié)果很多都是近似到浮點(diǎn)數(shù)的最大表示值來(lái)處理的，這樣一來(lái)就會(huì)造成誤差。因此，如果想判斷x是否等于y，應(yīng)該用兩數(shù)之差的絕對(duì)值和一個(gè)很小的數(shù)來(lái)比較，當(dāng)差值小于這個(gè)很小的數(shù)時(shí)，我們就可以確定兩個(gè)數(shù)近似相等：fabs（x－y）＜10－6。

4.2 浮點(diǎn)數(shù)作為循環(huán)變量

C語(yǔ)言中由于浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算存在的誤差，可能會(huì)使循環(huán)次數(shù)達(dá)不到預(yù)定的次數(shù)而導(dǎo)致程序出現(xiàn)誤差，例如：

main（）

｛

float i j；

for（i＝1，j＝0；i＜ ＝10；i＋ ＝0.1）

｛

j＋ ＝i；

｝

printf（“j＝%f”，j）；

｝

這個(gè)程序中，因?yàn)閕是浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算取得值，會(huì)導(dǎo)致在循環(huán)到10的時(shí)候它的實(shí)際內(nèi)存存儲(chǔ)值變成10.000000001，這個(gè)值大于10，for語(yǔ)句會(huì)使程序循環(huán)終止，因此沒(méi)有達(dá)到預(yù)定的循環(huán)次數(shù)，導(dǎo)致求和結(jié)果和我們本身想要的結(jié)果有誤差。

4.3 一個(gè)很大的浮點(diǎn)數(shù)加上一個(gè)比較小的浮點(diǎn)數(shù)

C語(yǔ)言中由于浮點(diǎn)數(shù)數(shù)據(jù)存儲(chǔ)有效位數(shù)的原因，可能會(huì)在計(jì)算一個(gè)很大數(shù)加上一個(gè)很小的數(shù)時(shí)，小數(shù)計(jì)入大數(shù)累加時(shí)被溢出而造成誤差，例如：

Main（）

｛

float i，j，sum；

i＝1000000；j＝0.1

sum＝i＋j；

printf（“sum＝%f＼n”，sum）；

return 0；

｝

因?yàn)閒loat一共只有6～7位有效數(shù)字（10進(jìn)制），如果整數(shù)部分的位數(shù)多了，相應(yīng)的小數(shù)部分的精確顯示位數(shù)就少了，因此當(dāng)一個(gè)很大的數(shù)（如100000）去加一個(gè)很小的數(shù)（如0.1），那么小數(shù)部分的數(shù)值就會(huì)因?yàn)榇鎯?chǔ)溢出而丟失，從而產(chǎn)生誤差，得不到我們想要的理論值1000000.1，而是1000000.0。

5 結(jié)束語(yǔ)

C語(yǔ)言程序編寫(xiě)時(shí)，如果沒(méi)有很好地理解和掌握數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和數(shù)據(jù)類(lèi)型轉(zhuǎn)換的問(wèn)題，那么在實(shí)際的編程中就會(huì)出現(xiàn)很多的誤差。特別是在做浮點(diǎn)型數(shù)據(jù)計(jì)算的過(guò)程中，由于內(nèi)存中存儲(chǔ)的方式多為乘2取整，所以計(jì)算機(jī)在精度范圍內(nèi)取舍時(shí)會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)出現(xiàn)誤差。在實(shí)際的編程中一定要注意C語(yǔ)言中浮點(diǎn)型數(shù)據(jù)的精度問(wèn)題。

［1］張宗杰，張明亮.C語(yǔ)言中浮點(diǎn)數(shù)的存儲(chǔ)格式及其有效數(shù)字位數(shù)［J］.計(jì)算機(jī)與數(shù)字工程，2006（1）：84.

［2］杜叔強(qiáng).淺析C語(yǔ)言中的浮點(diǎn)數(shù)［J］.蘭州工業(yè)高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2010（5）：26.

Analysis on Precision of Floating－point Number for C Language

ZHOU Guan?fang
（Organizational and Personnel Department，Yunyang Teachers’College，Shiyan 420000，China）

This article describes how data errors are caused in C language due to differentdata storagemethod with case study，an?alyses the reason for such errors and explains different storagemethods of floating point data in C language.Finally，some sugges?tions are proposed in this article.

C Language；data precision；floating point data；relative error

TP312

A

2095?8153（2015）03?0097?03

2015?05?15

周冠方（1984－），男，鄖陽(yáng)師范高等專(zhuān)科學(xué)校組織人事部助教。