范玉茹，師 巖，張幼群，徐 棟

（1.61206 部隊(duì)， 北京 100042）

不規(guī)則曲線擬合質(zhì)量評(píng)定方法的改進(jìn)

范玉茹1，師 巖1，張幼群1，徐 棟1

（1.61206 部隊(duì)， 北京 100042）

不規(guī)則曲線擬合時(shí)，需要按最優(yōu)原則依據(jù)曲線的形狀來選擇擬合函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)模型。給定數(shù)據(jù)點(diǎn)的多少以及數(shù)據(jù)的擬合方向?qū)η€擬合也會(huì)產(chǎn)生影響，因此需要對(duì)曲線進(jìn)行最佳的擬合。衡量曲線擬合模型誤差的精度時(shí)，要求觀測(cè)數(shù)據(jù)的方差相同且觀測(cè)數(shù)據(jù)的協(xié)方差為零，這與一般的實(shí)際情況不符。因此，在曲線最佳擬合的基礎(chǔ)上，對(duì)評(píng)定曲線擬合精度的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)方法進(jìn)行了改進(jìn)，從不規(guī)則曲線擬合的精度及形狀2個(gè)方面進(jìn)行了評(píng)價(jià)。

不規(guī)則曲線；質(zhì)量評(píng)定；協(xié)方差；最佳擬合

矢量地圖數(shù)據(jù)采集無論直接方法還是間接方法，都面臨曲線的處理。常見的有等高線、水系、曲線道路等不規(guī)則形狀的表示。由于直接方法或間接方法所采集的數(shù)據(jù)都只能是曲線的有限點(diǎn)，因此，對(duì)曲線的處理有插值和擬合2種方法，前者是將采集數(shù)據(jù)當(dāng)作無誤差處理，后者則是將采集的數(shù)據(jù)看作含有誤差。對(duì)于測(cè)量工作而言，只要是數(shù)據(jù)測(cè)量，就一定存在誤差，因此，對(duì)曲線數(shù)據(jù)的處理常采用擬合的方法。在曲線擬合時(shí)，選擇函數(shù)模型比較關(guān)鍵。選用擬合函數(shù)不同，會(huì)產(chǎn)生不同的擬合效果，因此需要按最優(yōu)原則依據(jù)曲線的形狀來選擇擬合函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)模型。除此之外，給定數(shù)據(jù)點(diǎn)的多少對(duì)曲線擬合也會(huì)產(chǎn)生影響。曲線擬合的誤差分為曲線模型誤差和曲線擬合的偶然誤差2個(gè)部分。對(duì)曲線進(jìn)行最佳擬合的原則是綜合考慮系統(tǒng)誤差和偶然誤差的聯(lián)合影響，將模型誤差和數(shù)據(jù)誤差對(duì)曲線擬合的影響減小到最小。對(duì)矢量地圖數(shù)據(jù)擬合曲線的精度評(píng)定，不僅要考慮已知數(shù)據(jù)的偶然誤差，而且要考慮擬合曲線的模型誤差，應(yīng)該將兩者結(jié)合起來完整地去評(píng)價(jià)擬合曲線的質(zhì)量。在文獻(xiàn)[1]中，藍(lán)悅明采用最小二乘擬合曲線，綜合考慮曲線擬合的兩種誤差影響，采用均方誤差MSE（δ）來衡量曲線擬合模型的精度，對(duì)各擬合方程的均方誤差進(jìn)行比較，MSE（δ）最小的即為最佳曲線擬合方程。

式中，X、Y為擬合曲線的縱橫坐標(biāo)；β為擬合曲線參數(shù)；ε為擬合的模型誤差；Δ為擬合數(shù)據(jù)Y的偶然誤差，且E（Δ）=0；n為擬合曲線的觀測(cè)個(gè)數(shù)；t為擬合曲線的參數(shù)個(gè)數(shù)；σ2為觀測(cè)數(shù)據(jù)方差；I為單位矩陣。

但是，使用MSE（δ）來衡量曲線擬合模型誤差的精度時(shí)，要求觀測(cè)數(shù)據(jù)的方差相同且觀測(cè)數(shù)據(jù)的協(xié)方差為零，這與一般的實(shí)際情況不符。因此，需要對(duì)評(píng)定曲線擬合精度的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行探討。

1 不規(guī)則曲線的最佳擬合

由于最小二乘估計(jì)具有無偏性、一致性和有效性，目前曲線擬合的方法多采用最小二乘擬合法，擬合方向一般選用X方向，將Y方向作為真值，使殘差的平方和最小，即

式中，X、Y為觀測(cè)點(diǎn)的值；a為曲線待定參數(shù)。

實(shí)際上，無論是x坐標(biāo)還是y坐標(biāo)都為觀測(cè)值，均含有偶然誤差，當(dāng)采集的數(shù)據(jù)在擬合方向發(fā)生劇烈變化時(shí)如圖1第4、5、6點(diǎn)，在選用的某一定方向擬合是值得探討的[2,3]。

圖 1 2種方式的曲線擬合

最佳地?cái)M合各觀測(cè)點(diǎn)的估計(jì)曲線，應(yīng)使各觀測(cè)點(diǎn)到估計(jì)曲線的正交距離殘差平方和最小，如圖1b所示，用式子表示即

取坐標(biāo)xi和待求參數(shù)a為未知數(shù)，令

則：

方程中的觀測(cè)個(gè)數(shù)為2m，未知數(shù)個(gè)數(shù)為m+n+1，其矩陣表達(dá)式為：

式（8）中，I為單位矩陣，B為m階對(duì)角矩陣，表示為：

按式（4），采用參數(shù)平差得：

單位權(quán)中誤差為：

2 曲線擬合評(píng)定的改進(jìn)

由已知點(diǎn)數(shù)據(jù)來擬合曲線其形狀位置是不確定的，如圖2所示。給定點(diǎn)本身的位置誤差可以根據(jù)點(diǎn)的方差-協(xié)方差來定量地描述，但是，對(duì)于曲線模型的不確定性，通常難以定量化描述，因?yàn)楦鶕?jù)已知點(diǎn)能構(gòu)成的曲線很多，只能在一定的范圍內(nèi)給其不確定性[4,5]。

圖 2 數(shù)據(jù)擬合的不確定性

在曲線擬合時(shí)，對(duì)于給定的2點(diǎn)間最大偏差h，可以由給定的2點(diǎn)間長(zhǎng)度S和擬合曲線方程來確定，如圖3所示。當(dāng)選擇不同的擬合函數(shù)模型時(shí)，將會(huì)得到不同的值。

圖 3 曲線擬合2點(diǎn)間長(zhǎng)度s和最大偏差h

對(duì)于曲線擬合的原始離散點(diǎn)，它們均含有一定的測(cè)量誤差，如圖4所示。實(shí)線為真實(shí)曲線，虛線為擬合曲線，顯然h1為離散點(diǎn)擬合曲線的最大誤差。對(duì)于原始曲線，h1是固定的，可以采用不同的擬合模型來擬合曲線，擬合后的h^1與原始曲線的h1存在偏差通過多次擬合試驗(yàn)可得，Δ h1可反映出點(diǎn)M1的擬合誤差，依次可以采用整條曲線的來衡量擬合曲線的精度。

圖 4 曲線擬合誤差

由于擬合曲線時(shí)，是采用曲線上的特征點(diǎn)來擬合的，特征點(diǎn)在一定程度上代表了曲線的形狀，也是曲線精簡(jiǎn)的過程。特征點(diǎn)的提取可參見文獻(xiàn)[6]，在上一級(jí)特征點(diǎn)提取后，兩相鄰特征點(diǎn)之間的曲線段上距這2個(gè)相鄰特征點(diǎn)間直線偏差最大的點(diǎn)，如圖5所示，由此可通過計(jì)算特征點(diǎn)的h值來替代真實(shí)曲線上的h值。圖5中點(diǎn)（xi，yi）到點(diǎn)（xi-1，yi-1）和點(diǎn)（xi+1，yi+1）所連直線的垂直距離為[6]：

圖 5 除端點(diǎn)外的離散數(shù)據(jù)h值

3 實(shí)例分析

采用文獻(xiàn)[1]的擬合數(shù)據(jù)，同一幅圖上取一組數(shù)字化點(diǎn)，其數(shù)字化精度為σ=0．3 mm，數(shù)據(jù)見表1。分別按式（12）～（14）擬合，擬合結(jié)果如圖6所示，擬合精度見表2。

表 1 數(shù)字化的X、Y坐標(biāo)值/mm

表 2 數(shù)據(jù)擬合比較

由表2可以看出，對(duì)于第二組數(shù)據(jù)不管采用哪種方法，四次多項(xiàng)式擬合的效果比較好。采用正交最小二乘，在擬合精度和擬合效果上都優(yōu)于在y方向的最小二乘擬合。

圖 6 數(shù)據(jù)擬合效果圖

4 結(jié) 語

1）自變量誤差較小時(shí)，可以忽略自變量誤差，對(duì)擬合參數(shù)的影響較小，采用普通最小二乘法計(jì)算簡(jiǎn)單實(shí)用。如果自變量誤差較大，忽略自變量的誤差就會(huì)影響參數(shù)的大小，此時(shí)應(yīng)該顧及自變量的誤差。

2）正交距離曲線擬合，同時(shí)顧及了因變量和自變量的誤差，以正交距離的殘差平方和最小為原則，擬合結(jié)果從整體意義上保持最佳，從幾何意義上，其曲線擬合更合理，改進(jìn)了普通最小二乘使擬合曲線沿一個(gè)方向與實(shí)際曲線逼近的效果。

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1672-4623（2015）02-0134-03

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范玉茹，博士，工程師，主要研究方向?yàn)镚IS數(shù)據(jù)質(zhì)量控制與評(píng)價(jià)。

2014-04-17。

項(xiàng)目來源：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（41274016）。