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        脈沖依賴(lài)狀態(tài)的發(fā)展方程初值問(wèn)題解的存在性

        2015-02-10 03:05:34
        關(guān)鍵詞:有界不動(dòng)點(diǎn)范數(shù)

        劉 旭

        關(guān)于脈沖微分方程解的存在性問(wèn)題研究已經(jīng)有很多的結(jié)果[1],但主要集中在固定時(shí)刻的脈沖微分方程,對(duì)脈沖依賴(lài)狀態(tài)的微分方程發(fā)展的比較緩慢,只有很少的幾個(gè)結(jié)果[2-7].受文獻(xiàn)[7]和[8]的啟發(fā),論文考慮脈沖依賴(lài)狀態(tài)的發(fā)展方程初值問(wèn)題,即

        其中:A:D(A)?Rn→Rn是Rn中的稠定閉線性算子,-A 生成Rn的等度連續(xù)C0-算子半群T(t)(t≥0),即T(t)在t>0上(不含t=0點(diǎn))按算子范數(shù)連續(xù).f:J×Rn→Rn,τk:Rn→R,Ik:Rn→Rn,k=1,2,…,m.

        1 引 理

        眾所周知對(duì)于J上等度連續(xù)的C0-算子半群T(t),?M>0,使得

        記C(J,Rn)為定義于J取值于Rn的全體連續(xù)函數(shù)空間,按范數(shù)‖u‖=|u(t)|構(gòu)成 Banach空間.

        考慮線性發(fā)展方程初值問(wèn)題

        當(dāng)u0∈D(A),φ∈C1(J,Rn),方程(2)存在唯一古典解u∈C1(J,Rn)∩C(J,E1)(E1為D(A)按圖像范數(shù)‖u‖1=‖u‖+‖Au‖構(gòu)成的Banach空間)且其解可表示為

        對(duì)于一般的u0∈Rn,φ∈C(J,Rn),由(3)式確定的u∈C(J,Rn)是問(wèn)題(2)的一種廣義解,稱(chēng)為mild解.

        定義1 對(duì)于非線性發(fā)展方程初值問(wèn)題

        若u∈C(J,Rn)滿足積分方程

        則u稱(chēng)為問(wèn)題(4)在J上的mil d解.

        定義2 映射f:J×Rn→Rn稱(chēng)為L(zhǎng)1-Carat heodory,如果

        (i)對(duì)每個(gè)u∈Rn,f(t,u)關(guān)于t是可測(cè)的;

        (ii)對(duì)幾乎所有的t∈J,f(t,u)關(guān)于u是連續(xù)的;

        (iii)對(duì)每個(gè)r>0,存在hr∈L1[J,R+],使得|f(t,u)|≤hr(t),?|u|<r和幾乎所有t∈J.

        下面假定f是L1-Caratheodory,同時(shí)給出論文使用的Schaefer不動(dòng)點(diǎn)定理.

        定理1[9]設(shè)X是Banach空間,N:X→X是全連續(xù)映射,如果集合

        有界,則算子N至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

        2 主要結(jié)果

        為了考慮問(wèn)題(1),先作如下假定:

        (H1)函數(shù)τk∈C1(Rn,R),且

        (H2)?ck>0,使得|Ik(u)|≤ck,?u∈Rn,k=1,2,…,m.

        (H3)存在連續(xù)不減函數(shù)ψ:[0,∞)→(0,∞),p∈L1[J,R+],a.e.t∈J,?u∈Rn,使得

        且ψ滿足

        (H4)?(t,u)∈[0,a]×Rn,k=1,2,…,m,有

        (H5)?u∈Rn,τk(Ik(u))<τk(u)<τk+1(Ik(u)).

        定理2 若(H1)~(H5)成立,則初值問(wèn)題(1)在[0,a]上至少有一個(gè) mil d解.

        證明 將證明分以下4步:

        第1步:定義算子Q如下

        Q:C(J,Rn)→C(J,Rn)是全連續(xù)的,這是因?yàn)?/p>

        ①Q(mào)連續(xù)

        ?un?C(J,Rn),un→u,則

        由于f是L1-Caratheodory,根據(jù)Lebesgue控制收斂定理知,當(dāng)n→∞時(shí),有

        ②Q在C(J,Rn)中將有界集映成有界集

        ?u∈Br={u∈C(J,Rn):‖u‖≤r},由(6)式知

        ③Q將C(J,Rn)中有界集映成等度連續(xù)的有界集

        設(shè)l1,l2∈J,l1<l2,?u∈Br,則

        因?yàn)門(mén)(t)u0在J上連續(xù),從而一致連續(xù),而T(t)在t>0上按算子范數(shù)連續(xù),當(dāng)l1→l2時(shí),由Lebesgue控制收斂定理,上式右端趨于零,與u無(wú)關(guān),故Q將C(J,Rn)中有界集映成等度連續(xù)的有界集.

        由①,②,③ 及 Arzela-Ascoli定理,證明了Q:C(J,Rn)→C(J,Rn)全連續(xù).

        第2步:下證集合ε(Q)={u∈C(J,Rn):u=λQu,0<λ<1}有界.

        設(shè)u∈ε(Q),則u=λQu,?t∈J,0<λ<1,

        由(H3)知對(duì)每個(gè)a.e.t∈J,

        令μ(t)=sup{|u(s)|:0≤s≤t},0≤t≤a,則

        利用函數(shù)ψ的不減性,有

        于是

        因此存在一個(gè)常數(shù)K>0,v(t)≤K,a.e.t∈J,即μ(t)≤K,于是,有

        其中:常數(shù)K′依賴(lài)a,M,函數(shù)p和函數(shù)ψ,即集合ε(Q)有界.

        令X=C(J,Rn),由定理1即Schaef er不動(dòng)點(diǎn)定理知Q有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),此不動(dòng)點(diǎn)是初值問(wèn)題(4)的mil d解,記為u1.

        定義函數(shù)rk,1(t)=τk(u1(t))-t,t>0.

        由(H1)知rk,1(0)≠0,?t∈J,k=1,2,…,m.若rk,1(t)≠0,?t∈J,則u1是初值問(wèn)題(1)的mil d解.

        下面考慮r1,1(t)=0,?t∈J.由于r1,1(0)≠0且r1,1(t)連續(xù),則?t1>0,使得r1,1(t1)=0和r1,1(t)≠0,t∈[0,t1),因此按(H1),有

        第3步:考慮

        將問(wèn)題(7)轉(zhuǎn)化為不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,定義算子Q1如下

        類(lèi)似第1,2步可以證明算子Q1至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),即問(wèn)題(7)有一個(gè)mil d解,記為u2.

        定義

        如果rk,2(t)≠0,即t≠τk(u1(t)),?t∈(t1,a],k=1,2,…,m,則

        是初值問(wèn)題(1)的解.

        仍然考慮r2,2(t)=0,t∈(t1,a]的情形,按(H5),有

        由于r2,2連續(xù),存在t2>t1,使得r2,2(t2)=0和r2,2(t)≠0,t∈(t1,t2),顯然按(H1),有

        若?ˉs∈(t1,t2],r1,2(ˉs)=0.按(H5),有

        因此,函數(shù)r1,2在s1∈(t1,a]達(dá)到非負(fù)最大值點(diǎn),則

        于是

        這與(H4)矛盾.

        第4步:重復(fù)上述步驟,令um+1:=u|[tm,a]是下述初值問(wèn)題

        的mild解,則初值問(wèn)題(1)的mild解,為

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