黃耀光，王連國(guó)， ，陳家瑞，張繼華

（1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 深部巖土力學(xué)與地下工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 徐州，221116；2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 力學(xué)與建筑工程學(xué)院，江蘇 徐州，221116）

1 引 言

由于巖石屬于典型脆性材料，故采用直接拉伸試驗(yàn)來(lái)確定其抗拉強(qiáng)度極為困難。因而，巴西圓盤(pán)劈裂試驗(yàn)被作為測(cè)定巖石抗拉強(qiáng)度的間接方法[1]，其經(jīng)典力學(xué)簡(jiǎn)化模型如圖1(a)所示。但該方法需對(duì)試樣施加對(duì)徑壓縮載荷，這使得加載線附近由于強(qiáng)烈應(yīng)力集中而發(fā)生壓破壞，違背了巴西劈裂試驗(yàn)中心起裂[2－3]的假設(shè)，從而使所測(cè)抗拉強(qiáng)度與真實(shí)值存在較大差異。為了降低標(biāo)準(zhǔn)巴西劈裂試驗(yàn)中對(duì)徑線加載所引起的應(yīng)力集中程度，一般有兩種方法：一種是弧形加載巴西圓盤(pán)試驗(yàn)法[2，4－11]。文獻(xiàn)[6]用復(fù)變函數(shù)法得到巴西圓盤(pán)內(nèi)的全應(yīng)力和位移場(chǎng)理論解，并用試驗(yàn)驗(yàn)證了解的有效性。而文獻(xiàn)[5，7－8]通過(guò)試驗(yàn)與數(shù)值模擬相結(jié)合的方法，得到不同弧形加載角下巴西圓盤(pán)內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)和試樣破壞過(guò)程。文獻(xiàn)[9－11]求得了巴西圓盤(pán)受拋物線型載荷下的應(yīng)力和位移場(chǎng)，并考慮了不同加載角度和載荷類(lèi)型對(duì)圓盤(pán)內(nèi)應(yīng)力和位移分布的影響。盡管弧形加載巴西劈裂試驗(yàn)?zāi)芙档蛻?yīng)力集中程度，但由于加載困難以及加載弧上應(yīng)力的不均勻性，使其不易保證巴西試樣發(fā)生中心起裂。

另一種是圖1(b)所示的平臺(tái)巴西劈裂試驗(yàn)。王啟智等[3，12]將文獻(xiàn)[13]提出的確定巖石斷裂韌度的平臺(tái)巴西劈裂試驗(yàn)推廣用于確定巖石抗拉強(qiáng)度，借助標(biāo)準(zhǔn)巴西圓盤(pán)的應(yīng)力解，利用有限元數(shù)值法研究了平臺(tái)圓盤(pán)內(nèi)的應(yīng)力分布規(guī)律及位移解，得到保證巖石試樣中心起裂所需的臨界平臺(tái)加載角，進(jìn)而得出巖石的抗拉強(qiáng)度經(jīng)驗(yàn)公式。而后王啟智等[14]采用平臺(tái)巴西劈裂試驗(yàn)測(cè)得大理巖的抗拉強(qiáng)度，證明該試驗(yàn)的合理性。在此基礎(chǔ)上，尤明慶等[15－16]利用有限元數(shù)值法得到不同平臺(tái)加載角下圓盤(pán)內(nèi)的應(yīng)力分布特征：圓盤(pán)內(nèi)應(yīng)力隨平臺(tái)加載角增大而減小；并結(jié)合4類(lèi)典型巖石的平臺(tái)巴西劈裂試驗(yàn)指出，平臺(tái)加載角應(yīng)保持在20°～30°之間為最佳。于慶磊[17]、孟京京[18]等分別用有限元和離散元數(shù)值法研究了平臺(tái)加載角對(duì)非均質(zhì)巴西試樣的應(yīng)力狀態(tài)和劈裂破壞模式的影響。而喻勇等[19]利用三維彈性有限元法，較全面地分析了圓盤(pán)高徑比和泊松比等因素對(duì)平臺(tái)圓盤(pán)應(yīng)力分布的影響，并基于Mohr強(qiáng)度理論給出了平臺(tái)巴西劈裂試驗(yàn)測(cè)定巖石抗拉強(qiáng)度的數(shù)值計(jì)算公式。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)和平臺(tái)巴西劈裂試驗(yàn)力學(xué)模型Fig.1 Mechanical models of standard and flattened Brazilian splitting tests

由于以上研究平臺(tái)巴西劈裂試驗(yàn)時(shí)，主要采用的是有限元或離散元數(shù)值分析方法，并以標(biāo)準(zhǔn)巴西圓盤(pán)內(nèi)的應(yīng)力理論解來(lái)代替平臺(tái)巴西圓盤(pán)內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)，這使所得結(jié)果出現(xiàn)偏差，而且缺少相應(yīng)的理論分析作為支撐。因此，基于二維彈性理論，借助半無(wú)限平面體受豎直線荷載的符拉芒解，采用應(yīng)力疊加方法求得平臺(tái)巴西圓盤(pán)內(nèi)的應(yīng)力解析解，并用有限元數(shù)值法對(duì)該應(yīng)力解加以驗(yàn)證。以此為基礎(chǔ)，從理論上分析了平臺(tái)加載角對(duì)圓盤(pán)應(yīng)力分布規(guī)律的影響，獲得保證平臺(tái)巴西圓盤(pán)試樣中心起裂的最優(yōu)加載角度以及計(jì)算巖石抗拉強(qiáng)度的理論公式。

2 平臺(tái)巴西圓盤(pán)的應(yīng)力理論解

假定平臺(tái)巴西圓盤(pán)是均勻各向同性彈性體，并將實(shí)際試驗(yàn)中的近似均布位移加載簡(jiǎn)化為均勻?qū)ο逸d荷加載，從而建立如圖1(b)所示的直角坐標(biāo)系下的平臺(tái)巴西劈裂試驗(yàn)力學(xué)分析模型。在應(yīng)力求解過(guò)程中，認(rèn)為平臺(tái)巴西圓盤(pán)所受對(duì)弦均布載荷是作用在半無(wú)限平面體邊界上的，其內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力是由上、下加載平臺(tái)所受均布載荷產(chǎn)生的徑向應(yīng)力疊加而成。由此，依據(jù)圣維南原理，可求得半無(wú)限平面體下平臺(tái)巴西圓盤(pán)邊界上和圓盤(pán)內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力解。但由于實(shí)際平臺(tái)巴西劈裂試驗(yàn)并非是半無(wú)限平面體，其在圓盤(pán)邊界上應(yīng)保持自由邊界。所以，應(yīng)將所得圓盤(pán)邊界上的應(yīng)力解以反力的形式疊加到圓盤(pán)內(nèi)的應(yīng)力解之上，從而求得平臺(tái)巴西圓盤(pán)的應(yīng)力理論解。

2.1 平臺(tái)巴西圓盤(pán)邊界上的應(yīng)力解析解

在平臺(tái)巴西劈裂試驗(yàn)中，設(shè)圓盤(pán)半徑為R，圓盤(pán)厚度為t，平臺(tái)加載角為2α，如圖2所示，則加載平臺(tái)寬度可表示為

式中：α為弧度。

假設(shè)試驗(yàn)機(jī)所施加的集中力P 均勻作用在厚度為t 的加載平臺(tái)上，則力P 與平臺(tái)上的均布載荷q 之間滿(mǎn)足如下關(guān)系：

從而得到由集中力P 所表示的平臺(tái)上的均布載荷q為

為了求得平臺(tái)巴西圓盤(pán)邊界上任意點(diǎn)M 的應(yīng)力，可在上下加載平臺(tái)處任取一對(duì)稱(chēng)微元ds，其微元力為dF=qd s。假定該微元力分別作用在兩個(gè)不同的半無(wú)限平面體上，則每個(gè)微元力都將在半無(wú)限平面體內(nèi)產(chǎn)生徑向分布應(yīng)力。因此，根據(jù)圣維南原理，可由彈性力學(xué)中半無(wú)限平面體受豎直線荷載的符拉芒解[20]得到M 點(diǎn)處的兩個(gè)徑向應(yīng)力分別為（以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)）

式中：r1和r2分別為微元力作用點(diǎn)與邊界點(diǎn)M 的距離；θ1和θ2則分別為r1、r2與鉛垂方向的夾角。

設(shè)直線τ為點(diǎn)M 所在圓周的切線，過(guò)M 作MN 與τ 垂直，則MN為圓盤(pán)直徑。同時(shí)由于平臺(tái)加載角相對(duì)較小，所以有：∠MAN≈∠MA′ N=，∠MBN≈∠MB ′N(xiāo)=。又由于在△MAN中，有∠MNA=θ2，則得∠AMN=；在△MBN中，∠MNB=θ1，則得∠BMN=具體見(jiàn)圖2。于是，根據(jù)Cauwelaert等[21]中的坐標(biāo)變換公式，采用應(yīng)力疊加方法可得點(diǎn)M 處的正應(yīng)力dσn和切應(yīng)力dστ分別為

圖2 平臺(tái)巴西圓盤(pán)邊界任意點(diǎn)的應(yīng)力計(jì)算示意圖Fig.2 Schematic diagram of stress calculation at arbitrary boundary points on flattened Brazilian disk

因在△MAN和△MBN中，存在如下幾何關(guān)系：

則將式（7）分別代入式（5）、（6）中，可得

而在△AMB中有：∠AMB=π -(θ1+θ2)，則由三角函數(shù)關(guān)系：可得

則將式（9）代入式（8）可得

因此，平臺(tái)巴西圓盤(pán)邊界上任意點(diǎn)M 處的應(yīng)力可沿受均布載荷q 的加載平臺(tái)進(jìn)行積分求得

2.2 平臺(tái)巴西圓盤(pán)的應(yīng)力解析解

由2.1節(jié)可知，平臺(tái)巴西圓盤(pán)內(nèi)任意點(diǎn) M (x ，y)處的徑向分布應(yīng)力仍可表示成式（4）的形式。利用彈性力學(xué)[20]和Cauwelaert[21]中的坐標(biāo)變換公式，可得直角坐標(biāo)系下圓盤(pán)內(nèi)的微元應(yīng)力分量為

再將式（12）中相同方向的微元應(yīng)力分量進(jìn)行疊加，得到平臺(tái)圓盤(pán)內(nèi)的3個(gè)應(yīng)力分量為

又因在圓盤(pán)內(nèi)滿(mǎn)足如下關(guān)系式：

故將式（14）代入式（13），并沿著所受均布載荷的加載平臺(tái)進(jìn)行積分，再疊加由2.1節(jié)所得的均布拉應(yīng)力，最后，在圣維南原理下可求得平臺(tái)巴西圓盤(pán)內(nèi)的應(yīng)力分量為

圖3 平臺(tái)巴西圓盤(pán)內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力計(jì)算示意圖Fig.3 Schematic diagram of stress calculation at arbitrary points inside flattened Brazilian disk

3 平臺(tái)加載角對(duì)巴西圓盤(pán)應(yīng)力分布的影響

3.1 標(biāo)準(zhǔn)巴西圓盤(pán)的應(yīng)力理論解

在標(biāo)準(zhǔn)巴西劈裂試驗(yàn)中，對(duì)徑壓縮載荷下圓盤(pán)內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力經(jīng)典解可表示為[19，22]

而Wang等[3，12]以式（19）的應(yīng)力分量來(lái)代替平臺(tái)巴西圓盤(pán)內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)，并結(jié)合有限元數(shù)值分析法給出了平臺(tái)巴西劈裂試驗(yàn)測(cè)定巖石抗拉強(qiáng)度的經(jīng)驗(yàn)公式為

3.2 平臺(tái)巴西圓盤(pán)應(yīng)力解的數(shù)值驗(yàn)證

因?yàn)樵趯?shí)際的平臺(tái)巴西劈裂試驗(yàn)中，平臺(tái)巴西圓盤(pán)受到近似均布位移加載作用，這與本文中的均布應(yīng)力加載作用存在差異。但根據(jù)圣維南原理，其影響主要集中在加載平臺(tái)附近，而對(duì)圓盤(pán)中心附近應(yīng)力結(jié)果影響較小。并且由于研究平臺(tái)巴西劈裂試驗(yàn)的有限元數(shù)值分析法已較為成熟[3，12－13，15－17，19]，因此，采用該方法將不同平臺(tái)加載角下的圓盤(pán)應(yīng)力數(shù)值解與應(yīng)力理論解進(jìn)行對(duì)比分析，以驗(yàn)證求解平臺(tái)巴西圓盤(pán)應(yīng)力解析解方法的正確性。

在有限元數(shù)值分析中，選擇建立包含加載壓頭的平臺(tái)劈裂二維模型，通過(guò)加載壓頭和平臺(tái)巴西試樣之間的接觸單元[23]來(lái)保證實(shí)際試驗(yàn)中的均布位移加載，其接觸摩擦系數(shù)設(shè)為0.05，以近似試驗(yàn)中的理想光滑接觸。該模型的半徑R=25 mm，平臺(tái)加載角分別為10°、20°、30°、40°，其平臺(tái)處網(wǎng)格單元數(shù)目為10，而其他網(wǎng)格單元邊長(zhǎng)為1 mm。平臺(tái)圓盤(pán)試樣的彈性模量E 取為80 GPa，其泊松比為0.2。又為了保證加載壓頭的剛度，取其彈模為試樣的100倍，而泊松比為0.3。模型下加載壓頭的左端節(jié)點(diǎn)固定x、y 向位移，右端節(jié)點(diǎn)固定y 向位移，并同時(shí)在上下加載壓頭處施加均布?jí)嚎s載荷q，q 值由式（3）計(jì)算所得，其中試驗(yàn)載荷P=15 kN。數(shù)值計(jì)算模型如圖4所示。

經(jīng)數(shù)值計(jì)算后，選取平臺(tái)巴西圓盤(pán)加載直徑上的水平應(yīng)力σx和垂直應(yīng)力σy作為比較驗(yàn)證對(duì)象，其應(yīng)力無(wú)量綱化（σ/(P/πRt)）后隨平臺(tái)加載角的變化規(guī)律分別由圖5、6給出。而表1則給出了不同加載角下圓盤(pán)內(nèi)的最大壓拉應(yīng)力比。需注明的是，由于加載點(diǎn)處應(yīng)力趨于無(wú)窮大，所以表1中的的最大應(yīng)力取自于近加載點(diǎn)處的值，而非加載點(diǎn)。

圖4 平臺(tái)巴西劈裂有限元數(shù)值計(jì)算模型Fig.4 Finite element numerical calculation model of flattened Brazilian splitting test

圖5 加載直徑上的無(wú)量綱水平應(yīng)力Fig.5 Non-dimensional horizontal stresses along loaded diameter

圖6 加載直徑上的無(wú)量綱垂直應(yīng)力Fig.6 Non-dimensional vertical stresses along loaded diameter

表1 兩種圓盤(pán)內(nèi)的無(wú)量綱壓拉應(yīng)力比Table 1 Ratios of non-dimensional compressive stress to tensile stress inside two kinds of disk

綜合分析圖5、6可知，在4個(gè)不同的平臺(tái)加載角下，圓盤(pán)內(nèi)加載直徑上的水平應(yīng)力σx和垂直應(yīng)力σy的理論解和有限元數(shù)值解的變化曲線僅在加載平臺(tái)附近出現(xiàn)較大分離，而在遠(yuǎn)離加載平臺(tái)處基本重合。這主要是因?yàn)槔碚撉蠼夂蛿?shù)值求解時(shí)，平臺(tái)加載處的加載方式不同而引起的，其結(jié)果符合圣維南原理。因此，經(jīng)對(duì)比分析表明前文的理論求解方法是正確合理的。

從圖5中可以看出，水平拉伸應(yīng)力σx的最大值皆出現(xiàn)在圓盤(pán)中心附近，并從中心向兩加載平臺(tái)逐漸變小，甚至變?yōu)樗綁嚎s應(yīng)力。而且隨著平臺(tái)加載角增大，平臺(tái)巴西圓盤(pán)內(nèi)的水平拉伸應(yīng)力值緩慢減小，其從平臺(tái)加載角為5°時(shí)的0.99降低到50°時(shí)的0.65，而水平壓縮應(yīng)力卻從33.96急降到2.82，具體如表1所示。同時(shí)發(fā)現(xiàn)，平臺(tái)巴西圓盤(pán)內(nèi)的拉伸應(yīng)力區(qū)隨著平臺(tái)加載角的增大而逐漸向圓盤(pán)中心縮小，即增大加載角會(huì)縮小圓盤(pán)內(nèi)加載方向的拉應(yīng)力區(qū)。

而由圖6可知：平臺(tái)圓盤(pán)內(nèi)的垂直應(yīng)力σy都從兩端的加載平臺(tái)處向圓盤(pán)中心減小。而且在平臺(tái)巴西圓盤(pán)內(nèi)，隨著平臺(tái)加載角增大，加載平臺(tái)處的垂直壓應(yīng)力顯著減小，其值從平臺(tái)加載角為5°時(shí)的36.01降低到50°時(shí)的3.87。從表1中可知，標(biāo)準(zhǔn)巴西圓盤(pán)內(nèi)的最大壓拉應(yīng)力比為50.20，若按通常巖石抗壓強(qiáng)度為抗拉強(qiáng)度的10倍計(jì)算，則標(biāo)準(zhǔn)巴西試樣將會(huì)在加載點(diǎn)附近由于壓應(yīng)力過(guò)大而發(fā)生壓破壞。但平臺(tái)巴西圓盤(pán)內(nèi)的壓拉應(yīng)力比會(huì)隨著平臺(tái)加載角增大而減小，當(dāng)加載角為20°時(shí)，其最大壓拉應(yīng)力比已經(jīng)降低到9.65，此時(shí)可認(rèn)為平臺(tái)巴西圓盤(pán)試樣不會(huì)發(fā)生加載處的壓破壞而是發(fā)生中心拉破壞。由此發(fā)現(xiàn)，增大平臺(tái)加載角可以明顯降低加載處的壓應(yīng)力值和應(yīng)力集中程度，從而降低巴西試樣在加載平臺(tái)附近發(fā)生壓縮破壞的可能，為試樣率先發(fā)生中心拉伸劈裂破壞創(chuàng)造條件。

3.3 標(biāo)準(zhǔn)和平臺(tái)巴西圓盤(pán)應(yīng)力分布對(duì)比分析

由于以上研究的僅是圓盤(pán)加載直徑上的應(yīng)力分布特征，缺乏一般性。為了對(duì)圓盤(pán)內(nèi)的應(yīng)力分布有更完整、直觀的認(rèn)識(shí)，在此取加載角為30°的平臺(tái)巴西圓盤(pán)內(nèi)的應(yīng)力解與標(biāo)準(zhǔn)巴西圓盤(pán)進(jìn)行對(duì)比分析。圖7、8分別表示無(wú)量綱化后圓盤(pán)內(nèi)的水平應(yīng)力和垂直應(yīng)力等值線圖。

圖8 圓盤(pán)內(nèi)的無(wú)量綱垂直應(yīng)力(σy/(P/πRt))Fig.8 Non-dimensional vertical stress inside the disks (σy/(P/πRt))

從圖7、8可知，標(biāo)準(zhǔn)巴西圓盤(pán)內(nèi)的水平應(yīng)力經(jīng)過(guò)加載點(diǎn)而形成中部寬、兩端狹長(zhǎng)的拉應(yīng)力區(qū)。而平臺(tái)巴西圓盤(pán)內(nèi)的水平應(yīng)力是在加載點(diǎn)下方形成環(huán)狀拉應(yīng)力區(qū)，即加載方向上的拉應(yīng)力區(qū)縮小了，這不利于實(shí)現(xiàn)巴西劈裂試驗(yàn)從中心起裂并向兩端擴(kuò)展而發(fā)生拉破壞的條件。但相比于標(biāo)準(zhǔn)巴西圓盤(pán)，平臺(tái)巴西圓盤(pán)內(nèi)的水平壓應(yīng)力和垂直應(yīng)力值在加載點(diǎn)處都有極大地降低，而且在加載點(diǎn)附近的應(yīng)力分布更加均勻，如圖7(b)、8(b)所示。這顯著地降低了巴西圓盤(pán)加載點(diǎn)附近的應(yīng)力集中程度，有利于減小試樣由于加載點(diǎn)處的壓應(yīng)力強(qiáng)烈集中而發(fā)生壓破壞的可能性，從而滿(mǎn)足巴西試驗(yàn)的中心起裂條件。由此發(fā)現(xiàn)，平臺(tái)巴西圓盤(pán)的加載角是控制巴西試驗(yàn)?zāi)芊癯晒Φ年P(guān)鍵因素，過(guò)大或過(guò)小的加載角都不利于巴西試驗(yàn)的進(jìn)行。因此，有必要確定出最優(yōu)的平臺(tái)加載角來(lái)同時(shí)滿(mǎn)足降低壓應(yīng)力集中和保持圓盤(pán)內(nèi)具有較大拉應(yīng)力區(qū)的要求。

4 平臺(tái)巴西劈裂試驗(yàn)的最優(yōu)加載角及抗拉強(qiáng)度

4.1 平臺(tái)巴西劈裂試驗(yàn)的最優(yōu)加載角

巖石屬于典型脆性材料，因此，巖石的破壞通常滿(mǎn)足Griffith強(qiáng)度準(zhǔn)則[24]。當(dāng)以拉應(yīng)力為正，且3個(gè)主應(yīng)力滿(mǎn)足 σ1≥σ2≥ σ3關(guān)系時(shí)，Griffith強(qiáng)度準(zhǔn)則可寫(xiě)成如下形式：

式中：σG為Griffith等效應(yīng)力；σT為巖石的抗拉強(qiáng)度。

由第2節(jié)分析可知，平臺(tái)巴西圓盤(pán)內(nèi)的加載直徑附近是拉應(yīng)力最大的區(qū)域，其成為巴西試樣的潛在破壞區(qū)。在圓盤(pán)加載直徑上有x=0，由式（17）計(jì)算可得其上剪應(yīng)力τxy=0，因此，可知加載直徑上的水平應(yīng)力σx和垂直應(yīng)力σy分別為最大最小主應(yīng)力，其可由式（15）、（16）計(jì)算得到為

所以，式（21）中給出的Griffith強(qiáng)度準(zhǔn)則的判定條件可表示為

為了得出Griffith判定條件的大小，將不同加載角下的無(wú)量綱化Griffith判定條件值繪于圖9中，其中的2α=0°即為標(biāo)準(zhǔn)巴西圓盤(pán)。從圖9中可知，當(dāng)加載角小于50°時(shí)，有 σ1+3σ3＜ 0恒成立，所以由式（21）可得平臺(tái)巴西圓盤(pán)試樣的強(qiáng)度破壞條件為

再將式（22）、（23）代入式（26）即得平臺(tái)巴西圓盤(pán)加載直徑上的Griffith等效應(yīng)力為

將Griffith等效應(yīng)力進(jìn)行無(wú)量綱化后，其值隨平臺(tái)加載角2α 的變化關(guān)系如圖10所示。

圖9 加載直徑上的無(wú)量綱Griffith判定條件Fig.9 Non-dimensional Griffith decision conditions along loaded diameter

圖10 加載直徑上的無(wú)量綱Griffith等效應(yīng)力Fig.10 Non-dimensional Griffith equivalent stresses along loaded diameter

從圖10可知，當(dāng)2α＜20°時(shí)，平臺(tái)巴西圓盤(pán)加載直徑上的Griffith等效應(yīng)力σG從圓盤(pán)中心開(kāi)始向兩端呈現(xiàn)先增大后減小的變化規(guī)律，即σG并非在圓盤(pán)中心最大，這表明此類(lèi)平臺(tái)巴西圓盤(pán)并不是從圓盤(pán)中心起裂，違背了巴西劈裂試驗(yàn)測(cè)定巖石抗拉強(qiáng)度的基本假定，故其不適于用來(lái)測(cè)定巖石的抗拉強(qiáng)度；當(dāng)加載角大于等于20°時(shí)，平臺(tái)巴西圓盤(pán)加載直徑上的Griffith等效應(yīng)力σG從圓盤(pán)中心開(kāi)始向兩端呈逐漸減小趨勢(shì)，即σG在圓盤(pán)中心最大。因此，依據(jù)Griffith強(qiáng)度破壞準(zhǔn)則可知此類(lèi)平臺(tái)巴西圓盤(pán)將從圓盤(pán)中心開(kāi)始破壞，其滿(mǎn)足巴西劈裂試驗(yàn)測(cè)定巖石抗拉強(qiáng)度的中心起裂條件，故可選用2α≥20°的平臺(tái)巴西圓盤(pán)來(lái)測(cè)定巖石的抗拉強(qiáng)度。

同時(shí)由前文分析可知，當(dāng)2α＞30°以后，增大加載角并不能顯著降低平臺(tái)圓盤(pán)內(nèi)的壓拉應(yīng)力比，如表1所示。因此，綜合分析認(rèn)為，當(dāng)2α=20°～30°時(shí)，平臺(tái)巴西劈裂試驗(yàn)既能明顯降低圓盤(pán)內(nèi)的壓拉應(yīng)力比，又能滿(mǎn)足中心起裂條件，故確定平臺(tái)巴西圓盤(pán)的最優(yōu)加載角為20°～30°。這與Wang[12]和尤明慶[15－16]通過(guò)數(shù)值和試驗(yàn)方法所得結(jié)果相一致。

4.2 平臺(tái)巴西劈裂試驗(yàn)確定的巖石抗拉強(qiáng)度

當(dāng)平臺(tái)巴西劈裂試驗(yàn)處于最優(yōu)加載角度時(shí)，依據(jù)Griffith強(qiáng)度準(zhǔn)則知試樣將從圓盤(pán)中心率先開(kāi)始破壞。因在圓盤(pán)中心有x=0，y=0，故由式（24）可知，A1=A3=R2，B1=B3=R2sin αcosα，C1=C3=-α，則由式（26）可得用平臺(tái)巴西劈裂試驗(yàn)測(cè)定巖石抗拉強(qiáng)度的計(jì)算公式為

而在弧形加載巴西劈裂試驗(yàn)測(cè)定巖石抗拉強(qiáng)度的研究中，Satoh[2]首先得到的巖石抗拉強(qiáng)度公式為

至此，文中給出了3種計(jì)算巖石抗拉強(qiáng)度的理論公式，其主要差異是建立力學(xué)分析模型時(shí)對(duì)巴西圓盤(pán)受力的簡(jiǎn)化形式不同。Wang[12]將圓盤(pán)受力簡(jiǎn)化為作用在有限圓弧上的均勻垂直載荷。Satoh[2]則認(rèn)為圓盤(pán)受力是作用在有限圓弧上的均勻徑向載荷。而本文分析中是將圓盤(pán)受力簡(jiǎn)化成作用在加載平臺(tái)上的均布載荷。圖11為無(wú)量綱化后的各抗拉強(qiáng)度隨加載角的變化規(guī)律。從圖中可知，相比于Wang[12]和Satoh[2]所得的巖石抗拉強(qiáng)度，本文式（27）所得巖石抗拉強(qiáng)度偏小，且隨加載角的增大而下降較快，即過(guò)大的加載角將使平臺(tái)巴西劈裂試驗(yàn)失敗。但在最優(yōu)加載角20°～30°之間時(shí)，3個(gè)抗拉強(qiáng)度的最大相對(duì)誤差小于4.5%，這即表明所求抗拉強(qiáng)度公式與已有抗拉強(qiáng)度經(jīng)驗(yàn)公式相符較好。而且表2表明，本文所得抗拉強(qiáng)度理論值與試驗(yàn)值的最大相對(duì)誤差約為22%，最小相對(duì)誤差約為4%。考慮到抗拉強(qiáng)度試驗(yàn)的離散型，可認(rèn)為抗拉強(qiáng)度理論公式是正確的。由此綜合證明，前文理論推導(dǎo)巖石抗拉強(qiáng)度的方法是合理的。

圖11 無(wú)量綱抗拉強(qiáng)度隨加載角的變化Fig.11 Variation of non-dimensional tensile strength with loading angle

表2 3類(lèi)巖石的平臺(tái)劈裂理論與試驗(yàn)抗拉強(qiáng)度比較Table 2 Comparison of theoretical and experimental tensile strengths for three kinds of rocks

5 結(jié) 論

（1）基于二維彈性理論，采用應(yīng)力疊加法求得平臺(tái)巴西圓盤(pán)內(nèi)的應(yīng)力解析解，其與有限元數(shù)值解相一致，證明該應(yīng)力解析解是正確的。

（2）通過(guò)研究不同加載角對(duì)平臺(tái)巴西圓盤(pán)內(nèi)應(yīng)力分布的影響表明：增大平臺(tái)加載角，可以顯著降低平臺(tái)加載處的壓應(yīng)力和應(yīng)力集中程度，減小試樣發(fā)生壓裂破壞的可能；但平臺(tái)巴西圓盤(pán)內(nèi)的拉應(yīng)力和拉伸區(qū)也將緩慢減小，其不利于保證巴西劈裂試驗(yàn)的中心起裂條件。

（3）理論研究得出，過(guò)大或過(guò)小的加載角都不利于平臺(tái)巴西劈裂試驗(yàn)的成功，而其最優(yōu)的平臺(tái)加載角在20°～30°之間。此時(shí)，平臺(tái)巴西圓盤(pán)內(nèi)的最大壓拉應(yīng)力比相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)巴西圓盤(pán)有明顯減小，其值已小于巖石試樣慣用的抗壓拉強(qiáng)度比10，故該加載角下的平臺(tái)巴西劈裂試驗(yàn)最宜被用于確定巖石的抗拉強(qiáng)度。

（4）基于Griffith強(qiáng)度破壞準(zhǔn)則，推導(dǎo)得到采用平臺(tái)巴西劈裂試驗(yàn)測(cè)定巖石抗拉強(qiáng)度的理論計(jì)算公式，通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，其與已有的抗拉強(qiáng)度經(jīng)驗(yàn)公式及試驗(yàn)值相符較好。

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