趙婷婷，周 偉，常曉林，馬 剛，馬 幸

（1.武漢大學(xué) 水資源與水電工程科學(xué)國家重點實驗室，湖北 武漢 430072；2.武漢大學(xué) 水工巖石力學(xué)教育部重點實驗室，湖北 武漢 430072）

1 引言

堆石壩對地形地質(zhì)條件適應(yīng)性較強、設(shè)計理論成熟、具有經(jīng)濟效益好、施工方法簡單且抗震性能好的特點。隨著我國水利資源開發(fā)深度和廣度的提高，在壩型選擇方面，堆石壩經(jīng)常被優(yōu)先考慮。堆石料作為壩體填筑的主要材料，其工程特性參數(shù)的準確性也引起了廣泛的關(guān)注。在實際工程中，壩體填筑材料的粒徑一般為600～800 mm，也有一些實際工程采用大粒徑填筑材料，粒徑可以達到800～1 200 mm[1]。為了研究堆石料的性質(zhì)，國內(nèi)外學(xué)者進行了大量的現(xiàn)場和室內(nèi)試驗。受現(xiàn)有試驗條件限制，室內(nèi)試驗常用的三軸儀直徑只有300 mm，而土工試驗規(guī)范規(guī)定試驗土料顆粒粒徑應(yīng)小于1/5～1/6的試樣直徑[2]，也就是說室內(nèi)試驗的控制粒徑為60 mm，與現(xiàn)場的實際粒徑相差甚遠。這種情況下，使得對實際堆石料級配進行縮尺成為一種必然。

國內(nèi)外很多學(xué)者對縮尺效應(yīng)的影響因素進行了研究，研究角度包括縮尺方法[3－4]、縮尺比例[5]、試樣尺寸大小[6－11]、顆粒自身性質(zhì)以及顆粒破碎[12]等；研究方法以室內(nèi)試驗方法為主[4－14]。數(shù)值模擬方法可以在人力、物力和時間方面彌補室內(nèi)試驗的不足，并且可以實時觀測堆石料細觀組構(gòu)的演化過程[15－19]，是以室內(nèi)試驗為主的堆石料研究手段的有力補充?？v觀整個研究過程可以發(fā)現(xiàn)，采用數(shù)值方法對級配縮尺方法的縮尺效應(yīng)研究較少。

不同縮尺方法制得堆石料試樣的顆粒級配分布，具有幾何非線性和復(fù)雜性，其粒度組成難以用確定性的幾何方法進行研究，而分形理論卻為自然界中復(fù)雜無序而又具有內(nèi)在規(guī)律的系統(tǒng)提供了定量描述的方法[20]。分形理論自1982年形成以來[21]，在巖石斷裂、堆石料顆粒破碎、巖石和土粒子表面孔隙率等方面取得了一定的進展[22－24]。在堆石料級配特征方面，朱晟等[25]選取對級配性質(zhì)較為敏感的Talbot公式的指數(shù)n 以及反映顆粒形狀與粗糙度的因子作為分形指標，解譯粗粒料密實度出現(xiàn)縮尺效應(yīng)的內(nèi)在原因，為粗粒料級配構(gòu)成對密實度影響的量化評價提供依據(jù)，克服以往只能利用不均勻系數(shù)和曲率系數(shù)進行模糊評價的缺點。整體而言，對堆石料級配特征的分形特性研究較少，并且在研究手段方面，多用Tyler提出的質(zhì)量分形模型[24]。而采用基于顆粒流理論的數(shù)值模擬方法可以方便地統(tǒng)計顆粒數(shù)量，從而可以采用數(shù)量-粒徑分形模型進行研究。

綜上所述，本文采用顆粒流程序PFC2D，建立以不同粒徑范圍內(nèi)顆粒數(shù)為測量數(shù)的分形模型，對堆石料級配縮尺方法的分形特性和縮尺效應(yīng)進行了研究。采用6種縮尺方法制備試樣，分別研究了顆粒級配分布的分形特性和縮尺方法對試樣宏細觀力學(xué)特性的影響，并討論了數(shù)值試樣分形特性與力學(xué)特性之間的關(guān)系。

2 縮尺方法

根據(jù)文獻[2]規(guī)定，對粗粒料級配進行縮尺，有以下4種處理方法可供選擇。

（1）剔除法：將超粒徑顆粒剔除。

（2）等量替代法：根據(jù)儀器允許的最大粒徑和粒徑大于5 mm的顆粒，按顆粒等質(zhì)量替換超粒徑顆粒。

（3）相似級配法：根據(jù)原級配曲線的粒徑，分別按照幾何相似等比例地將原樣粒徑縮小至儀器允許的粒徑，縮小后的土樣級配應(yīng)保持不均勻系數(shù)不變。

（4）混合法：同時采用（2）、（3）兩種方法，即先用適當?shù)谋瘸呖s小，使小于5 mm粒徑顆粒的質(zhì)量不大于總質(zhì)量的30%，若仍有超粒徑顆粒再用等量替代法制樣。

以上幾種縮尺方法各有優(yōu)缺點，剔除法使用簡單方便，但在超徑顆粒含量較多時，很大程度改變了原級配堆石料的工程特性，該方法只宜在超徑料含量不大于10%的范圍內(nèi)使用；等量替代法保證了粗顆粒(≥5 mm)和細顆粒(≤5 mm)的含量不變，缺點是使粒徑縮小，均勻性增大；相似級配法的優(yōu)點在于保持顆粒級配的幾何形狀相似，不均勻系數(shù) Cu不變，但增加了小于5 mm的細顆粒含量，并且相似比尺M 越大，這種現(xiàn)象越明顯；混合法綜合了等量替代法和相似級配法，資料表明，混合法取得的最大干密度與現(xiàn)場碾壓試驗相接近。規(guī)范中對使用哪一種方法并沒有具體的規(guī)定，如何選擇合理的縮尺方法還需要進一步研究。

為了研究不同縮尺方法對試驗結(jié)果的影響，本文選用古水面板堆石壩的現(xiàn)場堆石料級配曲線作為原始級配曲線，堆石料最大粒徑為800 mm。采用6種方法對原級配料進行縮尺，縮制成6條最大粒徑為600 mm的數(shù)值試驗級配曲線?？s尺方法為等量替代法（DD）、相似級配法(SS)和不同相似比尺M值的混合法（HH，M=3，5，7，10），其中M=3為室內(nèi)試驗采用的級配縮尺方法，根據(jù)這條級配曲線生成數(shù)值試樣來標定數(shù)值模擬需要的細觀參數(shù)。原始級配曲線與縮尺后的級配曲線如圖1所示。

圖1 級配曲線Fig.1 Grading curves

對圖1所示的級配曲線進行分析，得到各條曲線的級配特征如表1所示。從表1可以看出，隨著級配縮尺方法從等量替代法到混合法再到相似級配法的轉(zhuǎn)變，粗顆粒含量不斷減少，不均勻系數(shù) Cu從5.52增加到20.39，曲率系數(shù) Cc從1.24增加到2.08。工程中規(guī)定級配良好的粗粒土多數(shù)粒徑分布曲線要呈光滑下凹的型式，坡度較緩，土粒大小連續(xù)，曲線主段粒徑之間有一定變化規(guī)律，能同時滿足Cu≥ 5及 Cc=1～3的條件[26]。由表1結(jié)果可知，不同縮尺方法得到的各級配堆石料試樣均能滿足這一條件，可用于進一步的數(shù)值模擬。

表1 數(shù)值試樣級配曲線分析表Table 1 Analysis table of grading curve for numerical samples

3 縮尺方法的分形效應(yīng)

堆石料的級配分布從本質(zhì)上看是一個幾何問題，但不同縮尺方法縮制得到試樣的粒度組成具有一定的幾何非線性和復(fù)雜性，難以用確定性的幾何方法進行研究，而分形幾何為研究不規(guī)則幾何問題提供了一種思路。

分形的基本定義如下：

式中：r為圖形的測度，即客體的特征尺度；N為對應(yīng)r 所得的測量數(shù)，即特征尺度r 的客體數(shù)目；D為該圖形的分維數(shù)。具體到堆石料級配分布的分形模型，可以認為，堆石料顆粒級配分布是不同縮尺方法縮制形成試樣的一種量度，其粒度組成可以看作一種沒有特征長度的結(jié)構(gòu)圖形。本文建立了一種不同于Turcotte[27]提出的分形模型，將粒徑在某一區(qū)間范圍內(nèi)顆粒數(shù)目占全體顆粒數(shù)目的比例yi(xi)作為測量數(shù)，對應(yīng)式（1）中的N，將該區(qū)間的上限粒徑xi作為測度，對應(yīng)式（1）中的r，研究顆粒級配分布的分形特性。

定義反映顆粒級配分布的函數(shù)為

式中：Ni為粒徑位于區(qū)間[ xi-1，xi]的顆粒數(shù)目；Nsum為試樣總顆粒數(shù)。如果顆粒級配分布具有分形結(jié)構(gòu)，由式（1）可得到如下關(guān)系

數(shù)值試驗可以方便地統(tǒng)計不同粒徑區(qū)間的顆粒數(shù)目，不同縮尺方法縮制得到數(shù)值試樣的顆粒數(shù)目分布如表2所示，數(shù)值試樣的生成方法見4.2節(jié)。

表2 試樣顆粒數(shù)目分布統(tǒng)計Table 2 Distribution statistics of the number of particles

由式（3）可知，如果lg(xi)和lg(yi)具有良好的線性關(guān)系，則說明顆粒級配分布具有分形結(jié)構(gòu)，擬合直線的斜率則為分維數(shù)D 的相反數(shù)。圖2為lg(xi)和lg(yi)的線性擬合關(guān)系，表3為線性擬合結(jié)果的斜率及線性相關(guān)系數(shù)。

由圖2和表3的擬合結(jié)果可以看出，除了等量替代法縮制試樣對應(yīng)的線性相關(guān)程度較差（線性相關(guān)系數(shù)為0.87）以外，其余縮尺方法對應(yīng)的擬合結(jié)果線性程度均較好，說明分維數(shù)D 能基本概括不同縮尺方法得到顆粒級配分布的變化趨勢特性，而等量替代法對顆粒級配各粒組的比例產(chǎn)生較大的擾動。分維數(shù)的計算結(jié)果同樣列于表3。認為等量替代法的相似比尺M=1，相似級配法的相似比尺M=1，由分維數(shù)D 的變化規(guī)律可知，隨著M 的增大，分維數(shù)從1.463增加到1.783。

4 數(shù)值試樣制備

4.1 數(shù)值試樣的密實程度

由于粗粒含量、顆粒大小、不均勻系數(shù)等原因都會影響堆石料的密度，所以堆石料的密實程度不能用某一密度或某一孔隙率來表示，而是采用相對密度Dr。

圖2 lg(xi)和lg(yi)的線性擬合Fig.2 Linear fitting between lg(xi)and lg(yi)

表3 線性擬合結(jié)果及分維數(shù)計算Table 3 Linear fitting results and fractal dimension calculation

首先需要確定不同縮尺方法縮制得到數(shù)值試樣所對應(yīng)的最大孔隙率 nmax和最小孔隙率 nmin。參照相對密度試驗獲取最小干密度時采用的松填法（固定體積法），可認為，試樣顆粒在自重作用下落達到自然穩(wěn)定狀態(tài)時的孔隙率即為 nmax。采用PFC2D程序模擬這一過程，可以獲得不同縮尺方法對應(yīng)的nmax及換算得到的 emax列于表4。參照文獻[28]提出的方法，通過兩次改變顆粒的摩擦系數(shù)，使顆粒模型在圍壓為500 kPa下達到平衡，得到試樣的 nmin。不同縮尺方法對應(yīng)的 nmin及 emin同樣列于表4中。圖3為密實程度指標與縮制試樣時所采用相似比尺M 之間的對應(yīng)關(guān)系?？梢钥闯?，隨著M 的增大，各密實程度指標均有一定程度的減小。

表4 不同縮尺方法對應(yīng)的密實程度Table 4 Dense degrees corresponding to different scale methods

圖3 密實程度指標與縮尺方法的關(guān)系Fig.3 Relationship between dense degree index and scale method

古水面板堆石壩現(xiàn)場堆石料的相對壓實密度為0.85，所以取數(shù)值試樣的相對密度為0.85。Dr與孔隙率n 之間有如下關(guān)系：

由式（5）可以計算得到，采用不同縮尺方法生成數(shù)值試樣時所需的孔隙率如表5所示。可以看出，隨著M 值的增大，試樣的孔隙率逐漸減小。

表5 數(shù)值試樣的孔隙率Table 5 Porosities of numerical samples

4.2 數(shù)值試樣的細觀參數(shù)

為了得到雙軸試驗?zāi)Ｐ退璧募氂^參數(shù)，對古水堆石料三軸剪切試驗進行了數(shù)值模擬。首先建立模型，生成四面墻體（300 mm×600 mm），頂墻和底墻模擬加載板，左、右墻模擬試樣側(cè)限圍壓。采用與室內(nèi)試驗相同的縮尺方法（M=3的混合法）得到級配曲線生成顆粒試樣，為了防止生成顆粒數(shù)量過大，影響計算效率，對級配曲線進行截斷處理，將粒徑小于5 mm的顆粒用粒徑為5 mm的顆粒進行等體積替換。隨后進行顆粒平衡達到初始平衡狀態(tài)。顆粒流模型的細觀與宏觀參數(shù)沒有確定的對應(yīng)關(guān)系[29－30]，只能通過不斷調(diào)整細觀參數(shù)，直至數(shù)值試驗的結(jié)果與堆石料的宏觀性質(zhì)大體一致。本文選取如表6所示的細觀參數(shù)，能較好地模擬室內(nèi)試驗結(jié)果。數(shù)值模擬與室內(nèi)試驗結(jié)果對比見圖4。

表6 數(shù)值試驗細觀參數(shù)取值Table 6 Mecro-parameters of numerical experiment

圖4 數(shù)值模擬與室內(nèi)試驗對比圖Fig.4 Comparison between numerical experiment results and indoor test data

5 數(shù)值試驗結(jié)果分析

5.1 強度特性

根據(jù)模擬得到的細觀參數(shù)可基本反映堆石料的宏觀力學(xué)性質(zhì)，采用這些細觀參數(shù)和不同縮尺方法得到的級配曲線建立不同的雙軸試驗?zāi)Ｐ?，每一條級配曲線采用3種不同的圍壓0.5、1.0、1.5 MPa進行3組雙軸壓縮試驗。圍壓為0.5 MPa時得到的應(yīng)力-應(yīng)變曲線及體變曲線如圖5所示。

圖5 不同縮尺方法對應(yīng)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線和體變曲線Fig.5 Relationship curves of stress vs.volume strain and axial strain based on different scale methods

由圖5可以看出，不同縮尺方法對應(yīng)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線趨勢大致相似，但隨著M 值的增大，試樣的峰值強度不斷增大，曲線初始階段的斜率也不斷增大，圍壓為1.0、1.5 MPa時的應(yīng)力-應(yīng)變曲線也反映出了相似的規(guī)律。進一步分析數(shù)值試驗結(jié)果，繪制出采用等量替代法縮制試樣在不同圍壓下破壞時的摩爾圓，如圖6所示，采用其他方法縮制試樣進行雙軸試驗，也可以得到相似的試驗結(jié)果。分別采用摩爾-庫侖強度理論和鄧肯非線性強度理論[1]分析這一試驗結(jié)果。

圖6 等量替代法對應(yīng)的莫爾圓及強度包線Fig.6 Mohr circles at failure and strength envelops of samples based on equivalent replacement method

（1）摩爾-庫侖強度理論

式中：τ為抗剪強度；c為黏聚力；σ為法向應(yīng)力；φ為內(nèi)摩擦角。堆石料為無黏性土，不存在嚴格意義上的黏聚力，但在密實情況下，顆粒間相互咬合，具有一定的表觀黏聚力，所以可以按照式（6）整理出顆粒試樣的強度指標黏聚力c 和內(nèi)摩擦角φ，如表7所示。

表7 強度指標Table 7 Strength indicators

結(jié)合表1、5、7進行分析可以發(fā)現(xiàn)，在不同的圍壓下，隨著級配縮尺方法從等量替代法到混合法再到相似級配法的轉(zhuǎn)變，細顆粒含量所占比例逐漸增加，各項強度指標均有一定程度提高。這種現(xiàn)象產(chǎn)生的原因在于不同的級配縮尺方法使得粗細顆粒的充填關(guān)系發(fā)生變化，隨著M 的增大，級配不均勻系數(shù) Cu越大，顆粒間的咬合作用越顯著。直接使用等量替代法縮尺，粒徑小于5 mm的顆粒含量很少，細顆粒不能很好地填充粗顆粒之間的孔隙，試樣孔隙率較大，粗細顆粒無法很好地咬合在一起。使用混合法時，隨著相似比的增大，細顆粒含量不斷增多，粗細顆粒之間的充填關(guān)系得到改善，試樣孔隙率不斷減小，抗剪強度也不斷提高，c、φ 都逐漸增大。使用相似級配法縮制得到的試樣c、φ 值最大。需要說明的是，實際工程中堆石料細粒含量增加會導(dǎo)致堆石料強度降低，這是因為土工試驗規(guī)程[2]規(guī)定粒徑小于0.1 mm的土顆粒為細粒，該粒組多為黏粒，這種細粒越多，對顆粒集合體的潤滑作用越明顯，導(dǎo)致土體的強度降低。而本文中的細顆粒是指粒徑小于5 mm的顆粒，這種粒徑相對較小顆粒的性質(zhì)和作用與黏粒截然不同，在堆石體中可以起到改善顆粒填充關(guān)系的作用，所以試樣的強度指標有了一定程度的提高。

（2）鄧肯非線性強度理論

式中：φ0為圍壓為 Pa時的φ；Δφ為φ-lg(σ3/ Pa)關(guān)系曲線上的斜率，反映了強度隨著圍壓的降低；Pa為大氣壓。該理論認為，堆石料顆粒之間沒有黏聚力，過原點作一個應(yīng)力圓的切線，獲得φ，不同的圍壓σ3對應(yīng)不同的φ，如圖6所示。整理得到兩個強度指標φ0和 Δφ，列于表7中。

分析表7中數(shù)據(jù)可知，隨著相似比尺M 值的增大，φ0也有一定程度增大，表明圍壓為Pa時的內(nèi)摩擦角不斷增大；而反映強度隨圍壓降低程度的指標Δφ 則不斷減小。以上強度指標的變化可以說明，在使用等量替代法進行縮尺時，由于顆粒之間的充填關(guān)系不好，試樣的抗剪強度較低，增大圍壓會更大程度上影響試樣內(nèi)部結(jié)構(gòu)，使抗剪強度產(chǎn)生更明顯的變化。使用混合法和相似級配法縮制的試樣，顆粒間充填關(guān)系變好，顆粒模型結(jié)構(gòu)更穩(wěn)定，試樣抗剪強度逐漸增大，受圍壓的影響程度也逐漸減弱。此外，由表7中的數(shù)據(jù)可以看出，數(shù)值模擬得到的強度指標比實際堆石料物理試驗得到的強度指標偏大，尤其是φ0明顯偏高，造成這一結(jié)果的原因可能是，數(shù)值模擬中堆石料為剛性顆粒，無法模擬實際堆石料的顆粒破碎行為。如何使離散元的數(shù)值模型更真實地模擬實際堆石體的力學(xué)行為是在今后的工作中需要深入研究的問題。

5.2 變形特性

由圖5中等量替代法、相似級配法及M=5的混合法3種方法在圍壓為500 kPa時的體變曲線可以看出，在剪切過程中，顆粒模型均先發(fā)生剪縮再發(fā)生剪脹，但不同縮尺方法獲得的試樣剪縮及剪脹程度不同。由于粗細顆粒的充填關(guān)系不同，由等量替代法得到的模型細顆粒較少，在加壓過程中，沒有足夠的細顆粒填充粗顆粒之間的孔隙，以致剪縮程度較小，剪脹效應(yīng)明顯。而相似級配法生成的模型，細顆粒含量較多，在加壓過程中，細顆粒能夠更好地填充粗顆粒的孔隙，剪縮現(xiàn)象較明顯，混合法制備模型的體變曲線居中。

顆粒試樣變形特性可以通過變形模量E 和泊松比ν 來反映。E為偏應(yīng)力達到峰值強度1/2時的割線模量，ν為該點的徑向應(yīng)變與軸向應(yīng)變的比值，在二維雙軸壓縮試驗情況下，可以由下式計算得到。

式中：Δεx為徑向應(yīng)變；Δεy為軸向應(yīng)變；ΔεV為體積應(yīng)變。圍壓為500 kPa時，E 和ν 與縮制試樣時采用的M 的關(guān)系如圖7所示。由圖7可見，E 隨著M 值的增大而逐漸增大，ν 隨著M 的增大而減小。E 的變化規(guī)律可以說明，由相似級配法縮制的顆粒試樣粗細顆粒間充填關(guān)系好，形成了更為穩(wěn)定密實的結(jié)構(gòu)，受到初始階段的剪切作用發(fā)生較小的軸向變形，隨著相似比尺M 的減小，這種影響逐漸減弱，所以E 增大。ν 的變化規(guī)律可以說明，隨著M 的增大，顆粒間咬合作用顯著，使得試樣的側(cè)向變形能力減弱，所以ν 減小。

圖7 變形模量E 和泊松比ν 與縮尺方法的關(guān)系Fig.7 Relationship between deformation modulus E and poisson’s ratio ν with scale method

5.3 細觀響應(yīng)

采用基于顆粒流方法的數(shù)值試驗研究堆石料的力學(xué)特性，為從細觀角度分析試樣的力學(xué)行為提供了可能，數(shù)值模擬可以實時觀測堆石料細觀組構(gòu)的演化過程。堆石料顆粒之間的接觸作用可以通過顆粒模型的配位數(shù)、平均法向接觸力、平均切向接觸力等細觀響應(yīng)的演化過程進行研究。配位數(shù)的演化曲線如圖8所示，平均法向接觸力、平均切向接觸力的演化曲線如圖9所示。

圖8 配位數(shù)演化曲線Fig.8 Evolution curves of coordination number

圖9 平均法向接觸力和平均切向接觸力演化曲線Fig.9 Evolution curves of average normal contact force and average tangential contact force

配位數(shù)指試樣中顆粒的平均接觸點數(shù)，配位數(shù)越大，說明顆粒結(jié)構(gòu)越穩(wěn)定。由圖8可以看出，6種縮尺方法對應(yīng)試樣的配位數(shù)變化規(guī)律相似，在剪切試驗的開始階段，試樣產(chǎn)生一定的剪縮，顆粒模型更加密實，配位數(shù)略有上升，隨后由于試樣發(fā)生剪脹，配位數(shù)開始不斷減小。其中采用相似級配法縮制的試樣配位數(shù)最大，采用等量替代法縮制的試樣配位數(shù)最小，采用混合法縮制的試樣配位數(shù)居中，并且M 越大，配位數(shù)越大。這就從細觀角度解釋了各組試樣宏觀抗剪強度不同的原因，由相似級配法縮制的試樣顆粒充填關(guān)系好，形成更穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，表現(xiàn)出了更高的強度。

由圖9可以看出，在同一個試樣中，平均法向接觸力要比平均切向接觸力大很多。平均法向接觸力和切向接觸力具有相同的演化規(guī)律，隨著雙軸壓縮試驗的進行，各接觸力逐漸增大，在軸向應(yīng)變2%附近，各接觸力達到峰值，隨后開始減小，變化幅度不大。對比不同縮尺方法縮制試樣的接觸力可以發(fā)現(xiàn)，隨著M 值的增大，顆粒間各接觸力不斷減小。結(jié)合圖8配位數(shù)的演化曲線，可以解釋產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因，配位數(shù)大，說明顆粒接觸數(shù)較多，使得平均接觸力較小。

6 分維數(shù)與力學(xué)特性指標的關(guān)系

由上述數(shù)值試驗結(jié)果可知，數(shù)值試樣的力學(xué)特性受到縮尺方法的影響，而分維數(shù)D 能概括不同縮尺方法得到的顆粒級配分布的變化趨勢特性，所以有必要對D與堆石料力學(xué)特性指標之間的關(guān)系進行進一步研究。數(shù)值試樣密實程度指標與D 的關(guān)系如圖10所示，強度及變形特性指標與D 的關(guān)系如圖11所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，除了等量替代法以外，其余各縮尺方法所對應(yīng)的D與各指標間的關(guān)系可以用直線進行擬合，根據(jù)這一擬合關(guān)系可以認為，等量替代法對原始堆石料的顆粒級配擾動較大。除等量替代法以外各級配縮尺方法D與力學(xué)特性指標的擬合結(jié)果列于表8，該擬合關(guān)系為根據(jù)堆石料的級配特性曲線確定堆石料的力學(xué)特性指標提供了一種思路。

圖10 密實程度指標與分維數(shù)關(guān)系Fig.10 Relationship between dense degree index and fractal dimension

圖11 強度特性及變形特性指標與分維數(shù)關(guān)系Fig.11 Relationship between index of strength and deformation characteristics with fractal dimension

表8 分維數(shù)與力學(xué)特性指標擬合結(jié)果Table 8 Fitting results of fractal dimension and mechanical properties index

7 結(jié)論

（1）通過6種不同縮尺方法得到不同的顆粒級配分布曲線，隨著相似比尺M 的增大，粗顆粒含量不斷減小，不均勻系數(shù) Cu及曲率系數(shù) Cc逐漸增大。

（2）建立以顆粒數(shù)目為測量數(shù)的分形模型，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)值試樣的顆粒級配分布具有分形特性，隨著相似比尺M 由1增加到13，顆粒級配分布的分維數(shù)D 由1.463增加到1.783。

（3）顆粒級配分布的變化導(dǎo)致數(shù)值試樣力學(xué)特性產(chǎn)生相應(yīng)的改變。宏觀響應(yīng)方面，隨著M 的增大，密實程度指標 nmax、nmin、emax、emin不斷減??；強度特性指標c、φ、φ0逐漸增大， Δφ 逐漸減??；變形特性指標E 逐漸增大，ν 逐漸減小。細觀響應(yīng)方面，隨著M 的增大，配位數(shù)逐漸增大，顆粒間的平均法向接觸力和切向接觸力不斷減小。

（4）等量替代法對原始堆石料的顆粒級配擾動較大，除等量替代法之外的其余縮尺方法縮制得到數(shù)值試樣的顆粒級配分布分維數(shù)D與力學(xué)特性指標nmax、nmin、emax、emin、c、φ、φ0、Δφ、E、ν之間存在較好的線性關(guān)系。這一擬合關(guān)系為根據(jù)堆石料的級配特征曲線確定堆石料的力學(xué)特性指標提供了一種思路，在以后的研究中，可以將顆粒級配分布的D 作為力學(xué)特性指標的量化參數(shù)。

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